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斯卢茨基定理

通过 博士

斯卢茨基定理涉及分布的收敛 变换两个随机向量序列,其中一个收敛于 分布,另一个在概率上收敛为常数。

目录

分销联合收敛

Slutsky定理基于以下事实:如果随机向量序列 收敛于分布,另一个序列收敛于概率 常数,则它们在分布上会聚在一起。

命题(联合 收敛)[eq1][eq2] 是随机向量的两个序列。如果 [eq3][eq4], 哪里  $ c $ 是一个常数 然后 [eq5]

证明

在上面的命题中,我们已经指出 收敛于 可能性 通过 [eq6] 分布趋同 通过 [eq7].

定理

我们提供的Slutsky定理的陈述比 该声明通常在标准参考文献中找到。

命题(Slutsky)[eq8][eq2] 是随机向量的两个序列,使得 [eq3][eq11], 哪里  $ c $ 是一个常数。让 [eq12] 是连续的功能。 然后, [eq13]

证明

夫妇 [eq14] 共同汇聚到 $ left(X,c
权)$ 通过以上命题(联合收敛)。由 连续贴图 定理 ,事实是 [eq15] 连续表示 [eq16] 收敛到 [eq17].

该定理在以下情况下也有效 [eq18][eq19] 是...的序列 随机矩阵 (其原因是可以将随机矩阵视为随机向量 其条目已重新排列为几列)。

含义

由于总和与乘积是其操作数的连续函数, 斯卢茨基定理暗示 那 [eq20] 什么时候 [eq3], [eq22] 和尺寸  X_n  $ Y_ {n} $ 使得它们的总和和/或其乘积得到明确定义。

解决的练习

您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。

练习1

[eq18] 是一个序列 Kx1 随机向量 那 [eq24] 哪里 X 是一个 正常随机向量 刻薄  亩 和可逆的 协方差矩阵 V.

[eq25] 是一个序列  $石灰K $ 这样的随机矩阵 那 [eq26] 哪里 A 是一个常数矩阵。求出序列的分布极限 产品展示 [eq27].

由Slutsky的 定理 [eq28] 哪里 [eq29] 的 随机向量 Y 具有多元正态分布,因为它是线性变换 多元正态随机向量的向量(请参见标题为“ 的线性组合 正常随机变量)。的期望值 Y[eq30] 和 它的协方差矩阵 是 [eq31]因此, 产品顺序 [eq32] 收敛于分布为均值的多元正态随机向量  $ Amu $ 和协方差矩阵 $ AVA ^ {intercal} $.

练习2

[eq18] 是一个序列 Kx1 随机向量 那 [eq24] 哪里 X 是具有均值的法向随机向量 0 和可逆协方差矩阵 V.

[eq35] 是一个序列  $ Kimes K $ 这样的随机矩阵 那 [eq36] 找 分配的极限 顺序 [eq37]

通过连续映射 定理 [eq38]因此, 由Slutsky的 定理 [eq39] 使用 再一次连续映射定理,我们 得到 [eq40] 以来 V 是一个可逆的协方差矩阵,存在一个可逆的矩阵  西格玛 这样 那 [eq41]因此, [eq42] 哪里 我们有 定义的 [eq43] 的 随机向量 Z 具有多元正态分布,因为它是线性变换 多元正态随机向量的向量(请参见标题为“ 的线性组合 正常随机变量)。的期望值 Z[eq44] 和 它的协方差矩阵 是 [eq45] 从而, Z 具有标准的多元正态分布(均值 0 和方差 I) 和 [eq46] 是 a 二次形式 标准正态随机向量 。 所以, [eq47] 有一个 卡方分布[eq48] 自由程度。总之,顺序 [eq49] 收敛到分布的卡方分布 K 自由程度。

练习3

让一切都与上一个练习相同,除了现在的事实 X 有意思  亩 . 找到分配的极限 顺序 [eq50] 哪里 [eq51] 是一个序列 Kx1 概率收敛到的随机向量  亩 .

定义 [eq52] 通过 Slutsky的 定理 [eq53] 哪里 [eq54] 是 具有均值的多元正态随机变量 0 和方差 V. 因此,我们可以将先前练习的结果用于 顺序 [eq55] 哪一个 是一样的 如 [eq56] 和 我们发现它的分布收敛为 K 自由程度。

参考文献

范德瓦特(A. W.)(2000) 渐近的 统计 ,剑桥大学出版社。

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "斯卢茨基定理", 列克特 ures on 可能性 theory 和 mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/asymptotic-theory/Slutsky-theorem.

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