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几乎可以肯定的收敛

通过 博士

本讲座介绍了几乎确定的收敛概念。为了 了解了这堂课,您应该首先了解一下 确保财产和几乎确定的事件,在标题为“讲座”的讲义中进行了解释 零概率事件,以及 随机变量序列的逐点收敛,在 演讲题目 逐点收敛.

目录

几乎可以肯定一系列随机变量的收敛

[eq1] 成为 序列上定义的随机变量的序列 样本空间 欧米茄. 概念 几乎可以肯定的收敛 (要么 如。 收敛)是逐点概念的细微变化 收敛。如我们所见,一系列随机变量 [eq1] 当且仅当实数序列为真时,才是逐点收敛的 [eq3] 为所有人融合 欧米茄中的欧米茄. 实现所有人的融合 欧米茄中的欧米茄 是一个非常严格的要求。因此,此要求通常是 通过要求收敛来减弱 [eq4] 对于足够大的子集 欧米茄, 并不一定适合所有人 欧米茄中的欧米茄. 尤其是, [eq5] 通常需要是收敛序列 几乎可以肯定:如果 F 是所有采样点的集合 欧米茄 顺序 [eq6] 是收敛的,其互补 $ F ^ {c} $ 必须包含在零概率中 事件:[eq7]在 换句话说,几乎可以肯定的收敛要求序列 [eq3] 收敛所有采样点 欧米茄中的欧米茄, 除了,可能很小 $ F ^ {c} $ 采样点数 ($ F ^ {c} $ 必须包含在零概率事件中)。这是由 以下定义。

定义 [eq1] 是在样本空间上定义的随机变量序列 欧米茄. 我们说 [eq1]几乎可以收敛 (如。 会聚)为随机变量 X 定义于 欧米茄 当且仅当实数序列 [eq11] 收敛到 [eq12] 几乎可以肯定地,即当且仅当存在零概率事件时 E 这样 那[eq13]X 被称为 几乎确定的极限 的顺序和 表明收敛 通过[eq14]

以下是几乎确定收敛的序列示例。

假设 样本空间 欧米茄[eq15]它 可以建立概率测度 $ QTR {rm} {P} $欧米茄, 这样 $ QTR {rm} {P} $ 分配 到的每个子间隔 $left[ 0,1
ight] $ 等于其概率 长度:[eq16](看到 演讲题目 零概率 大事记)。请记住,在此概率模型中,所有 样本点 欧米茄中的欧米茄 被分配零概率(每个采样点在被视为事件时, 是零概率 事件):[eq17]现在, 考虑一系列随机变量 [eq1] 定义为 如下:[eq19]什么时候 [eq20], 实数序列 [eq3] 收敛到 0 因为[eq22]然而, 什么时候 $ 欧米茄 = 0 $, 实数序列 [eq23] 不收敛于 0 因为[eq24]定义 一个恒定的随机变量 X 如下: [eq25]我们 有 那[eq26][eq27] 因为 [eq28]哪一个 表示 事件[eq29]是 零概率事件。因此,顺序 [eq1] 收敛到 X 几乎可以肯定。但是请注意, [eq1] 不会逐点收敛到 X 因为 [eq32] 不收敛于 [eq33] 对所有人 欧米茄中的欧米茄.

几乎 随机向量序列的确定收敛

上面的收敛概念可以概括为 直截了当的方式。

[eq1] 成为 在a上定义的随机向量序列 样本空间 欧米茄, 每个随机向量 X_n 有尺寸 Kx1. 同样在随机向量的情况下,几乎确定收敛的概念是 通过放宽假设,从逐点收敛的概念中获得 该序列 [eq35] 汇聚所有人 欧米茄中的欧米茄. 请记住,实向量的序列 [eq36] 收敛到实向量 [eq33] 当且仅当 [eq38] 相反,要求序列 [eq39] 几乎汇合 欧米茄 (即几乎可以肯定)。

定义 [eq1] 是在样本空间上定义的随机向量序列 欧米茄. 我们说 [eq1]几乎可以收敛 到随机向量 X 定义于 欧米茄 当且仅当实向量的序列 [eq39] 收敛到实向量 [eq33] 几乎可以肯定地,即当且仅当存在零概率事件时 E 这样 那[eq13]X 被称为 几乎确定的极限 的顺序和 表明收敛 通过[eq14]

现在,用 [eq46] 的顺序 i-th 向量的组成部分 X_n. 可以证明随机向量的序列 [eq1] 当且仅当所有 K 随机变量序列 [eq46] 几乎肯定会收敛。

主张[eq1] 是在样本空间上定义的随机向量序列 欧米茄. 表示为 [eq46] 通过取 i-th 每个随机向量的分量 X_n. 序列 [eq1] 几乎可以肯定地收敛到随机向量 X 当且仅当 [eq46] 几乎可以肯定地收敛到随机变量 $ X_ {ullet,i} $i-th 的组成部分 X) 每个 $ i = 1,ldots,K $.

解决的练习

您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。

练习1

让样本空间 是[eq53]即 样本空间是介于0和1之间的所有实数的集合。 的 $left[ 0,1
ight] $ 被分配等于他们的概率 长度:[eq54]

定义随机变量序列 [eq1] 如 如下:[eq56]

定义一个随机变量 X 如 如下:[eq57]

请问顺序 [eq1] 几乎可以肯定地收敛到 X?

对于固定的采样点 [eq59], 实数序列 [eq60] 具有 限制[eq61]

对于 $ 欧米茄 = 1 $, 实数序列 [eq39] 具有 限制[eq63]

因此,随机变量的序列 [eq1] 不会逐点收敛到 X 因为[eq65]对于 $ 欧米茄 = 1 $. 但是,采样点集 欧米茄 这样 [eq66] 不收敛于 [eq12] 是零概率事件: [eq68]因此, 序列 [eq1] 几乎可以肯定地收敛到 X.

练习2

[eq1][eq71] 是在样本空间上定义的两个随机变量序列 欧米茄. 让 XY 是在上定义的两个随机变量 欧米茄 这样 那[eq72]

证明 那[eq73]

表示为 $ F_ {X} $ 为其设置的采样点集 [eq74] 收敛到 [eq33]:[eq76]的 事实上 [eq1] 几乎可以肯定地收敛到 X 暗示 那[eq78]哪里 [eq79].

表示为 $ F_ {Y} $ 为其设置的采样点集 [eq80] 收敛到 [eq81]:[eq82]的 事实上 [eq71] 几乎可以肯定地收敛到 Y 暗示 那[eq84]哪里 [eq85].

现在,用 $ F_ {XY} $ 为其设置的采样点集 [eq86] 收敛到 [eq87]:[eq88]

观察是否 [eq89] 然后 [eq90] 收敛到 [eq91], 因为两个的总和 顺序 的实数是 如果两个序列收敛,则收敛。 因此,[eq92]服用 双方的互补,我们 获得[eq93][eq94]和 作为结果 [eq95]. 因此, $ F_ {XY} ^ {c} $ 采样点数 欧米茄 这样 [eq90] 不收敛于 [eq97] 包含在零概率事件中 $ E_ {X}杯E_ {Y} $, 意思是 那[eq73]

练习3

让样本空间 是[eq99]那 是,样本空间是介于0和1之间的所有实数的集合。 的子间隔 $left[ 0,1
ight] $ 被分配等于他们的概率 长度:[eq54]

定义随机变量序列 [eq1] 如 如下:[eq102]

找到几乎确定的顺序极限。

如果 $ 欧米茄 = 0 $ 要么 $ 欧米茄 = 1 $, 然后是实数序列 [eq3] 不是 收敛:[eq104]

对于 [eq105], 实数序列 [eq3] 具有 限制[eq107]因为 对于任何 欧米茄 我们可以找 $ n_ {0} $ 这样 [eq108] 对于任何 $ ngeq n_ {0} $ (作为结果 [eq109] 对于任何 $ ngeq n_ {0} $)。

因此,随机变量序列 [eq1] 几乎可以肯定地收敛到随机变量 X 定义的 如 [eq111]因为 采样点集 欧米茄 这样 [eq112] 不收敛于 [eq33] 是零概率事件: [eq114]

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "几乎可以肯定的收敛", 列克特ures 上 probability theory 和 mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/asymptotic-theory/almost-sure-convergence.

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