本讲座介绍了几乎确定的收敛概念。为了 了解了这堂课,您应该首先了解一下 确保财产和几乎确定的事件,在标题为“讲座”的讲义中进行了解释 零概率事件,以及 随机变量序列的逐点收敛,在 演讲题目 逐点收敛.
让
成为 序列上定义的随机变量的序列
样本空间
.
概念 几乎可以肯定的收敛 (要么 如。
收敛)是逐点概念的细微变化
收敛。如我们所见,一系列随机变量
当且仅当实数序列为真时,才是逐点收敛的
为所有人融合
.
实现所有人的融合
是一个非常严格的要求。因此,此要求通常是
通过要求收敛来减弱
对于足够大的子集
,
并不一定适合所有人
.
尤其是,
通常需要是收敛序列
几乎可以肯定:如果
是所有采样点的集合
顺序
是收敛的,其互补
必须包含在零概率中
事件:
在
换句话说,几乎可以肯定的收敛要求序列
收敛所有采样点
,
除了,可能很小
采样点数
(
必须包含在零概率事件中)。这是由
以下定义。
定义
让
是在样本空间上定义的随机变量序列
.
我们说
是 几乎可以收敛 (如。
会聚)为随机变量
定义于
当且仅当实数序列
收敛到
几乎可以肯定地,即当且仅当存在零概率事件时
这样
那
被称为 几乎确定的极限 的顺序和
表明收敛
通过
以下是几乎确定收敛的序列示例。
例
假设 样本空间
是
它
可以建立概率测度
上
,
这样
分配
到的每个子间隔
等于其概率
长度:
(看到
演讲题目 零概率
大事记)。请记住,在此概率模型中,所有
样本点
被分配零概率(每个采样点在被视为事件时,
是零概率
事件):
现在,
考虑一系列随机变量
定义为
如下:
什么时候
,
实数序列
收敛到
因为
然而,
什么时候
,
实数序列
不收敛于
因为
定义
一个恒定的随机变量
如下:
我们
有
那
但
因为
哪一个
表示
事件
是
零概率事件。因此,顺序
收敛到
几乎可以肯定。但是请注意,
不会逐点收敛到
因为
不收敛于
对所有人
.
上面的收敛概念可以概括为 直截了当的方式。
让
成为 在a上定义的随机向量序列
样本空间
,
每个随机向量
有尺寸
.
同样在随机向量的情况下,几乎确定收敛的概念是
通过放宽假设,从逐点收敛的概念中获得
该序列
汇聚所有人
.
请记住,实向量的序列
收敛到实向量
当且仅当
相反,要求序列
几乎汇合
(即几乎可以肯定)。
定义
让
是在样本空间上定义的随机向量序列
.
我们说
是 几乎可以收敛 到随机向量
定义于
当且仅当实向量的序列
收敛到实向量
几乎可以肯定地,即当且仅当存在零概率事件时
这样
那
被称为 几乎确定的极限 的顺序和
表明收敛
通过
现在,用
的顺序
-th
向量的组成部分
.
可以证明随机向量的序列
当且仅当所有
随机变量序列
几乎肯定会收敛。
主张
让
是在样本空间上定义的随机向量序列
.
表示为
通过取
-th
每个随机向量的分量
.
序列
几乎可以肯定地收敛到随机向量
当且仅当
几乎可以肯定地收敛到随机变量
(
-th
的组成部分
)
每个
.
您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。
让样本空间
是即
样本空间是介于0和1之间的所有实数的集合。
的
被分配等于他们的概率
长度:
定义随机变量序列
如
如下:
定义一个随机变量
如
如下:
请问顺序
几乎可以肯定地收敛到
?
对于固定的采样点
,
实数序列
具有
限制
对于
,
实数序列
具有
限制
因此,随机变量的序列
不会逐点收敛到
因为
对于
.
但是,采样点集
这样
不收敛于
是零概率事件:
因此,
序列
几乎可以肯定地收敛到
.
让
和
是在样本空间上定义的两个随机变量序列
.
让
和
是在上定义的两个随机变量
这样
那
证明
那
表示为
为其设置的采样点集
收敛到
:
的
事实上
几乎可以肯定地收敛到
暗示
那
哪里
.
表示为
为其设置的采样点集
收敛到
:
的
事实上
几乎可以肯定地收敛到
暗示
那
哪里
.
现在,用
为其设置的采样点集
收敛到
:
观察是否
然后
收敛到
,
因为两个的总和 顺序 的实数是
如果两个序列收敛,则收敛。
因此,
服用
双方的互补,我们
获得
但
和
作为结果
.
因此,
采样点数
这样
不收敛于
包含在零概率事件中
,
意思是
那
让样本空间
是那
是,样本空间是介于0和1之间的所有实数的集合。
的子间隔
被分配等于他们的概率
长度:
定义随机变量序列
如
如下:
找到几乎确定的顺序极限。
如果
要么
,
然后是实数序列
不是
收敛:
对于
,
实数序列
具有
限制
因为
对于任何
我们可以找
这样
对于任何
(作为结果
对于任何
)。
因此,随机变量序列
几乎可以肯定地收敛到随机变量
定义的
如
因为
采样点集
这样
不收敛于
是零概率事件:
请引用为:
Taboga, Marco (2017). "几乎可以肯定的收敛", 列克特ures 上 probability theory 和 mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/asymptotic-theory/almost-sure-convergence.