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连续映射定理

经过 ,博士学位

Suppose that a 随机载体的序列 [eq1] 真人在线斗地主到随机向量 X (概率,分布或几乎肯定)。现在,采取改造的 sequence [eq2], where $ g $ 是一个函数。在什么条件下 [eq3] 还有真人在线斗地主序列?连续映射定理状态 如果存在随机真人在线斗地主 $ g $ 是一个连续的功能。

目录

定理

持续映射定理的陈述。

命题(连续) Mapping) Let [eq1] be a sequence of K - 一维 random vectors. Let [eq5] 是一个连续的功能。 Then,[eq6]在哪里 [eq7] denotes 概率融合, [eq8] denotes 几乎肯定的融合 and [eq9] denotes 分布融合 .

证明

参见,例如, Shao (2003).

结果

下一节提出了连续的一些重要后果 Mapping theorem.

概率汇聚序列的总和和产品

连续映射定值定理的重要含义是算术 操作保持概率真人在线斗地主。

主张 If [eq10] and [eq11]. Then,[eq12]

证明

首先,请注意真人在线斗地主 probability of [eq13] and of [eq14] 意味着他们的联合融合概率(参见题为有权的讲座 概率融合)那就是他们的 融合为载体: [eq15]现在, 总和和产品是操作数的连续功能。因此,对于 example,[eq16]是 连续功能,以及使用连续映射定理,我们 obtain[eq17]在哪里 $ qtr {rm} {plim} $ 表示概率的极限。

序列的总和和产品几乎肯定会聚

在上一小节中所说的一切都适用,具有明显的 修改,也是几乎肯定的真人在线斗地主序列。

主张 If [eq18] and [eq19], then[eq20]

证明

类似于以前的证据。只是替换 几乎肯定的汇聚概率趋同。

分布中汇聚序列的总和和产品

为了达到趋同,概率几乎肯定,真人在线斗地主性 of [eq1] and [eq14] 单独意味着他们的关节真人在线斗地主作为向量(见前两个 证明),但由于分布的真人在线斗地主不是一种情况。所以, 在算术下可获得分布的分布中的真人在线斗地主保存 操作,我们需要更强大的联合真人在线斗地主的假设 distribution.

主张 If [eq23]然后[eq24]

证明

同样,类似于真人在线斗地主的证据 在概率中,但这种时间关节真人在线斗地主已经存在于假设中。

更多细节

以下部分包含有关连续映射的更多详细信息 theorem.

比率融合

作为上述命题的副产品,我们也具有以下内容 proposition.

主张 如果是一系列随机变量 [eq1] converges to X, then[eq26]假如 X 几乎肯定不同 0 (我们没有指定融合的那种,可以处于概率, 几乎肯定或分发)。

证明

这是连续的结果 映射定理和事实 [eq27]是 连续功能 $x
eq 0$.

先前命题的直接后果遵循。

主张 如果两个随机变量序列 [eq1] and [eq29] converge to X and Y respectively, then[eq30]假如 Y 几乎肯定不同 0. 融合可以是概率,几乎肯定或分布(但是 后者需要在分配中接触联合真人在线斗地主 [eq1] and [eq29])。

证明

这是事实的结果 比率可以写作 product[eq33]这 产品的第一个操作数通过假设会聚。第二次汇聚 因为以前的命题。因此,他们的产品会聚 因为真人在线斗地主在产品下保留。

随机矩阵

连续映射定理也适用于 random matrices because random 矩阵只是随机向量,其元素已被安排到 columns.

In particular:

解决练习

下面可以找到一些练习解释的解决方案。

练习1

Consider a sequence [eq1] 随机变量在分发到随机变量 X having a 标准正态分布。考虑 the function [eq37]哪一个 是一个连续的功能。找到序列分布的限制 [eq38].

解决方案

这 sequence[eq39]汇聚 in distribution to $ x ^ {2} $ 通过连续映射定理。但标准正常随机的平方 变量具有一定程度自由的Chi-Square分布。所以, the sequence [eq40] 真人在线斗地主于分发到a Chi-square distribution 有一种自由度。

参考

邵,J.(2007) Mathematical statistics,斯普林克。

如何引用

请引用:

Taboga, Marco (2017). "连续映射定理", Lectures on probability theory and mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/asymptotic-theory/continuous-mapping-theorem.

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