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连续映射定理

通过 博士

假设 随机向量序列 [eq1] 收敛到随机向量 X (概率,分布或几乎肯定)。现在,进行一次改造 顺序 [eq2], 哪里 $ g $ 是一个功能。在什么条件下 [eq3] 还是收敛序列?连续映射定理指出 随机收敛被保留,如果 $ g $ 是连续功能。

目录

定理

接下来是连续映射定理的说明。

命题(连续 映射)[eq1] 是一个序列 K尺寸 随机向量。让 [eq5] 是连续的功能。 然后,[eq6]哪里 [eq7] 表示 概率收敛, [eq8] 表示 几乎可以肯定的收敛[eq9] 表示 分布趋同.

证明

参见,例如 o (2003).

后果

下一节介绍了连续性的一些重要后果 映射定理。

概率收敛的序列的和与乘积

连续映射定理的一个重要含义是该算法 操作保持概率收敛。

主张 如果 [eq10][eq11]. 然后,[eq12]

证明

首先,请注意 的可能性 [eq13] 和的 [eq14] 暗示他们在概率上的共同收敛(请参阅标题为“ 概率收敛),即他们的 收敛向量: [eq15]现在, 和与乘积是操作数的连续函数。因此,对于 例,[eq16]是 连续函数,并且通过使用连续映射定理,我们 获得[eq17]哪里 $ QTR {rm} {plim} $ 表示概率极限。

序列的和和乘积几乎可以收敛

上一节中提到的所有内容均适用, 修改,也几乎可以确定收敛的序列。

主张 如果 [eq18][eq19], 然后[eq20]

证明

与先前的证明相似。只需更换 几乎可以肯定地收敛的概率收敛。

分布收敛的序列的和与乘积

为了几乎确定收敛和概率收敛,收敛 的 [eq1][eq14] 分别暗示其联合收敛为矢量(请参阅前两个 证明),但分布趋同情况并非如此。因此, 在算法下获得分布收敛性的保留 运营中,我们需要更强有力的假设: 分配。

主张 如果 [eq23]然后[eq24]

证明

同样,类似于收敛证明 概率,但这次联合收敛已经在假设中。

更多细节

以下各节包含有关连续映射的更多详细信息 定理。

比率收敛

作为上述命题的副产品,我们还有以下内容 主张。

主张 如果是随机变量序列 [eq1] 收敛到 X, 然后[eq26]提供 X 几乎肯定与 0 (我们未指定收敛的类型,可能是概率的, 几乎可以肯定或已分发)。

证明

这是持续不断的结果 映射定理和事实 [eq27]是 连续功能 $x
eq 0$.

先前主张的直接后果如下。

主张 如果两个随机变量序列 [eq1][eq29] 收敛到 XY 分别, 然后[eq30]提供 Y 几乎肯定与 0. 收敛可以是概率,几乎可以确定,也可以是分布(但是 后者需要联合分配 [eq1][eq29])。

证明

这是由于以下事实造成的: 比率可以写成 产品[eq33]的 乘积的第一个操作数通过假设收敛。第二次收敛 因为之前的主张。因此,他们的产品会聚 因为产品之间保持了融合。

随机矩阵

连续映射定理也适用于 随机矩阵 因为随机 矩阵只是随机向量,其元素已排列成 列。

尤其是:

解决的练习

您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。

练习1

考虑一个序列 [eq1] 分布收敛到随机变量的随机变量 X 有一个 标准正态分布。考虑 功能 [eq37]哪一个 是连续功能。找出序列分布的极限 [eq38].

的 顺序[eq39]收敛 在分配给 $ X ^ {2} $ 根据连续映射定理。但是标准法线随机的平方 变量具有一自由度的卡方分布。因此, 序列 [eq40] 收敛到一个 卡方 分配 具有一种自由度。

参考文献

邵建(2007) 数学的 统计,施普林格。

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "连续映射定理", 列克特ures on probability theory 和 mathematical 统计, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/asymptotic-theory/continuous-mapping-theorem.

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