假设 随机向量序列
![[eq1]](/s.gif)
收敛到随机向量
（概率，分布或几乎肯定）。现在，进行一次改造
顺序
,
哪里
是一个功能。在什么条件下
还是收敛序列？连续映射定理指出
随机收敛被保留，如果
是连续功能。
接下来是连续映射定理的说明。
参见，例如 o (2003).
下一节介绍了连续性的一些重要后果 映射定理。
连续映射定理的一个重要含义是该算法 操作保持概率收敛。
主张
如果
和
.
然后，![[eq12]](/images/continuous-mapping-theorem__16.png)
首先，请注意
的可能性
和的
暗示他们在概率上的共同收敛（请参阅标题为“
概率收敛），即他们的
收敛向量：
![[eq15]](/images/continuous-mapping-theorem__19.png)
现在，
和与乘积是操作数的连续函数。因此，对于
例，![[eq16]](/images/continuous-mapping-theorem__20.png)
是
连续函数，并且通过使用连续映射定理，我们
获得![[eq17]](/images/continuous-mapping-theorem__21.png)
哪里
表示概率极限。
上一节中提到的所有内容均适用， 修改，也几乎可以确定收敛的序列。
主张
如果
和
,
然后![[eq20]](/images/continuous-mapping-theorem__25.png)
与先前的证明相似。只需更换 几乎可以肯定地收敛的概率收敛。
为了几乎确定收敛和概率收敛，收敛
的
和
分别暗示其联合收敛为矢量（请参阅前两个
证明），但分布趋同情况并非如此。因此，
在算法下获得分布收敛性的保留
运营中，我们需要更强有力的假设：
分配。
主张
如果
![[eq23]](/images/continuous-mapping-theorem__28.png)
然后![[eq24]](/images/continuous-mapping-theorem__29.png)
同样，类似于收敛证明 概率，但这次联合收敛已经在假设中。
以下各节包含有关连续映射的更多详细信息 定理。
作为上述命题的副产品，我们还有以下内容 主张。
主张
如果是随机变量序列
收敛到
,
然后提供
几乎肯定与
（我们未指定收敛的类型，可能是概率的，
几乎可以肯定或已分发）。
这是持续不断的结果
映射定理和事实
是
连续功能
.
先前主张的直接后果如下。
主张
如果两个随机变量序列
和
收敛到
和
分别，
然后提供
几乎肯定与
.
收敛可以是概率，几乎可以确定，也可以是分布（但是
后者需要联合分配
和
）。
这是由于以下事实造成的：
比率可以写成
产品![[eq33]](/images/continuous-mapping-theorem__46.png)
的
乘积的第一个操作数通过假设收敛。第二次收敛
因为之前的主张。因此，他们的产品会聚
因为产品之间保持了融合。
连续映射定理也适用于 随机矩阵 因为随机 矩阵只是随机向量，其元素已排列成 列。
尤其是：
如果两个随机矩阵序列收敛，那么总和和 其条件的乘积是收敛的（前提是它们的尺寸是 它们可以相加或相乘）；
如果平方随机矩阵序列
收敛到随机矩阵
,
然后是逆矩阵的序列
收敛到随机矩阵
（前提是矩阵是可逆的）。这是由于以下事实：
矩阵求逆是连续变换。
您可以在下面找到一些练习，其中包含已说明的解决方案。
考虑一个序列
分布收敛到随机变量的随机变量
有一个 标准正态分布。考虑
功能
哪一个
是连续功能。找出序列分布的极限
.
的
顺序收敛
在分配给
根据连续映射定理。但是标准法线随机的平方
变量具有一自由度的卡方分布。因此，
序列
收敛到一个 卡方
分配 具有一种自由度。
邵建（2007） 数学的 统计，施普林格。
请引用为：
Taboga, Marco (2017). "连续映射定理", 列克特ures on probability theory 和 mathematical 统计, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/asymptotic-theory/continuous-mapping-theorem.
![[eq6]](/images/continuous-mapping-theorem__10.png)