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增量法

通过 博士

[eq1] 成为 随机变量序列 这样 那 [eq2] 哪里 [eq3] 是一个 正态分布 意思 0 方差 V, $ heta _ {0} $ 是一个常数,并且 [eq4] 表示 分布趋同. [eq5] 据说是渐近正常的, $ heta _ {0} $ 称为的渐近均值 [eq5]V 它的渐近方差。

例如, [eq1] 可能是一个序列 样本均值 渐近是正常的,因为 中心极限定理 适用。还是它 可能是一个序列 最大 可能性 满足一系列条件的估计 渐近正态性

现在,考虑顺序 [eq8] 哪里  $ g $ 是一个功能。增量法是一种允许我们根据 适当条件下的渐近分布 [eq9] 从...的渐近分布 [eq10]. 以下命题给出了delta方法的正式声明。

主张 [eq1] 是一系列随机变量,例如 那 [eq2][eq13] 成为一个连续可微的函数然后, [eq14]

证明

平均值 定理 ,有一点 $ overline {heta} $ 介于 [eq15]$ heta _ {0} $, 这样 那 [eq16] 通过 减去 [eq17] 从两边乘以  $ sqrt {n} $ , 我们 获得 [eq18] 以来 [eq5] 收敛概率$ heta _ {0} $, 和 $ overline {heta} $ 介于 [eq20]$ heta _ {0} $, 也 $ overline {heta} $ 收敛到 $ heta _ {0} $. 因为导数 $ dg / dheta $ 是连续的 连续映射 定理 [eq21] 哪里 [eq22] 表示概率收敛。因此,产品的第一期 [eq23] 收敛 概率保持不变。通过假设,第二项收敛于 分布到正常随机变量 Z 刻薄 0 和方差 V. 作为结果, Slutsky的 定理 适用且产品在分销中收敛 至 [eq24] 通过 基本规则 线性变换 正常随机变量,这具有均值的正态分布 0 和 方差 [eq25]

下一个示例显示了如何应用增量方法。

假设一个序列 [eq1] 渐近均值是渐近正态的 $ heta _ {0} = 1 $ 和渐近方差 $V=1$, 那 是的 [eq27] 我们 想要导出序列的渐近分布 [eq28]. 的 功能 [eq29] 是 连续可微,因此我们可以应用增量法。渐近的 转换序列的均值 是 [eq30] 在 为了计算渐近方差,我们需要取一阶导数 功能的 [eq31], 哪一个 是 [eq32] 和 在评估 $ heta _ {0} = 1 $:[eq33] 因此, 渐近方差 是 [eq34] 和 我们可以 写 [eq35]

目录

多元概括

增量方法也可以概括为多变量设置,如 以下命题。

主张 [eq1] 是一个序列 Kx1 随机向量 那 [eq2] 哪里 [eq3] 是一个 多元正态分布 刻薄 0 协方差矩阵 V, $ heta _ {0} $ 是一个常数 Kx1 向量和 [eq39] 表示分布趋同。让 [eq40]. 如果所有  $ L $ 的条目  $ g $ 具有连续的偏导数  $ heta $ , 然后 [eq41] 哪里 [eq42] 是的雅可比  $ g $ , 即  $石灰K $ 项的偏导数矩阵  $ g $ 关于...的条目  $ heta $ .

下一个示例显示了如何应用多元delta方法。

假设一个序列  $ 2imes 1 $ 随机向量 [eq43] 满足 [eq2] 哪里 渐近均值 是 [eq45] 和 渐近协方差矩阵 是 [eq46] 表示 的两个组成部分 [eq5] 通过 [eq48][eq49]. 我们要导出序列的渐近分布 [eq50]. 的 功能 [eq51] 是 连续可微,因此我们可以应用增量法。渐近的 转换序列的均值 是 [eq52] 在 为了计算渐近协方差矩阵,我们需要计算 函数的雅可比行列式 [eq31], 哪一个 是 [eq54] 和 在评估 $ heta _ {0} $:[eq55] 因此, 渐近方差 是 [eq56] 和 我们可以 写 [eq57]

解决的练习

您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。

练习1

[eq1] 是具有渐近均值的渐近正态序列 $ heta _ {0} = 0 $ 和渐近方差 $V=1$, 那 是的 [eq59] 派生 序列的渐近分布 [eq60].

的 功能 [eq61] 是 连续可微,因此我们可以应用增量法。渐近的 转换序列的均值 是 [eq62] 在 为了计算渐近方差,我们需要取一阶导数 功能的 [eq31], 哪一个 是 [eq64] 和 在评估 $ heta _ {0} = 0 $:[eq65] 因此, 渐近方差 是 [eq66] 和 我们可以 写 [eq67]

练习2

[eq1] 是一个序列  $ 2imes 1 $ 随机向量 满意的 [eq2] 哪里 渐近均值 是 [eq70] 和 渐近协方差矩阵 是 [eq71] 表示 的两个条目 [eq5] 通过 [eq73][eq49]. 推导乘积序列的渐近分布 [eq75]

我们可以应用delta方法,因为 功能 [eq76] 是 持续可区分的。转换序列的渐近均值 是 [eq77] 的 函数的雅可比行列式 [eq31][eq79] 通过 评价它 在 [eq70] 我们 获得 [eq81] 因此, 渐近协方差矩阵 是 [eq82] 和 我们可以 写 [eq83]

练习3

[eq1] 是一个序列  $ 2imes 1 $ 随机向量 满意的 [eq2] 哪里 渐近均值 是 [eq86] 和 渐近协方差矩阵 是 [eq87] 表示 的两个条目 [eq5] 通过 [eq73][eq49]. 推导序列的渐近分布  $ 2imes 1 $ 向量 [eq91] 其中的两个条目 [eq92] 满足 [eq93]

我们可以应用delta方法,因为 职能 [eq94] 是 持续可区分的。转换序列的渐近均值 是一个  $ 2imes 1 $ 向量  $ eta _ {0} $ 其条目是 [eq95] 的 函数的雅可比行列式 [eq31][eq97] 通过 评价它 在 [eq86] 我们 获得 [eq99] 如 结果,渐近协方差矩阵 是  [eq100] 从而,  [eq101] 哪里  $ eta _ {0} $  $ V_ {eta} $ 已经在上面计算了。

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "增量法", 列克特 ures on probability theory 和 mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/asymptotic-theory/delta-method.

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