让
成为 随机变量序列 这样
那
哪里
是一个 正态分布 与
意思
和 方差
,
是一个常数,并且
表示 分布趋同.
据说是渐近正常的,
称为的渐近均值
和
它的渐近方差。
例如,
可能是一个序列 样本均值
渐近是正常的,因为
中心极限定理 适用。还是它
可能是一个序列 最大
可能性 满足一系列条件的估计
渐近正态性
现在,考虑顺序
哪里
是一个功能。增量法是一种允许我们根据
适当条件下的渐近分布
从...的渐近分布
.
以下命题给出了delta方法的正式声明。
主张
让
是一系列随机变量,例如
那
让
成为一个连续可微的函数然后,
由
平均值
定理 ,有一点
介于
和
,
这样
那
通过
减去
从两边乘以
,
我们
获得
以来
收敛概率 至
,
和
介于
和
,
也
收敛到
.
因为导数
是连续的
连续映射
定理
哪里
表示概率收敛。因此,产品的第一期
收敛
概率保持不变。通过假设,第二项收敛于
分布到正常随机变量
刻薄
和方差
.
作为结果, Slutsky的
定理 适用且产品在分销中收敛
至
通过
基本规则
线性变换
正常随机变量,这具有均值的正态分布
和
方差
下一个示例显示了如何应用增量方法。
例
假设一个序列
渐近均值是渐近正态的
和渐近方差
,
那
是的
我们
想要导出序列的渐近分布
.
的
功能
是
连续可微,因此我们可以应用增量法。渐近的
转换序列的均值
是
在
为了计算渐近方差,我们需要取一阶导数
功能的
,
哪一个
是
和
在评估
:
因此,
渐近方差
是
和
我们可以
写
增量方法也可以概括为多变量设置,如 以下命题。
主张
让
是一个序列
随机向量
那
哪里
是一个 多元正态分布 刻薄
和 协方差矩阵
,
是一个常数
向量和
表示分布趋同。让
.
如果所有
的条目
具有连续的偏导数
,
然后
哪里
是的雅可比
,
即
项的偏导数矩阵
关于...的条目
.
下一个示例显示了如何应用多元delta方法。
例
假设一个序列
随机向量
满足
哪里
渐近均值
是
和
渐近协方差矩阵
是
表示
的两个组成部分
通过
和
.
我们要导出序列的渐近分布
.
的
功能
是
连续可微,因此我们可以应用增量法。渐近的
转换序列的均值
是
在
为了计算渐近协方差矩阵,我们需要计算
函数的雅可比行列式
,
哪一个
是
和
在评估
:
因此,
渐近方差
是
和
我们可以
写
您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。
让
是具有渐近均值的渐近正态序列
和渐近方差
,
那
是的
派生
序列的渐近分布
.
的
功能 是
连续可微,因此我们可以应用增量法。渐近的
转换序列的均值
是
在
为了计算渐近方差,我们需要取一阶导数
功能的
,
哪一个
是
和
在评估
:
因此,
渐近方差
是
和
我们可以
写
让
是一个序列
随机向量
满意的
哪里
渐近均值
是
和
渐近协方差矩阵
是
表示
的两个条目
通过
和
.
推导乘积序列的渐近分布
我们可以应用delta方法,因为
功能 是
持续可区分的。转换序列的渐近均值
是
的
函数的雅可比行列式
是
通过
评价它
在
我们
获得
因此,
渐近协方差矩阵
是
和
我们可以
写
让
是一个序列
随机向量
满意的
哪里
渐近均值
是
和
渐近协方差矩阵
是
表示
的两个条目
通过
和
.
推导序列的渐近分布
向量
其中的两个条目
满足
我们可以应用delta方法,因为
职能 是
持续可区分的。转换序列的渐近均值
是一个
向量
其条目是
的
函数的雅可比行列式
是
通过
评价它
在
我们
获得
如
结果,渐近协方差矩阵
是
从而,
哪里
和
已经在上面计算了。
请引用为:
Taboga, Marco (2017). "增量法", 列克特 ures on probability theory 和 mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/asymptotic-theory/delta-method.