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经验真人在线斗地主

通过 博士

经验真人在线斗地主或经验真人在线斗地主函数可用于 描述一个 样品 的 给定变量的观测值。它在给定点的值等于 样本中小于或等于观测值的比例 点。

目录

定义

以下是正式定义。

定义 [eq1] 是 样本大小 n, 哪里  $ x_ {1} $ ,...,  $ x_ {n} $ n 样本中的观察结果。的经验真人在线斗地主函数 样品  $ xi _ {n} $ 是功能 [eq2] 定义的 如 [eq3] 哪里 [eq4] 是等于的指标函数 1 如果  $ x_ {i} leq x $ 0 除此以外。

换句话说,给定的经验真人在线斗地主函数的值 点 x 通过以下方式获得:

  1. 计算小于或等于的观察次数 x;

  2. 将由此获得的数目除以观测总数,得出 获得小于或等于的观察比例 x.

下面是一个示例。

假设我们观察到一个由四个组成的样本 观察结果: [eq5] 哪里 [eq6] 什么 是样本的经验真人在线斗地主函数的值  $ xi _ {4} $ 在这一点上 $x=4$? 根据上面的定义 是 [eq7] 在 换句话说,小于或等于观察值的比例 $4$$3/4$.

经验真人在线斗地主就是真人在线斗地主 离散变量的功能

[eq8] ,...,  $ x _ {(n)} $ 是从最小到最大(按 技术术语,样本的订单统计信息)。

然后很容易看出经验真人在线斗地主函数可以写成 如 [eq9] 这个 是一个函数,除了采样点(跳到采样点)外,到处都是平坦的 通过  $ frac {1} {n} $ . 它是 分配 功能 离散随机变量  $ Y_ {n} $ 可以采用任何一种值  $ x_ {1} $ ,...,  $ x_ {n} $ 很有可能 $1/n$. 换句话说,它是离散变量的真人在线斗地主函数  $ Y_ {n} $ 概率质量 功能 [eq10]

有限的样品特性

当。。。的时候 n 样本观察  $ x_ {1} $ ,...,  $ x_ {n} $ 实现 n 随机变量 X_1 ,...,  X_n , 然后值 [eq11] 由给定点的经验真人在线斗地主得出 x 也可以视为随机变量。在所有的假设下 随机变量 X_1 ,...,  X_n 具有相同的真人在线斗地主,期望值和方差 [eq12] 可以很容易地计算出,如以下命题所示。

主张 如果 n 中的观察 样品 [eq13] 是 的实现 n 随机变量 X_1 ,...,  X_n 具有相同的分配功能 [eq14], 然后 [eq15] 对于 任何 $ xin U {211d} $. 此外,如果 X_1 ,...,  X_n 相互 独立 , 然后 [eq16] 对于 任何 $ xin U {211d} $.

证明

关于期望值的结果是 通过使用真人在线斗地主函数的定义和 指示符 职能 (尤其是指标的期望值 等于事件发生的概率 表示): [eq17] 的 关于方差的结果证明为 如下: [eq18]

因此,对于任何给定的点,经验真人在线斗地主函数都是无偏的 真实真人在线斗地主函数的估计量。此外,其方差趋向于 当样本量变大时(为零) n 趋于无穷大)。

样品性质大

先前结果的直接后果是经验 分配 均方收敛 真实地 一。

主张 如果 n 中的观察 样品 [eq13] 是 的实现 n 相互独立的随机变量 X_1 ,...,  X_n 具有相同的分配功能 [eq20], 然后 [eq21] 对于 任何 $ xin U {211d} $.

证明

我们有 那 [eq22]

事实上,有可能证明一个更强大的结果,称为 Glivenko-Cantelli定理,这不仅说明 [eq23] 几乎肯定会收敛[eq24] 每个 x, 但它也收敛一致 是的 [eq25]

此外,假设随机变量 X_1 ,...,  X_n 可以放宽彼此独立性(例如参见Borokov 1999)以允许 观察结果之间有些依赖(类似于可以对 大数定律;看到 切比雪夫的弱定律 相关序列的大数 )。

参考文献

Borokov,A.A.(1999) 数学的 统计 ,CRC Press。

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "经验真人在线斗地主", 列克特 ures on probability theory 和 mathematical 统计 , Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/asymptotic-theory/empirical-distribution.

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