经验真人在线斗地主或经验真人在线斗地主函数可用于 描述一个 样品 的 给定变量的观测值。它在给定点的值等于 样本中小于或等于观测值的比例 点。
以下是正式定义。
定义
让 是
样本大小
,
哪里
,...,
是
样本中的观察结果。的经验真人在线斗地主函数
样品
是功能
定义的
如
哪里
是等于的指标函数
如果
和
除此以外。
换句话说,给定的经验真人在线斗地主函数的值
点
通过以下方式获得:
计算小于或等于的观察次数
;
将由此获得的数目除以观测总数,得出
获得小于或等于的观察比例
.
下面是一个示例。
例
假设我们观察到一个由四个组成的样本
观察结果: 哪里
什么
是样本的经验真人在线斗地主函数的值
在这一点上
?
根据上面的定义
是
在
换句话说,小于或等于观察值的比例
是
.
让
,...,
是从最小到最大(按
技术术语,样本的订单统计信息)。
然后很容易看出经验真人在线斗地主函数可以写成
如 这个
是一个函数,除了采样点(跳到采样点)外,到处都是平坦的
通过
.
它是 分配
功能 离散随机变量
可以采用任何一种值
,...,
很有可能
.
换句话说,它是离散变量的真人在线斗地主函数
有 概率质量
功能
当。。。的时候
样本观察
,...,
是
实现 的
随机变量
,...,
,
然后值
由给定点的经验真人在线斗地主得出
也可以视为随机变量。在所有的假设下
随机变量
,...,
具有相同的真人在线斗地主,期望值和方差
可以很容易地计算出,如以下命题所示。
主张
如果
中的观察
样品
是
的实现
随机变量
,...,
具有相同的分配功能
,
然后
对于
任何
.
此外,如果
,...,
是
相互
独立 ,
然后
对于
任何
.
关于期望值的结果是
通过使用真人在线斗地主函数的定义和
指示符
职能 (尤其是指标的期望值
等于事件发生的概率
表示): 的
关于方差的结果证明为
如下:
因此,对于任何给定的点,经验真人在线斗地主函数都是无偏的
真实真人在线斗地主函数的估计量。此外,其方差趋向于
当样本量变大时(为零)
趋于无穷大)。
先前结果的直接后果是经验 分配 均方收敛 真实地 一。
主张
如果
中的观察
样品
是
的实现
相互独立的随机变量
,...,
具有相同的分配功能
,
然后
对于
任何
.
我们有
那
事实上,有可能证明一个更强大的结果,称为
Glivenko-Cantelli定理,这不仅说明
几乎肯定会收敛 至
每个
,
但它也收敛一致
是的
此外,假设随机变量
,...,
可以放宽彼此独立性(例如参见Borokov 1999)以允许
观察结果之间有些依赖(类似于可以对
大数定律;看到 切比雪夫的弱定律
相关序列的大数 )。
Borokov,A.A.(1999) 数学的 统计 ,CRC Press。
请引用为:
Taboga, Marco (2017). "经验真人在线斗地主", 列克特 ures on probability theory 和 mathematical 统计 , Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/asymptotic-theory/empirical-distribution.