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均方收敛

通过 博士

本讲座讨论均方收敛。我们首先处理均方 随机变量序列的收敛,然后具有均方 随机向量序列的收敛。

目录

一系列随机变量的均方收敛

在演讲中 随机变量序列 及其融合 我们强调了这样一个事实, 收敛基于测量两个之间距离的不同方法 随机变量(两个随机变量之间的“接近程度”如何)。的 均方收敛或均方收敛的概念基于 以下直觉:如果两个随机变量“彼此接近” 他们的差异的平方平均很小。

[eq1] 成为 序列上定义的随机变量的序列 样本空间 欧米茄. 让 X 是一个随机变量。序列 [eq2] 据说收敛到 X 如果均方根 [eq1] 收敛到 X 根据指标 [eq4] 定义为 如下:[eq5](如果 您不了解“根据指标收敛”的含义是 演讲题目 序列限制)。

注意 [eq6] 只有在右侧的期望值存在的情况下才是定义明确的, 通常可以通过要求 X_nX 平方可积.

直观地来说, 样品 点 欧米茄, 平方差 [eq7] 在两个实现之间 X_nX 提供了这两种实现的不同程度的度量。均值 平方差 [eq8] 提供了这两种实现的平均差异(如 欧米茄 有所不同)。如果这个均方差越来越小 增加 n, 然后顺序 [eq1] 收敛到 X.

我们在下面总结均方收敛的概念 定义。

定义 [eq1] 是在样本空间上定义的平方可积随机变量的序列 欧米茄. 我们说 [eq11]均方收敛 (要么 汇聚于 均方根)当且仅当存在平方可积随机 变量 X 这样 [eq1] 收敛到 X, 根据指标 [eq13], 那 是的[eq14]X 被称为 均方极限 的顺序和 表明收敛 通过[eq15]要么 通过[eq16]

请注意,在上面的定义中, [eq17] 只是平常 的标准 收敛,而 [eq18] 表示收敛在 lp空间 $ L ^ {2} $, 因为两者 [eq1]X 被要求是正方形可积的。

以下示例说明了均方收敛的概念。

[eq1] 成为 协方差平稳 随机变量的序列,使得 顺序相同 期望值 亩, 相同 方差 sigma ^ 2 和零 协方差 彼此。定义 样本平均值 Xbar_n 如 如下:[eq21]和 定义一个常数随机变量 $ X =亩$. 序列的一般术语之间的距离 [eq22]X[eq23]亩 等于的期望值 Xbar_n 因为[eq24]因此,[eq25]通过 方差的非常定义。反过来, Xbar_n[eq26]从而,[eq27][eq28]但 这只是...的均方收敛的定义 Xbar_nX. 因此,顺序 [eq29] 均方收敛于常数随机变量 $ X =亩$.

a的均方收敛 随机向量序列

上面的收敛概念可以概括为 直截了当的方式。

[eq1] 成为 在a上定义的随机向量序列 样本空间 欧米茄, 每个随机向量 X_n 有尺寸 Kx1. 随机向量的序列 [eq1] 据说收敛到一个随机向量 X 如果均方根 [eq1] 收敛到 X 根据指标 [eq4] 定义为 如下:[eq34]哪里 [eq35] 是欧几里得范式之间的区别 X_nX 第二个下标用于指示 向量 X_nX.

当然, [eq6] 仅当右侧的期望值存在时才定义得好。一种 足够的条件 [eq37] 明确定义的是 X_nX 是平方可积随机变量。

直观地,对于固定的采样点 欧米茄, 欧几里得范数的平方 [eq38] 两个实现之间的区别 X_nX 提供了这两种实现的不同程度的度量。的平均值 欧几里得范数的平方 [eq39] 提供了这两种实现的平均差异(如 欧米茄 有所不同)。如果 [eq40] 通过增加变得越来越小 n, 然后是随机向量的序列 [eq1] 收敛到向量 X.

以下是随机均方收敛的正式定义 向量。

定义 [eq1] 是在样本空间上定义的随机向量序列 欧米茄, 其成分是平方可积随机变量。我们说 [eq1]均方收敛 (或收敛于 均方根)当且仅当存在随机向量时 X 具有方形可整合的成分 [eq1] 收敛到 X, 根据指标 [eq45], 那 是的[eq46]X 被称为 均方极限 的顺序和 表明收敛 通过[eq15]要么 通过[eq16]

请注意,在上面的定义中, [eq49] 只是收敛的通常标准,而 [eq18] 表示收敛在Lp空间中 $ L ^ {2} $, 因为两者 [eq51]X 要求具有方形可集成组件。

现在,用 [eq52] 的顺序 i-th 向量的组成部分 X_n. 可以证明随机向量的序列 [eq1] 当且仅当所有 K 随机变量序列 [eq54] 均方收敛。

主张[eq1] 是在样本空间上定义的随机向量序列 欧米茄, 这样它们的成分就是平方可积随机变量。表示为 [eq56] 通过取 i-th 每个随机向量的分量 X_n. 序列 [eq1] 均方收敛于随机向量 X 当且仅当 [eq58] 均方收敛于随机变量 $ X_ {ullet,i} $i-th 的组成部分 X) 每个 $ i = 1,ldots,K $.

解决的练习

您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。

练习1

美元 是具有 均匀分布 在间隔 $ left [1,2
权] $. 换一种说法, 美元 是一个 连续 随机变量 与 支持[eq59]和 概率密度 功能[eq60]考虑 一系列随机变量 [eq1] 其通用术语 是[eq62]哪里 [eq63] 是个 指标功能 事件的 [eq64].

查找序列的均方极限(如果存在) [eq65].

什么时候 n 趋于无穷大,间隔 [eq66] 变得类似于间隔 $ left [1,2
权] $ 因为[eq67]因此, 我们推测指标 [eq68] 均方收敛于指标 [eq69]. 但 [eq70] 总是等于 1, 所以我们的推测是 [eq71] 均方收敛于 1. 为了验证我们的猜想,我们需要验证 那[eq72]

期望值可以计算为 如下。[eq73]从而, 序列 [eq1] 均方收敛于 1 因为[eq75]

练习2

[eq1] 是一个序列 离散的 随机变量。让一个通用项的概率质量函数为 序列 X_n[eq77]

查找序列的均方极限(如果存在) [eq65].

注意 那[eq79]因此, 人们会期望序列 [eq1] 收敛到常数随机变量 $X=0$. 但是,顺序 [eq81] 不收敛于均方 0. 序列的一般术语与 0[eq82]从而,[eq83]而, 如果 [eq1] 是收敛的,我们会 有[eq85]

练习3

上一个练习中的顺序是否 汇合 可能性?

序列 [eq1] 概率收敛到常数随机变量 $X=0$ 因为, 对于任何 $ arepsilon>0$, 我们有 那[eq87]

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "均方收敛", 列克特ures on 可能性 theory 和 mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/asymptotic-theory/mean-square-convergence.

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