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插件原理

通过 博士

插件原理是一种用于概率论和统计学的技术 近似计算或估计概率特征 分布(例如 期望值 方差, 一种 分位数)不能 精确计算。在蒙特卡洛模拟理论中被广泛使用 和引导。

粗略地说,插件原理是指给定的功能 分布可以通过 经验 分配 从给定中得出的观察样本 分配。经验分布的特征称为插件 给定分布特征的估计。例如, 给定的分布可以通过 给定分布的抽奖样本的经验分布。

目录

定义

以下是插件估算的正式定义。

定义$菲$ 成为一组 分配 职能。让 $ T $ 映射 [eq1]. 让 $披披$. 让[eq2]是 a 样品 的实现 n 随机变量 X_1, ..., X_n 都有分配功能 F. 让 $ F_ {n} $ 是样本的经验分布函数。如果 $ F_ {n},皮皮, 然后 数量[eq3] 被称为 插件估算$ Tleft(F
权)$.

下一节将非正式讨论下的条件 哪一个 [eq4] 收敛到 $ Tleft(F
权)$ 作为样本量 n 增加。在此之前,我们将提供一些示例来阐明 映射的含义 $ T $. 下一个示例说明如何使用插件原理来近似 期望值。

假设我们需要计算期望值 [eq5]哪里 X 是一个随机变量, [eq6] 是一个功能。如果 [eq7] 是...的分布函数 X, 然后可以将期望值写为Riemann-Stieltjes积分(请参见 演讲题目 期望值)为 跟随[eq8]我们 可以定义一个映射 $ T $ 这样,对于任何分布函数 $ arphi $, 我们 有[eq9]从而, 我们需要计算的期望值 是[eq10]现在, 如果我们有一个样本 n 抽签 $ x_ {1} $, ..., $ x_ {n} $ 从分布 F, 他们的经验分布函数 $ F_ {n} $ 是离散随机变量的分布函数,可以取 价值的 $ x_ {1} $, ..., $ x_ {n} $ 很有可能 $1/n$. 因此,插件估算 [eq11][eq12]

下一个示例说明如何使用插件原理来近似 分位数。

假设我们需要计算 p分位数 [eq13] 随机变量 X 具有分配功能 [eq7], 并假设我们无法使用的定义来计算 p分位数[eq15]我们 可以定义一个映射 $ T $ 这样,对于任何分布函数 $ arphi $, 我们 有[eq16]从而, 我们需要计算的分位数 是[eq17]如果 我们有一个样本 n 抽签 $ x_ {1} $, ..., $ x_ {n} $ 从分布 F, 我们用 $ F_ {n} $ 他们的经验分布函数,然后是 [eq18][eq19]哪里 [eq20] 是...的上限 $ np $, 即,最小整数不小于 $ np $, 和 [eq21] 是个 i-th 样本的顺序统计,即 i-th 样本中的观察值较小。

渐近性质

我们不会详细介绍插件的渐近特性 估计量,因为这需要一定程度的数学技巧 远远超出了这些讲义中平均要求的水平。但是,我们 将讨论与融合有关的主要问题,并提供一些建议 直觉。

首先,您可能会怀疑该插件是否 估计[eq22]收敛 在某种意义上 至[eq23]如 样本量 n 增加。正如我们在题为 经验 分配,Glivenko-Cantelli定理及其推广 提供经验分布的条件集 $ F_ {n} $ 收敛到 F. 如果 $ F_ {n} $F 是有限维向量,那么可以应用 连续贴图 定理 并说,如果 $ T $ 是连续的,然后 [eq24] 收敛到 $ Tleft(F
权)$. 不幸, $ F_ {n} $F 不是有限维的,因为它们是在 R (这是不可数的),因此,无法应用 连续映射定理。但是,有几个定理,类似于 连续映射定理,可以在插件的情况下应用 估计量:如果映射 $ T $ 在某种意义上是连续的(或可微的),然后 [eq25] 收敛到 $ Tleft(F
权)$. 这些定理中要求的连续性条件通常很复杂,并且 在实际情况下很难检查。我们推荐有兴趣的读者来范 der Vaart(2000)了解更多详情。不过请放心,最 常用映射 $ T $ (例如,均值,方差,矩和交叉矩,分位数)满足 所需的连续性条件。

此外,还可以证明在某些条件下, 版本 中央 极限定理 适用于插件估算 [eq26], 那就是 数量[eq27]收敛 分布到正常随机变量中。如果 $ F_ {n} $F 是有限维向量,那么可能需要 $ T $ 具有差异性并应用 增量法 证明上述量的渐近正态性。但由于 $ F_ {n} $F 是无穷维的,一种更通用的技术,称为功能增量 需要采用的方法(该方法将可区分性的概念用于 $ T $ 称为Hadamard微分)。再次,我们将感兴趣的 读者可以阅读van der Vaart(2000)的更多信息。

参考文献

范德瓦特(A. W.)(2000) 渐近的 统计,剑桥大学出版社。

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "插件原理", 列克特ures on probability theory 和 mathematical 统计, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/asymptotic-theory/plug-in-principle.

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