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逐点收敛

通过 博士

本讲座讨论点向收敛,首先针对随机序列 变量,然后是随机向量序列。

目录

随机变量序列的逐点收敛

[eq1] 成为 序列上定义的随机变量的序列 样本空间 欧米茄.

让我们考虑一个 样品 点 欧米茄中的欧米茄 和一个通用 随机变量 X_n 属于序列。

X_n 是一个功能 [eq2]. 但是,一旦修复 欧米茄, 实现 [eq3] 与采样点相关 欧米茄 只是一个实数。同样,一旦修复 欧米茄, 序列 [eq4] 只是一个实数序列。

因此,对于固定 欧米茄, 评估序列是否很容易 [eq5] 收敛;这是通过使用通常的定义 实数序列的收敛.

如果,对于固定 欧米茄, 序列 [eq6] 是收敛的,我们用 [eq7], 强调限制取决于具体 欧米茄 我们已解决。

当且仅当一个随机变量序列被称为逐点收敛 如果顺序 [eq8] 可收敛于任何选择 欧米茄.

定义 [eq1] 是在样本空间上定义的随机变量序列 欧米茄. 我们说 [eq1]逐点收敛 随机变量 X 定义于 欧米茄 当且仅当 [eq11] 收敛到 [eq12] 对所有人 欧米茄中的欧米茄. X 被称为 点限 序列和收敛 被指示 通过[eq13]

粗略地说,使用逐点收敛,我们以某种方式规避了 定义随机变量之间距离概念的问题: 定影 欧米茄, 我们将自己简化为测量两个之间的距离的常见问题 实数,以便我们可以使用通常的收敛性概念 实数序列。

[eq14] 是具有两个采样点的采样空间 ($ 欧米茄 _ {1} $$ 欧米茄 _ {2} $)。 让 [eq15] 是随机变量的序列,使得通用术语 X_n 序列的 满足[eq16]我们 需要检查序列的收敛性 [eq17] 对所有人 欧米茄中的欧米茄, 即 [eq18] 和为 [eq19]: (1)顺序 [eq20], 其通用术语是 [eq21], 是一个实数序列,收敛于 0; (2)顺序 [eq22], 其通用术语是 [eq23], 是一个实数序列,收敛于 1. 因此,随机变量的序列 [eq1] 逐点收敛到随机变量 X, 哪里 X 被定义为 如下:[eq25]

一个点的逐点收敛 随机向量序列

上面的收敛概念可以概括为 直截了当的方式。

[eq1] 成为 在a上定义的随机向量序列 样本空间 欧米茄, 每个随机向量 X_n 有尺寸 Kx1.

如果我们固定一个采样点 欧米茄中的欧米茄, 序列 [eq27] 是真实的序列 Kx1 向量。

按标准 的标准 收敛,实向量的序列 [eq28] 收敛到向量 [eq7] 如果 [eq30]哪里 [eq31] 是序列的一般术语之间的距离 [eq32] 和极限 [eq7].

之间的距离 [eq34][eq35] 被定义为等于它们的欧几里得范数 区别:[eq36]哪里 第二个下标用于指示 向量 [eq34][eq7].

因此,对于固定 欧米茄, 实向量的序列 [eq39] 收敛到向量 [eq40] 如果 [eq41]

随机向量序列 [eq1] 当且仅当序列为 [eq43] 可收敛于任何选择 欧米茄.

定义 [eq1] 是在样本空间上定义的随机向量序列 欧米茄. 我们说 [eq1]逐点收敛 到随机向量 X 定义于 欧米茄 当且仅当 [eq11] 收敛到 [eq12] 对所有人 欧米茄中的欧米茄 (即 欧拉欧米茄 [eq48])。 X 被称为 点限 序列和收敛 被指示 通过[eq49]

现在,用 [eq50] 的顺序 i-th 向量的组成部分 X_n. 可以证明随机向量的序列 [eq1] 当且仅当所有 K 随机变量序列 [eq50] 是逐点收敛的:

主张[eq1] 是在样本空间上定义的随机向量序列 欧米茄. 表示为 [eq50] 通过取 i-th 每个随机向量的分量 X_n. 序列 [eq1] 逐点收敛到随机向量 X 当且仅当 [eq50] 逐点收敛到随机变量 $ X_ {ullet,i} $i-th 的组成部分 $ X $) 每个 $ i = 1,ldots,K $.

解决的练习

您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。

练习1

样本空间 欧米茄 是:[eq57]

即样本空间 欧米茄 是之间的所有实数的集合 01. 定义随机变量序列 [eq1] 如 如下:[eq59]

找到序列的逐点极限 [eq1].

对于固定的采样点 欧米茄, 实数序列 [eq61] 具有 限制[eq62]

因此,随机变量的序列 [eq1] 逐点收敛到随机变量 X 定义为 如下:[eq64]

练习2

假设样本空间 欧米茄 和以前一样 行使:[eq65]

定义随机变量序列 [eq1] 如 如下:[eq67]

找到序列的逐点极限 [eq1].

对于给定的采样点 欧米茄, 实数序列 [eq61] 具有 限制[eq70]

(请注意,经常遇到此限制,您可以找到证明 在大多数微积分教科书中)。因此,随机变量序列 [eq1] 逐点收敛到随机变量 X 定义为 如下:[eq72]

练习3

假设样本空间 欧米茄 和以前一样 练习:[eq73]

定义随机变量序列 [eq1] 如 如下:[eq75]

定义一个随机变量 X 如 如下:[eq76]是否 序列 [eq1] 逐点收敛到随机变量 X?

对于 [eq78], 实数序列 [eq79] 具有 限制[eq80]然而, 对于 $ 欧米茄 = 1 $, 实数序列 [eq17] 具有 限制[eq82]从而, 随机变量序列 [eq1] 不会逐点收敛到随机变量 X, 但是它逐点收敛到随机变量 Y 定义为 如下:[eq84]

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "逐点收敛", 列克特ures on probability theory 和 mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/asymptotic-theory/pointwise-convergence.

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