逐点收敛

通过 马可·塔波加（Marco Taboga）博士

本讲座讨论点向收敛，首先针对随机序列 变量，然后是随机向量序列。

随机变量序列的逐点收敛

让 成为 序列上定义的随机变量的序列 样本空间 .

让我们考虑一个 样品 点 和一个通用 随机变量 属于序列。

是一个功能 . 但是，一旦修复 , 实现 与采样点相关 只是一个实数。同样，一旦修复 , 序列 只是一个实数序列。

因此，对于固定 , 评估序列是否很容易 收敛；这是通过使用通常的定义 实数序列的收敛.

如果，对于固定 , 序列 是收敛的，我们用 , 强调限制取决于具体 我们已解决。

当且仅当一个随机变量序列被称为逐点收敛 如果顺序 可收敛于任何选择 .

粗略地说，使用逐点收敛，我们以某种方式规避了 定义随机变量之间距离概念的问题： 定影 , 我们将自己简化为测量两个之间的距离的常见问题 实数，以便我们可以使用通常的收敛性概念 实数序列。

一个点的逐点收敛 随机向量序列

上面的收敛概念可以概括为 直截了当的方式。

让 成为 在a上定义的随机向量序列 样本空间 , 每个随机向量 有尺寸 .

如果我们固定一个采样点 , 序列 是真实的序列 向量。

按标准 的标准 收敛，实向量的序列 收敛到向量 如果 哪里 是序列的一般术语之间的距离 和极限 .

之间的距离 和 被定义为等于它们的欧几里得范数 区别：哪里 第二个下标用于指示 向量 和 .

因此，对于固定 , 实向量的序列 收敛到向量 如果

随机向量序列 当且仅当序列为 可收敛于任何选择 .

现在，用 的顺序 -th 向量的组成部分 . 可以证明随机向量的序列 当且仅当所有 随机变量序列 是逐点收敛的：

解决的练习

您可以在下面找到一些练习，其中包含已说明的解决方案。

练习1

让 样本空间 是：

即样本空间 是之间的所有实数的集合 和 . 定义随机变量序列 如 如下：

找到序列的逐点极限 .

练习2

假设样本空间 和以前一样 行使：

定义随机变量序列 如 如下：

找到序列的逐点极限 .

练习3

假设样本空间 和以前一样 练习：

定义随机变量序列 如 如下：

定义一个随机变量 如 如下：是否 序列 逐点收敛到随机变量 ?

如何引用

请引用为：

Taboga, Marco (2017). "逐点收敛", 列克特ures on probability theory 和 mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/asymptotic-theory/pointwise-convergence.