概率论和统计学的中心主题之一是对
随机变量序列,即
顺序
其通用元素
是一个 随机变量.
随机变量序列很重要的原因有几个:
通常,我们需要分析一个随机变量
,
但由于某些原因
太复杂而无法直接分析。在这种情况下,我们通常要做的是
近似
通过简单的随机变量
更容易学习;这些近似随机变量被安排
成一个序列
他们变得越来越好
如
增加。这正是我们引入
勒贝格积分.
在统计理论中
通常是对未知量的估计,其数量和性质
取决于样本量
(样本数量是用于计算估计值的观察值的数量)。
通常,我们能够分析
仅渐近地(即
趋于无穷大)。在这种情况下,
是一个估计序列,我们分析
,
希望有一个大样本(我们观察到的样本)和一个无限样本
(我们通过限制
)
有类似的行为。
在许多应用中,随时间反复观察到随机变量
(例如,每天观察股票价格)。在这种情况下
是对随机变量的观察序列,并且
是时间指数(在股票价格示例中,
是观察到的价格
-th
期)。
在本讲座中,我们介绍一些与随机序列有关的术语 变量。
让
是一个实数序列,
一系列随机变量。如果实数
是一个 实现
随机变量的
每一个
,
那么我们说实数序列
是一个 序列的实现 随机变量
和我们
写
让
成为 样本空间。让
是随机变量序列。我们说
是一个 在样本空间上定义的随机变量序列
如果所有随机变量
属于序列
是功能
至
.
让
是在样本空间上定义的随机变量序列
.
我们说
是一个 随机变量的独立序列 (或序列
独立随机变量的集合)
(即,属于该序列的每个有限随机变量集)是
一套 相互独立的随机
变数.
让
是随机变量序列。表示为
的 分配功能
序列的通用元素
.
我们说
是一个 同一分布的随机变量序列 如果
序列中的任何两个元素具有相同的分布
功能:
让
是在样本空间上定义的随机变量序列
.
我们说
是一个 独立且均匀分布的随机序列
变数 (或IID随机变量序列),如果
都是 独立随机变量序列 和一个
同一分布的随机变量序列.
让
是在样本空间上定义的随机变量序列
.
参加第一组
序列的连续项
,
...,
.
现在再来第二组
序列的连续项
,
...,
.
第二组位于
第一组之后的位置。表示
联合分配
功能 第一组术语中的
通过
和
第二组术语的联合
通过
序列
据说是 平稳的 (要么 严格地
平稳的)仅当
如果
对于
任何
对于任何向量
.
换句话说,当且仅当两个序列
随机向量
和
具有相同的分布(对于任何
,
和
)。
要求严格平稳性比要求序列为IID弱
(看到 IID序列 以上):如果
是一个IID序列,那么它也是严格平稳的,反之则是
不一定是真的。
让
是在样本空间上定义的随机变量序列
.
我们说
是一个 协方差平稳序列 (或微弱的静止
顺序)
如果
哪里
和
当然是整数。
属性(1)表示所有属于该序列的随机变量
有相同的 意思.
属性(2)表示 协方差 之间
术语
的
所定位的序列和术语
在它之前的位置
(
)
无论如何
已被选中。换一种说法,
仅取决于
而不是
.
还要注意,属性(2)表示
顺序相同 方差 (请记住
):
请注意,严格平稳性(见上文)仅在以下情况下意味着弱平稳性:
均值
和所有的协方差
存在并且是有限的。显然,协方差平稳性并不意味着严格
平稳性(前者仅对第一和第二者施加限制
瞬间,而后者对整个发布施加了限制)。
让
是在样本空间上定义的随机变量序列
.
凭直觉
是混合序列,如果该序列的任意两组术语相距较远
彼此之间几乎是独立的(而且
更接近独立)。
参加第一组
序列的连续项
,
...,
.
现在再来第二组
序列的连续项
,
...,
.
第二组位于
第一组之后的位置。如果以下两个术语是独立的,
并且只有在
对于
任何两个功能
和
.
这只是两个随机向量之间独立性的定义
和
(看到
相互独立的随机向量)。
上面的条件可以写成
如
如果此条件渐近为真(即
),
那么我们说序列
正在混合。
定义
我们说一系列随机变量
是 混合 (或强烈混合)
如果
对于
任何两个功能
和
和任何
和
.
换句话说,当且仅当两个随机
向量
和
倾向于通过增加变得越来越独立
(对于任何
和
)。
这比独立性要求要温和一些(请参阅
独立序列 以上):如果
是一个独立的序列,其所有术语彼此独立;如果
是一个混合序列,它的项可以是依赖的,但是变得更少,并且
较少依赖于它们在序列中位置之间的距离
增加。当然,独立序列也是混合序列,而
相反,不一定是正确的。
在本节中,我们讨论遍历性。粗略地说,遍历性是一个弱项 随机变量序列的独立性的概念。
在上面的小节中,我们讨论了独立的其他两个概念 对于随机变量序列:
要求要混合的序列比要求序列弱 要独立:实际上,一个独立的序列也在混合,但是 相反是不正确的。
要求遍历遍历比要求一个遍历更弱 顺序是混合(混合暗示遍历性,反之则不行)。这是 如果您不打算学习渐进理论,可能您需要知道的一切 高级,因为遍历性是一个非常复杂的主题, 遍历的定义是相当抽象的。不过,我们在这里给 为了完整性,快速定义遍历性。
表示为
所有可能的实数序列的集合。什么时候
是实数序列,表示为
通过舍弃第一项获得的子序列
,
那
是的
我们说一个子集
是一个 位移不变 仅当且仅当设置
属于
每当
属于
.
定义
一套
当且仅当移位不变
如果
移位不变性用于定义遍历性:
定义
一系列随机变量
据说是 遍历序列 如果一个奥尔尼
如果
每当
是移位不变集。
正如我们在题为 极限 顺序,每当我们要评估序列是否收敛到一个 极限,我们需要定义一个距离函数(或度量)来测量 序列项之间的距离。直观地,序列收敛 如果通过删除足够多的初始项来限制 顺序,其余术语可以按照我们希望的那样彼此尽可能接近。 问题是如何定义“彼此靠近”。正如我们所解释的, 可以通过使用以下方式使“彼此接近”的概念变得十分严格。 指标的概念。因此,讨论随机序列的收敛 变量归结为讨论可以使用哪些指标来衡量 两个随机变量之间的距离。
在接下来的讲座中,我们介绍几种不同的概念 一系列随机变量的收敛:针对每个不同的概念 对应于测量两个随机点之间距离的另一种方法 变量。
收敛的概念(也称为 收敛方式) 以下讲座介绍的是:
请引用为:
Taboga, Marco (2017). "随机变量序列及其收敛", 列克特ures on probability 的ory 和 mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/asymptotic-theory/sequences-of-random-variables.