随机变量序列及其收敛

通过 马可·塔波加（Marco Taboga）博士

概率论和统计学的中心主题之一是对 随机变量序列，即 顺序 其通用元素 是一个 随机变量.

随机变量序列很重要的原因有几个：

1. 通常，我们需要分析一个随机变量 , 但由于某些原因 太复杂而无法直接分析。在这种情况下，我们通常要做的是 近似 通过简单的随机变量 更容易学习；这些近似随机变量被安排 成一个序列 他们变得越来越好 如 增加。这正是我们引入 勒贝格积分.

2. 在统计理论中 通常是对未知量的估计，其数量和性质 取决于样本量 （样本数量是用于计算估计值的观察值的数量）。 通常，我们能够分析 仅渐近地（即 趋于无穷大）。在这种情况下， 是一个估计序列，我们分析 , 希望有一个大样本（我们观察到的样本）和一个无限样本 （我们通过限制 ) 有类似的行为。

3. 在许多应用中，随时间反复观察到随机变量 （例如，每天观察股票价格）。在这种情况下 是对随机变量的观察序列，并且 是时间指数（在股票价格示例中， 是观察到的价格 -th 期）。

术语

在本讲座中，我们介绍一些与随机序列有关的术语 变量。

序列的实现

让 是一个实数序列， 一系列随机变量。如果实数 是一个 实现 随机变量的 每一个 , 那么我们说实数序列 是一个 序列的实现 随机变量 和我们 写

样本空间上的序列

让 成为 样本空间。让 是随机变量序列。我们说 是一个 在样本空间上定义的随机变量序列 如果所有随机变量 属于序列 是功能 至 .

独立序列

让 是在样本空间上定义的随机变量序列 . 我们说 是一个 随机变量的独立序列 （或序列 独立随机变量的集合） （即，属于该序列的每个有限随机变量集）是 一套 相互独立的随机 变数.

相同分布的序列

让 是随机变量序列。表示为 的 分配功能 序列的通用元素 . 我们说 是一个 同一分布的随机变量序列 如果 序列中的任何两个元素具有相同的分布 功能：

IID序列

让 是在样本空间上定义的随机变量序列 . 我们说 是一个 独立且均匀分布的随机序列 变数 （或IID随机变量序列），如果 都是 独立随机变量序列 和一个 同一分布的随机变量序列.

固定序列

让 是在样本空间上定义的随机变量序列 . 参加第一组 序列的连续项 , ...， . 现在再来第二组 序列的连续项 , ...， . 第二组位于 第一组之后的位置。表示 联合分配 功能 第一组术语中的 通过和 第二组术语的联合 通过

序列 据说是 平稳的 （要么 严格地 平稳的）仅当 如果对于 任何 对于任何向量 .

换句话说，当且仅当两个序列 随机向量 和 具有相同的分布（对于任何 , 和 ）。 要求严格平稳性比要求序列为IID弱 （看到 IID序列 以上）：如果 是一个IID序列，那么它也是严格平稳的，反之则是 不一定是真的。

弱平稳序列

让 是在样本空间上定义的随机变量序列 . 我们说 是一个 协方差平稳序列 （或微弱的静止 顺序） 如果哪里 和 当然是整数。

属性（1）表示所有属于该序列的随机变量 有相同的 意思.

属性（2）表示 协方差 之间 术语 的 所定位的序列和术语 在它之前的位置 () 无论如何 已被选中。换一种说法， 仅取决于 而不是 . 还要注意，属性（2）表示 顺序相同 方差 （请记住 ）：

请注意，严格平稳性（见上文）仅在以下情况下意味着弱平稳性： 均值 和所有的协方差 存在并且是有限的。显然，协方差平稳性并不意味着严格 平稳性（前者仅对第一和第二者施加限制 瞬间，而后者对整个发布施加了限制）。

混合顺序

让 是在样本空间上定义的随机变量序列 . 凭直觉 是混合序列，如果该序列的任意两组术语相距较远 彼此之间几乎是独立的（而且 更接近独立）。

参加第一组 序列的连续项 , ...， . 现在再来第二组 序列的连续项 , ...， . 第二组位于 第一组之后的位置。如果以下两个术语是独立的， 并且只有在 对于 任何两个功能 和 . 这只是两个随机向量之间独立性的定义 和 （看到 相互独立的随机向量）。 上面的条件可以写成 如

如果此条件渐近为真（即 ）， 那么我们说序列 正在混合。

换句话说，当且仅当两个随机 向量 和 倾向于通过增加变得越来越独立 （对于任何 和 ）。 这比独立性要求要温和一些（请参阅 独立序列 以上）：如果 是一个独立的序列，其所有术语彼此独立；如果 是一个混合序列，它的项可以是依赖的，但是变得更少，并且 较少依赖于它们在序列中位置之间的距离 增加。当然，独立序列也是混合序列，而 相反，不一定是正确的。

遍历序列

在本节中，我们讨论遍历性。粗略地说，遍历性是一个弱项 随机变量序列的独立性的概念。

在上面的小节中，我们讨论了独立的其他两个概念 对于随机变量序列：

1. 独立序列 是随机变量序列 其条款相互独立；

2. 混合顺序 是随机变量序列 其术语可以是依赖的，但随着它们的依赖而变得越来越不依赖 距离增加（按距离，我们指的是它们在 顺序）。

要求要混合的序列比要求序列弱 要独立：实际上，一个独立的序列也在混合，但是 相反是不正确的。

要求遍历遍历比要求一个遍历更弱 顺序是混合（混合暗示遍历性，反之则不行）。这是 如果您不打算学习渐进理论，可能您需要知道的一切 高级，因为遍历性是一个非常复杂的主题， 遍历的定义是相当抽象的。不过，我们在这里给 为了完整性，快速定义遍历性。

表示为 所有可能的实数序列的集合。什么时候 是实数序列，表示为 通过舍弃第一项获得的子序列 , 那 是的

我们说一个子集 是一个 位移不变 仅当且仅当设置 属于 每当 属于 .

移位不变性用于定义遍历性：

收敛

正如我们在题为 极限 顺序，每当我们要评估序列是否收敛到一个 极限，我们需要定义一个距离函数（或度量）来测量 序列项之间的距离。直观地，序列收敛 如果通过删除足够多的初始项来限制 顺序，其余术语可以按照我们希望的那样彼此尽可能接近。 问题是如何定义“彼此靠近”。正如我们所解释的， 可以通过使用以下方式使“彼此接近”的概念变得十分严格。 指标的概念。因此，讨论随机序列的收敛 变量归结为讨论可以使用哪些指标来衡量 两个随机变量之间的距离。

融合方式

在接下来的讲座中，我们介绍几种不同的概念 一系列随机变量的收敛：针对每个不同的概念 对应于测量两个随机点之间距离的另一种方法 变量。

收敛的概念（也称为 收敛方式) 以下讲座介绍的是：

1. 逐点收敛

2. 几乎可以肯定的收敛

3. 概率收敛

4. 均方收敛.

5. 分布趋同

如何引用

请引用为：

Taboga, Marco (2017). "随机变量序列及其收敛", 列克特ures on probability 的ory 和 mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/asymptotic-theory/sequences-of-random-variables.