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随机向量的序列及其收敛

通过 博士

在本讲座中,我们概括了名为“ 随机变量序列及其 收敛$。$ 我们不再考虑 顺序 其元素是 随机变量,但我们现在考虑序列 [eq1] 其通用元素 X_n 是一个 Kx1 随机向量。概括为 简单易懂,因为术语和基本概念几乎相同 用于随机变量序列。

目录

术语

序列的实现

[eq2] 是一个序列 Kx1 实向量和 [eq3] 一系列 Kx1 随机向量。如果是实向量 $ x_ {n} $ 是一个 实现 随机向量 X_n 每一个 n, 那么我们说实向量的序列 [eq4] 是一个 序列的实现 随机向量 [eq5] 和我们 写[eq6]

样本空间上的序列

欧米茄 成为 样本空间。让 [eq5] 是随机向量的序列。我们说 [eq8] 是一个 在样本空间上定义的随机向量序列 欧米茄 如果所有随机向量 X_n 属于序列 [eq5] 是功能 欧米茄$ U {211d} ^ {K} $.

独立序列

[eq5] 是在样本空间上定义的随机向量序列 欧米茄. 我们说 [eq5] 是一个 随机向量的独立序列 (或序列 独立随机向量的集合) [eq5] (即属于该序列的随机向量的每个有限子集)是 一套 相互独立的随机向量.

相同分布的序列

[eq5] 是随机向量的序列。表示为 [eq14] 联合分配 功能 序列的通用元素 X_n. 我们说 [eq15] 是一个 均匀分布的随机向量序列 如果 序列中的任何两个元素具有相同的联合分布 功能:[eq16]

IID序列

[eq5] 是在样本空间上定义的随机向量序列 欧米茄. 我们说 [eq5] 是一个 独立且均匀分布的随机序列 向量 (或IID随机向量序列),如果 [eq5] 都是 独立随机向量序列 和一个 均匀分布的随机向量序列.

固定序列

[eq5] 是在样本空间上定义的随机向量序列 欧米茄. 参加第一组 $ q $ 序列的连续项 $ X_ {n + 1} $, ..., $ X_ {n + q} $. 现在再来第二组 $ q $ 序列的连续项 $ X_ {n + k + 1} $, ..., $ X_ {n + k + q} $. 第二组位于 k 第一组之后的位置。表示联合分布函数 第一组术语 通过[eq21]和 第二组术语的联合分布函数 通过[eq22]

序列 [eq5] 据说是 平稳的 (要么 严格地 平稳的)仅当 如果[eq24]对于 任何 $ n,k,qin U {2115} $ 对于任何向量 [eq25].

换句话说,当且仅当两个序列 随机向量 [eq26][eq27] 具有相同的分布(对于任何 n, k$ q $)。 要求严格平稳性比要求序列为IID弱 (看到 IID序列 以上):如果 [eq5] 是一个IID序列,那么它也是严格平稳的,反之则是 不一定是真的。

弱平稳序列

[eq5] 是在样本空间上定义的随机向量序列 欧米茄. 我们说 [eq5] 是一个 协方差平稳序列 (要么 弱地 平稳序列) 如果[eq31]哪里 n$ j $ 当然是整数。属性(1)表示所有随机向量 属于序列 [eq5] 有相同的 意思。属性(2)表示 的 互协方差 一个学期之间 X_n 的 所定位的序列和术语 $ j $ 在它之前的位置 ($ X_ {n-j} $) 无论如何 X_n 已被选中。换一种说法, [eq33] 仅取决于 $ j $ 而不是 n. 还要注意,属性(2)表示 顺序相同 协方差矩阵 (因为 [eq34]):[eq35]

混合顺序

随机向量混合序列的定义很简单 随机变量混合序列定义的一般化,其中 在标题为“ 的顺序 随机变量及其收敛。因此,我们在这里报告 随机向量混合序列的定义,无需进一步说明和 我们请读者阅读上述讲座,以对 混合顺序的概念。

定义 我们说随机向量序列 [eq5]混合 (要么 强烈混合)仅当 如果[eq37]对于 任何两个功能 $ f $$ g $ 和任何 n$ q $.

遍历序列

与上一节一样,我们在此报告对 随机向量,是对的定义的直接概括 遍历序列的随机变量,我们请读者参加讲座 有资格 随机变量序列及其 收敛 用于解释遍历性。

表示为 [eq38] 所有可能的实数序列的集合 Kx1 向量。什么时候 [eq39] 是实向量的序列,用 [eq40] 通过舍弃第一项获得的子序列 [eq41], 那 是的[eq42]

我们说一个子集 [eq43] 是一个 位移不变 仅当且仅当设置 [eq44] 属于 A 每当 [eq41] 属于 A.

定义 一套 [eq43] 当且仅当移位不变 如果[eq47]

移位不变性用于定义遍历性。

定义 随机向量序列 [eq5] 据说是 遍历序列 如果只有 如果[eq49]每当 A 是移位不变集。

收敛

与随机变量序列发生的情况类似,有几个 随机向量序列也有不同的收敛概念。在 特别是,针对随机变量找到的所有收敛模式可以是 概括为随机向量:

  1. 逐点收敛

  2. 几乎可以肯定的收敛

  3. 概率收敛

  4. 均方收敛

  5. 分布趋同

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "随机向量的序列及其收敛", 列克特ures on probability 的ory 和 mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/asymptotic-theory/sequences-of-random-vectors.

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