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随机载体的序列及其趋同

经过 ,博士学位

在这篇讲座中,我们概括了讲座中介绍的概念 随机变量的序列及其 convergence$。$ 我们不再考虑 sequences whose elements are random variables,但我们现在考虑序列 [eq1] 谁的通用元素 X_N. is a Kx1 random vector。泛化是 直截了当,作为术语和基本概念几乎是一样的 用于随机变量的序列。

目录

术语

实现序列

Let [eq2] be a sequence of Kx1 real vectors and [eq3] a sequence of Kx1 随机向量。如果是真正的矢量 $ x_ {n} $ is a realization of the random vector X_N. for every n, 然后我们说真正的矢量序列 [eq4] is a 实现序列 的 random vectors [eq5] and we write[eq6]

样品空间上的序列

Let 欧米茄 be a sample space。让 [eq5] 是一系列随机载体。我们这么说 [eq8] is a 样本空间上定义的随机载体序列 欧米茄 如果所有的随机向量 X_N. 属于序列 [eq5] are functions from 欧米茄 to $ u {211d} ^ {k} $.

独立序列

Let [eq5] 是在样本空间上定义的一系列随机载体 欧米茄. We say that [eq5] is an 独立的随机载体序列 (或者 a sequence 独立随机向量)如果每个有限的子集 [eq5] (即属于序列的随机载体的每个有限子集)是一个 set of 相互独立的随机载体.

相同分布的序列

Let [eq5] 是一系列随机载体。表示 [eq14] the joint distribution function 序列的通用元素 X_N.. We say that [eq15] is a 相同分布的随机向量的序列 if 序列的任何两个元素都具有相同的关节分布 function:[eq16]

IID序列

Let [eq5] 是在样本空间上定义的一系列随机载体 欧米茄. We say that [eq5] is a 独立序列,随机分布 vectors (或随机向量的IID序列),如果 [eq5] is both a 独立随机载体的序列 和 a 相同分布的随机向量的序列.

固定序列

Let [eq5] 是在样本空间上定义的一系列随机载体 欧米茄. 拿一组 $ q $ 序列的连续条款 $ x_ {n + 1} $, ..., $ x_ {n + q} $. 现在拿第二群 $ q $ 序列的连续条款 $ x_ {n + k + 1} $, ..., $ x_ {n + k + q} $. 第二组位于 k 第一组后的位置。表示联合分配功能 first group of terms by[eq21]和 第二组条款的联合分配函数 by[eq22]

The sequence [eq5] is said to be 静止 (或者 严格 stationary)如果只有 if[eq24]为了 any $ n,k,qin u {2115} $ and for any vector [eq25].

换句话说,序列是严格静止的,如果只有这两个 random vectors [eq26] and [eq27] 具有相同的分配(对于任何 n, k and $ q $)。 需要严格的自身性比要求序列是IID的弱点弱 (see IID sequences above): if [eq5] 是一个IID序列,那么它也是严格的静止,而交谈是 不一定是真的。

弱固定序列

Let [eq5] 是在样本空间上定义的一系列随机载体 欧米茄. We say that [eq5] is a 协方差固定序列 (或者 弱 stationary sequence) if[eq31]在哪里 n and $ j $ 当然是整数。财产(1)意味着所有随机向量 属于序列 [eq5] have the same mean。财产(2)意味着 the cross-covariance between a term X_N. of 序列和所在的术语 $ j $ positions before it ($ x_ {n-j} $) 无论如何,总是相同的 X_N. 已被选中。换句话说, [eq33] depends only on $ j $ and not on n. 还要注意,财产(2)意味着所有随机向量 序列具有相同的 covariance matrix (because [eq34]): [eq35]

混合序列

随机载体的混合序列的定义是直截了当的 随机变量混合序列定义的概括, 已经在题为讲座中讨论过 Sequences of 随机变量及其融合。因此,我们在此报告 无随机载体混合序列的定义,无需进一步评论和 我们将读者推荐给上述讲座以解释 混合序列的概念。

定义 我们说一系列随机载体 [eq5] is 混合 (或者 强烈混合)如果只有 if[eq37]为了 any two functions $ F $. and $ g $ and for any n and $ q $.

ergodic序列

如上一节所述,我们在此报告了ergodic序列的定义 随机载体,这是对定义的直接概括 ergodic序列的随机变量,我们将读者推荐给讲座 entitled 随机变量的序列及其 convergence 为了ergodicity的概念的解释。

Denote by [eq38] 所有可能的真实序列集 Kx1 vectors. When [eq39] 是一系列真正的矢量,表示 [eq40] 通过丢弃第一项获得的后续 [eq41], that is,[eq42]

We say that a subset [eq43] is a 转移不变 set if and only if [eq44] belongs to A whenever [eq41] belongs to A.

定义 A set [eq43] 如果且只有转换不变 if[eq47]

转移不变性用于定义ergodicity。

定义 一系列随机载体 [eq5] is said to be an ergodic序列 如果 an only if[eq49]每当 A 是一个班次不变集。

收敛

类似于随机变量序列发生的情况,有几个 不同的收敛概念也适用于随机载体的序列。在 特别地,找到随机变量的所有收敛模式都可以 广义到随机向量:

  1. 点融合

  2. 几乎肯定的融合

  3. 概率融合

  4. 均衡均方收敛

  5. 分布融合

如何引用

请引用:

Taboga, Marco (2017). "随机载体的序列及其趋同", Lectures on probability theory and mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/asymptotic-theory/sequences-of-random-vectors.

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