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贝叶斯的规则

经过 ,博士学位

贝叶斯的统治,以英语Mathematician Thomas Bayes命名,是一个规则 计算条件概率。

目录

规则

拜托规则的正式声明。

主张 Let A and  $ b $ be two events。表示他们的概率 by [eq1] and [eq2] 并假设这两者都 [eq3] and [eq4]. Denote by [eq5] the 有条件的概率 of A given  $ b $ and by [eq6] 条件概率  $ b $ given A. Bayes' rule states that[eq7]

证明

通过条件概率公式,我们 have that[eq8][eq9] 这 第二公式可以重新安排 follows:[eq10] 哪一个 然后插入第一公式,以便 obtain[eq11]

以下示例显示了贝叶斯的规则如何在实际应用 situation.

例子 我们建造了一个可以检测在本厂生产的有缺陷物品的机器人。如果 物品有缺陷,它被机器人发现了98%的概率。当AN. 物品没有有缺陷,机器人不会用信号发出99%的任何缺陷 可能性。我们从生产批次随机绘制一个项目,其中0.1% 物品有缺陷。如果机器人告诉我们绘制的物品有缺陷, 机器人是对的概率是什么?在概率术语中,什么 我们知道这个问题可以正式 follows:[eq12]此外, 机器人信号有缺陷的项目可以是无条件概率可以是 derived using the law of total probability:[eq13]所以, Bayes' rule gives[eq14]所以, 即使机器人有条件地非常准确,无条件 当他说物品有缺陷时,机器人是对的概率是正确的 不到10%!

术语

拜勒斯的数量 rule[eq15] 经常 采取以下名称:

  1. [eq16] is called 之前的概率 or, simply, 事先的 ;

  2. [eq17] is called 有条件的概率 or 可能性;

  3. [eq18] is called 边缘概率;

  4. [eq19] is called 后验概率 or, simply, 后面.

解决练习

下面可以找到一些练习解释的解决方案。

练习1

有两个瓮含有彩色球。第一个URN包含50个红色 球和50个蓝色球。第二个URN包含30个红色球和70个蓝色 球。随机选择两个URN中的一个(两个urns都有概率 $50%$ 被选中)然后从两个瓮中的一个随机绘制一个球。 如果绘制了一个红球,它来自第一球的可能性是什么 urn?

解决方案

在概率术语中,我们所知道的 关于这个问题可以形式化为 follows:[eq20] 这 绘制红色球的无条件概率可以使用法律来得出 of total probability:[eq21] 经过 我们使用贝叶斯统治 obtain[eq22]

练习2

经济学咨询公司创建了一种模型来预测审计。这 模型预测衰退确实存在概率80%的经济衰退 在没有经济衰退即将到来的情况下,概率为10%。无条件 陷入衰退的可能性是20%。如果模型预测a 经济衰退,经济衰退将确实发生的可能性是什么?

解决方案

我们了解这个问题的了解 formalized as follows:[eq23] 这 预测衰退的无条件概率可以通过使用来得出 the law of total probability:[eq24] 贝叶斯 rule implies[eq25]

练习3.

爱丽丝在她的口袋里有两个硬币,一个公平的硬币(头部在一边和尾巴上 另一边)和双头硬币。她从她那里随意挑选一个 口袋,扔它并获得头部。她翻转的可能性是什么? the fair coin?

解决方案

我们了解这个问题的了解 formalized as follows:[eq26] 这 通过使用法律,可以导出获得头的无条件概率 total probability:[eq27] 和 Bayes' rule, we obtain[eq28]

如何引用

请引用:

Taboga, Marco (2017). "贝叶斯的规则", Lectures on probability theory and mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/fundamentals-of-probability/Bayes-rule.

这本书

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