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贝叶斯法则

通过 博士

以英国数学家托马斯·贝叶斯(Thomas Bayes)的名字命名的贝叶斯规则是 计算条件概率。

目录

规则

随后是贝叶斯规则的正式声明。

主张A $ B $ 是两个 大事记 。表示他们的概率 通过 [eq1][eq2] 并假设两者 [eq3][eq4]. 表示为 [eq5] 条件概率A 给定  $ B $ [eq6] 的条件概率  $ B $ 给定 A. 贝叶斯规则状态 那 [eq7]

证明

通过条件概率公式,我们 有 那 [eq8][eq9] 的 第二个公式可以重新安排为 如下:[eq10] 哪一个 然后将其插入第一个公式,以便 获得 [eq11]

以下示例显示了如何在实际中应用贝叶斯规则 情况。

我们制造了可以检测工厂生产的有缺陷物品的机器人。如果 一件物品有缺陷,它会以98%的概率被机器人发现。当一个 物品完好无损,机器人不会发出99%的缺陷信号 可能性。我们从生产批次中随机抽取一个项目,其中 物品有缺陷。如果机器人告诉我们提取的物品有缺陷, 机器人正确的几率是多少?用概率的话 我们知道这个问题可以形式化为 如下:[eq12]此外, 机器人发出缺陷物品的无条件概率为 使用导出 总律 可能性:[eq13]因此, 贝叶斯法则 给 [eq14]因此, 即使机器人在条件上非常准确,无条件 当机器人说物品有缺陷时,机器人正确的可能性是 不到百分之十!

术语

贝叶斯的数量 规则 [eq15] 经常 取以下名称:

  1. [eq16] 叫做 先验概率 或者,简单地说, 事前 ;

  2. [eq17] 叫做 条件概率 要么 可能性;

  3. [eq18] 叫做 边际概率;

  4. [eq19] 叫做 后验概率 或者,简单地说, 后部.

解决的练习

您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。

练习1

有两个装有彩球的。第一个包含50个红色 球和50个蓝色球。第二个包含30个红球和70个蓝球 球。随机选择两个之一(两个(都有概率 $50%$ ),然后从两个骨灰盒之一随机抽出一个球。 如果画了一个红色的球,那么从第一个球出来的概率是多少 瓮?

用概率的话,我们所知道的 关于这个问题可以形式化为 如下:[eq20] 的 可以使用定律得出无条件抽红球的概率 总数 可能性:[eq21] 通过 利用贝叶斯定律,我们 获得 [eq22]

练习2

一家经济咨询公司创建了一个预测衰退的模型。的 模型确实会在经济衰退时预测衰退的可能性为80% 当没有衰退来临时,概率为10%。无条件 陷入衰退的可能性为20%。如果模型预测 经济衰退,经济衰退确实会出现的概率是多少?

我们对这个问题的了解可能是 形式化为 如下:[eq23] 的 预测衰退的无条件概率可以通过使用 总律 可能性:[eq24] 贝叶斯 规则 暗示 [eq25]

练习3

爱丽丝的口袋里有两个硬币,一个公平的硬币(正面朝上,尾巴朝上 另一面)和两头硬币。她从她那里随机选择一个 口袋,扔它并获得头部。她翻倒的概率是多少 公平的硬币?

我们对这个问题的了解可能是 形式化为 如下:[eq26] 的 可以通过使用 总 可能性:[eq27] 用 贝叶斯法则,我们 获得 [eq28]

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "贝叶斯法则", 列克特 ures on 可能性 的 要么 y 和 mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/fundamentals-of-probability/Bayes-rule.

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