Chebyshev的不平等

经过 Marco Taboga.，博士学位

Chebyshev的不平等是真人在线斗地主的不平等。它提供了一个鞋面涉及从随机变量的绝对偏差的真人在线斗地主其平均值将超过给定的阈值。

陈述
例子
解决练习

练习1

陈述

以下是正式声明。

主张 Let 是一个有限均值的随机变量 and finite variance . Let (i.e., 是一个严格的实际数字）。然后，以下不等式，称为 Chebyshev的不平等, holds: [eq2]

证据是直接应用的 Markov's inequality.

证明

自从是一个积极的随机变量，我们可以应用马尔可夫的不平等 it: [eq4] 经过 setting $c = k ^ {2}$ , we obtain [eq5] 但 if and only if , so we can write [eq8] 此外，通过非常定义 variance, . Therefore, [eq10]

例子

假设我们从成员的人口随机提取个人平均收入为40,000美元，标准差额为20,000美元。什么是否提取收入较少的个人的可能性超过10,000美元或超过70,000美元？在没有更多信息的情况下收入分配，我们无法完全计算这种真人在线斗地主。但是，我们可以使用Chebyshev的不等式来计算上限的上限。如果 denotes income, then 如果只有10,000美元或超过70,000美元 if在哪里 and . 发生这种情况的真人在线斗地主 is: [eq12] 所以，在收入范围外提取个人的可能性 $ 10,000-70,000美元不到 .

解决练习

下面可以找到一些练习解释的解决方案。

练习1

Let 是一个随机变量 that [eq13] 找较低限制其方差。

解决方案

谢谢较低的界限 Chebyshev's inequality: [eq14] 因此， the lower bound is

如何引用

请引用：

Taboga, Marco (2017). "Chebyshev的不平等", Lectures on probability theory and mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/fundamentals-of-probability/Chebyshev-inequality.

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