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切比雪夫不等式

通过 博士

切比雪夫不等式是真人在线斗地主不等式。它提供了鞋面 绑定到随机变量与 其平均值将超过给定的阈值。

目录

目录

  1. 声明

  2. 例

  3. 解决的练习

    1. 练习1

声明

以下是正式声明。

主张 让 X 是具有有限均值的随机变量 亩 和有限方差 sigma ^ 2. 让 [eq1] （即 k 是一个严格的正实数）。然后，以下不等式称为 切比雪夫不等式, 持有：[eq2]

证明是对 马氏 不等式.

证明

以来 [eq3] 是一个正随机变量，我们可以将马尔可夫不等式应用于 它：[eq4]通过 设置 $ c = k ^ {2} $, 我们 获得[eq5]但 [eq6] 当且仅当 [eq7], 所以我们可以 写[eq8]此外， 根据...的定义 方差, [eq9]. 因此，[eq10]

例

假设我们从成员中随机抽取一个个体 的平均收入为40,000美元，标准差为20,000美元。什么 是提取某个收入较低的个人的真人在线斗地主 超过10,000美元或超过70,000美元？在缺乏有关的更多信息的情况下 收入的分布，我们无法准确计算出该真人在线斗地主。 但是，我们可以使用切比雪夫不等式来计算其上限。如果 X 表示收入，则 X 仅且小于且小于10,000美元或大于70,000美元 如果[eq11]哪里 $亩= 40,000 $ 和 $ k = 30,000 $. 发生这种情况的可能性 是：[eq12]因此， 在收入范围之外提取个人的可能性 $ 10,000- $ 70,000小于 $4/9$.

解决的练习

您可以在下面找到一些练习，其中包含已说明的解决方案。

练习1

让 X 是一个随机变量，例如 那[eq13]找 其方差的下限。

解

下界可以归功于 切比雪夫的 不等式：[eq14]从而， 下界 是[eq15]

如何引用

请引用为：

Taboga, Marco (2017). "切比雪夫不等式", 列克特ures on 可能性 theory 和 mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/fundamentals-of-probability/Chebyshev-inequality.

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