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Chebyshev的不平等

经过 ,博士学位

Chebyshev的不平等是真人在线斗地主的不平等。它提供了一个鞋面 涉及从随机变量的绝对偏差的真人在线斗地主 其平均值将超过给定的阈值。

目录

陈述

以下是正式声明。

主张 Let X 是一个有限均值的随机变量 亩 and finite variance 西格玛^ 2.. Let [eq1] (i.e., k 是一个严格的实际数字)。然后,以下不等式,称为 Chebyshev的不平等, holds:[eq2]

证据是直接应用的 Markov's inequality.

证明

自从 [eq3] 是一个积极的随机变量,我们可以应用马尔可夫的不平等 it:[eq4]经过 setting $ c = k ^ {2} $, we obtain[eq5][eq6] if and only if [eq7], so we can write[eq8]此外, 通过非常定义 variance, [eq9]. Therefore,[eq10]

例子

假设我们从成员的人口随机提取个人 平均收入为40,000美元,标准差额为20,000美元。什么 是否提取收入较少的个人的可能性 超过10,000美元或超过70,000美元?在没有更多信息的情况下 收入分配,我们无法完全计算这种真人在线斗地主。 但是,我们可以使用Chebyshev的不等式来计算上限的上限。如果 X denotes income, then X 如果只有10,000美元或超过70,000美元 if[eq11]在哪里 $ mu = 40,000美元 and $ k = 30,000美元. 发生这种情况的真人在线斗地主 is:[eq12]所以, 在收入范围外提取个人的可能性 $ 10,000-70,000美元不到 $4/9$.

解决练习

下面可以找到一些练习解释的解决方案。

练习1

Let X 是一个随机变量 that[eq13]找 较低限制其方差。

解决方案

谢谢较低的界限 Chebyshev's inequality:[eq14]因此, the lower bound is[eq15]

如何引用

请引用:

Taboga, Marco (2017). "Chebyshev的不平等", Lectures on probability theory and mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/fundamentals-of-probability/Chebyshev-inequality.

这本书

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