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詹森不等式

通过 博士

詹森斯的不等式关系到凸凹的期望值 随机变量的转换。

目录

声明

以下是对不平等的正式陈述。

主张X 豆角,扁豆 可积随机 变量。让 [eq1] 成为凸函数 那[eq2]是 也可集成。然后,以下不等式称为詹森不等式, 持有:[eq3]

证明

功能 $ g $ 如果在任何点上都是凸的 $ x_ {0} $ 的图 $ g $ 完全位于该点的切线之上 $ x_ {0} $:[eq4]哪里 $ b $ 是切线的斜率。设置 $ x = X $[eq5], 不平等 变成[eq6]服用 不平等双方的期望值,并利用以下事实 期望值运算符保留 不平等,我们 获得[eq7]

如果功能 $ g $ 严格是凸的 X 不是 几乎可以肯定 然后, 我们有一个严格的 不等式:[eq8]

证明

功能 $ g $ 如果在任何点上都是严格凸的 $ x_ {0} $ 的图 $ g $ 完全位于该点的切线之上 $ x_ {0} $ (严格来说,对于与 $ x_ {0} $):[eq9]哪里 $ b $ 是切线的斜率。设置 $ x = X $[eq5], 不平等 变成[eq11]和, 当然, [eq12] 什么时候 [eq13]. 取不等式双方的期望值并利用事实 期望值算子保留不等式,我们 获得[eq14]哪里 第一个不平等是严格的,因为我们假设 X 并非几乎肯定是恒定的,因此 事件[eq15]确实 没有几率 1.

如果功能 $ g $ 是凹的 然后[eq16]

证明

如果 $ g $ 是凹的 $ -g $ 是凸的,由詹森的 不等式:[eq17]相乘 双方 $-1,$ 和 使用期望值的线性我们可以得到结果。

如果功能 $ g $ 严格是凹的 X 几乎不是一定恒定的 然后[eq18]

证明

与先前的证明相似。

假设一个严格的正随机变量 X 预期 值[eq19]和 它不是一概不变的。关于期望我们能说些什么 的价值 [eq20], 通过使用詹森的不等式?

自然对数是严格的凹函数,因为它的第二个 衍生物[eq21] 在定义范围上严格否定。

结果,由于詹森的不等式,我们 有[eq22]

因此, [eq20] 具有严格的负期望值。

练习1

X 是严格的正随机变量,例如 那[eq24]什么 您可以使用詹森不等式推断出以下预期结果吗? 值:[eq25]

的 功能[eq26]具有 第一 衍生物[eq27]和 第二 衍生物[eq28]的 二阶导数在定义的范围内严格为负 功能。因此,该函数是严格凹的。此外, X 几乎不是肯定恒定的,因为它具有严格的正方差。 因此,詹森的 不等式:[eq29]

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "詹森不等式", 列克特ures on 可能性 theory 和 mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/fundamentals-of-probability/Jensen-inequality.

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