詹森斯的不等式关系到凸凹的期望值 随机变量的转换。
以下是对不平等的正式陈述。
主张
让
豆角,扁豆 可积随机
变量。让
成为凸函数
那
是
也可集成。然后,以下不等式称为詹森不等式,
持有:
功能
如果在任何点上都是凸的
的图
完全位于该点的切线之上
:
哪里
是切线的斜率。设置
和
,
不平等
变成
服用
不平等双方的期望值,并利用以下事实
期望值运算符保留
不平等,我们
获得
如果功能
严格是凸的
不是 几乎可以肯定 然后,
我们有一个严格的
不等式:
功能
如果在任何点上都是严格凸的
的图
完全位于该点的切线之上
(严格来说,对于与
):
哪里
是切线的斜率。设置
和
,
不平等
变成
和,
当然,
什么时候
.
取不等式双方的期望值并利用事实
期望值算子保留不等式,我们
获得
哪里
第一个不平等是严格的,因为我们假设
并非几乎肯定是恒定的,因此
事件
确实
没有几率
.
如果功能
是凹的
然后
如果
是凹的
是凸的,由詹森的
不等式:
相乘
双方
和
使用期望值的线性我们可以得到结果。
如果功能
严格是凹的
几乎不是一定恒定的
然后
与先前的证明相似。
假设一个严格的正随机变量
预期
值
和
它不是一概不变的。关于期望我们能说些什么
的价值
,
通过使用詹森的不等式?
自然对数是严格的凹函数,因为它的第二个
衍生物
在定义范围上严格否定。
结果,由于詹森的不等式,我们
有
因此,
具有严格的负期望值。
让
是严格的正随机变量,例如
那
什么
您可以使用詹森不等式推断出以下预期结果吗?
值:
的
功能具有
第一
衍生物
和
第二
衍生物
的
二阶导数在定义的范围内严格为负
功能。因此,该函数是严格凹的。此外,
几乎不是肯定恒定的,因为它具有严格的正方差。
因此,詹森的
不等式:
请引用为:
Taboga, Marco (2017). "詹森不等式", 列克特ures on 可能性 theory 和 mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/fundamentals-of-probability/Jensen-inequality.