詹森不等式

通过马可·塔波加（Marco Taboga）博士

詹森斯的不等式关系到凸凹的期望值随机变量的转换。

声明
例

练习1

声明

以下是对不平等的正式陈述。

主张让豆角，扁豆可积随机变量。让成为凸函数那是也可集成。然后，以下不等式称为詹森不等式，持有：

证明

功能如果在任何点上都是凸的 $x_ {0}$ 的图完全位于该点的切线之上 $x_ {0}$ :哪里是切线的斜率。设置和 , 不平等变成服用不平等双方的期望值，并利用以下事实期望值运算符保留不平等，我们获得 [eq7]

如果功能严格是凸的不是几乎可以肯定然后，我们有一个严格的不等式：

证明

功能如果在任何点上都是严格凸的 $x_ {0}$ 的图完全位于该点的切线之上 $x_ {0}$ （严格来说，对于与 $x_ {0}$ ）：哪里是切线的斜率。设置和 , 不平等变成和，当然，什么时候 . 取不等式双方的期望值并利用事实期望值算子保留不等式，我们获得 [eq14] 哪里第一个不平等是严格的，因为我们假设并非几乎肯定是恒定的，因此事件确实没有几率 .

如果功能是凹的然后

证明

如果是凹的是凸的，由詹森的不等式：相乘双方和使用期望值的线性我们可以得到结果。

如果功能严格是凹的几乎不是一定恒定的然后

证明

与先前的证明相似。

例

假设一个严格的正随机变量预期值和它不是一概不变的。关于期望我们能说些什么的价值 , 通过使用詹森的不等式？

自然对数是严格的凹函数，因为它的第二个衍生物 [eq21] 在定义范围上严格否定。

结果，由于詹森的不等式，我们有

因此，具有严格的负期望值。

练习1

让是严格的正随机变量，例如那 [eq24] 什么您可以使用詹森不等式推断出以下预期结果吗？值：

解

的功能具有第一衍生物和第二衍生物 [eq28] 的二阶导数在定义的范围内严格为负功能。因此，该函数是严格凹的。此外，几乎不是肯定恒定的，因为它具有严格的正方差。因此，詹森的不等式：

如何引用

请引用为：

Taboga, Marco (2017). "詹森不等式", 列克特ures on 可能性 theory 和 mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/fundamentals-of-probability/Jensen-inequality.

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