搜索Statlect上的真人在线斗地主和统计信息
统计章程
指数 > Fundamentals of probability

马尔可夫的不平等

经过 ,博士学位

马尔可夫的不平等是真人在线斗地主的不平等。它提供了一个上限 为了实现随机变量的真人在线斗地主超过给定的 threshold.

目录

陈述

下面的命题正式地说明了不平等。

主张 Let X be an integrable random variable 在A上定义 sample space 欧米茄. Let [eq1] for all 欧米茄在欧米茄 (i.e., X 是一个正随机变量)。让 [eq2] (i.e., $ C $ 是一个严格的实际数字)。然后,以下不等式,称为 Markov's inequality, holds:[eq3]

阅读和理解马尔可夫的不等式证明很高 推荐,因为它是许多小学的一个有趣的应用 预期值的属性。

证明

首先要注意 that[eq4]在哪里 [eq5] is the indicator of the event [eq6] and [eq7] 是活动的指标 [eq8]. 因此,我们可以 write[eq9]现在, note that [eq10] 是一个积极的随机变量,而那个 阳性随机的预期值 variable is positive:[eq11]所以,[eq12]现在, 注意随机变量 [eq13] 小于随机变量 [eq14] for any 欧米茄在欧米茄:[eq15]因为, trivially, $ C $ 总是小于 X when the indicator [eq16] 不是零。因此,由一个 基本财产 expected value, 我们有 that[eq17]此外, by using the 预期的线性 value 事实上 expected value of an indicator 等于事件的真人在线斗地主表明,我们 obtain[eq18]这 可以放大超过不等式 together:[eq19]最后, since $ C $ 严格积极,我们可以划分右侧不等式的两侧 obtain Markov's inequality:[eq20]

此属性也适用于什么时候 $ xgeq 0 $ almost surely (换句话说,那里 exists a 零真人在线斗地主事件 E such that [eq21])。

例子

假设个体随机提取来自个体群体 平均年收入为40,000美元。什么是真人在线斗地主的 提取的个体的收入大于200,000美元?在没有更多的情况下 有关收入分配的信息,我们可以使用马尔可夫的不平等 计算上限的上限 probability:[eq22]所以, 提取收入大于的个人的可能性 200,000美元不到 $1/5$.

解决练习

下面可以找到一些练习解释的解决方案。

练习1

Let X 是一个正随机变量,其预期值 is[eq23]找 a lower bound to the probability[eq24]

解决方案

首先,我们需要使用公式 对于a的真人在线斗地主 complement:[eq25]现在, we can use Markov's inequality:[eq26]乘以 双方的不平等 $-1$, we obtain[eq27]添加 1 到了不平等的两侧,我们获得了

[eq28]因此, the lower bound is[eq29]

如何引用

请引用:

Taboga, Marco (2017). "马尔可夫的不平等", Lectures on probability theory and mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/fundamentals-of-probability/Markov-inequality.

这本书

本网站上发现的大多数学习材料现在都以传统的教科书格式提供。