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马尔可夫不等式

通过 博士

马尔可夫不等式是概率不等式。它提供了一个上限 随机变量的实现超过给定值的概率 阈。

目录

声明

以下命题正式陈述了不平等。

主张X 豆角,扁豆 可积随机 变量 定义在 样品 空间 欧米茄. 让 [eq1] 对所有人 欧米茄中的欧米茄 (即 X 是一个正随机变量)。让 [eq2] (即 $ c $ 是一个严格的正实数)。然后,以下不等式称为 马尔可夫不等式 持有:[eq3]

阅读和理解马尔可夫不等式的证明非常重要 推荐使用,因为它是许多基础知识的有趣应用 期望值的属性。

证明

初音 那[eq4]哪里 [eq5] 是个 指示符 事件的 [eq6][eq7] 是事件的指示器 [eq8]. 结果,我们可以 写[eq9]现在, 注意 [eq10] 是一个正随机变量,并且 正随机的期望值 变量 是 正:[eq11]因此,[eq12]现在, 注意随机变量 [eq13] 小于随机变量 [eq14] 对于任何 欧米茄中的欧米茄:[eq15]因为, 琐碎地 $ c $ 总是小于 X 当指标 [eq16] 不为零。因此, 的基本属性 期望值, 我们有 那[eq17]此外, 通过使用 预期的线性 值 以及事实 期望值 指标 等于它指示的事件的概率,我们 获得[eq18]的 上面的不平等可以被放 一起:[eq19]最后, 以来 $ c $ 严格说来,我们可以将右手不等式的两边划分为 获得马尔可夫 不等式:[eq20]

此属性在以下情况下也适用 $ Xgeq 0 $ 几乎可以肯定 (换句话说, 存在一个 零概率事件 E 这样 [eq21])。

假设从一个个体中随机抽取一个个体 年平均收入为$ 40,000。概率是多少 提取的个人收入是否超过20万美元?在没有更多的情况下 有关收入分配的信息,我们可以使用马尔可夫不等式 计算这个的上限 可能性:[eq22]因此, 提取个人收入大于等于的可能性 $ 200,000小于 $1/5$.

解决的练习

您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。

练习1

X 是一个期望值为正的随机变量 是[eq23]找 下界 可能性[eq24]

首先,我们需要使用公式 为的概率 补充:[eq25]现在, 我们可以用马尔可夫 不等式:[eq26]相乘 双方的不平等由 $-1$, 我们 获得[eq27]新增中 1 对于不平等的两面,我们得到

[eq28]从而, 下界 是[eq29]

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "马尔可夫不等式", 列克特ures on 可能性 theory 和 mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/fundamentals-of-probability/Markov-inequality.

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