在演讲中 瞬间产生 功能,我们已经解释说,随机变量的分布可以 根据它的力矩产生函数,一个实函数来表征 具有两个重要的属性:它唯一地确定其关联 概率分布及其零导数等于矩 随机变量的我们还解释了并非所有随机变量 具有力矩产生功能。
真人在线斗地主函数(cf)具有几乎相同的属性 对于那些具有瞬间生成功能的人,但是它具有重要的意义 优势:所有随机变量都具有真人在线斗地主函数。
我们以定义真人在线斗地主函数开始本讲座。
定义
让
成为 随机变量。让
是假想的单位。功能
定义的
通过
是
叫做 真人在线斗地主函数 的
.
首先要注意的是
存在于任何
.
这可以证明为
如下:
和
最后两个期望值定义明确,因为正弦和余弦
功能在区间内
.
像随机变量的矩生成函数一样,特性
函数可以用来推导
,
如以下命题所述。
主张
让
是一个随机变量,
其比照让
.
如果
-th
时刻 的
,
表示为
,
存在并且是有限的,那么
是
连续微分的时间
和
哪里
是个
-th
的导数
关于
,
在该点评估
.
这个主张的证明是相当
复杂的(例如, 雷斯尼克2013),我们在这里给
仅是草图,没有考虑技术细节。凭借
期望值和微分算子的线性关系
可以将导数带入期望值内,因为
如下:什么时候
,
后者
变成
在实践中,当有人想要 计算一个随机变量的矩,因为命题要求 提前知道该时刻是否存在。更有用 命题如下。
主张
让
是一个随机变量,
其特色功能。如果
是
此时的可微分时间
,
然后
如果
是 甚至,
-th
的时刻
存在并且对任何事物都是有限的
;
如果
是 奇,
-th
的时刻
存在并且对任何事物都是有限的
.
同时
情况哪里
是个
-th
的导数
关于
,
在该点评估
.
参见,例如 乌沙科夫 (1999).
下一个示例显示了该命题如何用于计算第二个命题 指数随机变量的矩。
例
让
是具有参数的指数随机变量
.
它的 支持 是个
正实集
数字:
和
它的 概率密度
功能
是
它的
cf
是
哪一个
在题为“ 指数的
分配。注意除法
上面的方法不会引起任何被零除的问题,因为分母是
不同于
还有什么时候
(因为
)。
cf的一阶导数
是
的
cf的二阶导数
是
评估
它在
,
我们
获得
因此,
第二时刻
存在并且是有限的。此外,它可以被计算
如
也可以使用真人在线斗地主函数,例如力矩生成函数 表征随机变量的分布。
主张
让
和
是两个随机变量。表示为
和
其 分配
职能 和
和
他们的cfs。然后,
和
具有相同的分布,即
对于任何
,
当且仅当它们具有相同的cf,即
对于任何
.
参见,例如 雷斯尼克 2013.
在应用中,该命题通常用于证明两个
分布是相等的,尤其是当很难直接证明时
两个分布函数相等
和
.
以下各节包含有关真人在线斗地主功能的更多详细信息。
让
与cf成为随机变量
.
定义
哪里
是两个常数,
.
然后,
是
使用cf的定义,我们
获得
让
,
...,
是
相互独立的随机变量。让
成为他们的
和:
然后,
的cf
是cfs的乘积
,
...,
:
可以证明为
如下:
什么时候
是一个 离散随机
变量 在支持下
和概率质量函数
,
它的cf
是
从而,
真人在线斗地主函数的计算非常简单:全部
我们要做的是将复数相加
超过的所有值
属于
.
什么时候
是一个 连续
随机变量 具有概率密度函数
,
它的cf
是
的
右侧积分是沿着的复数函数的轮廓积分
实轴。人们在阅读这些讲义时通常并不熟悉
等高线积分(复杂分析中的主题),我们完全避免使用它
而是利用事实
那
至
将轮廓积分重写为两个普通的复数和
积分:
和
分别计算两个积分。
您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。
让
是具有的离散随机变量
支持
和
概率质量
功能
派生
的真人在线斗地主函数
.
通过使用真人在线斗地主的定义
功能,我们
得到
使用上一练习中找到的真人在线斗地主函数来推导
的方差
.
我们可以使用以下公式
计算
方差:的
的期望值
通过取真人在线斗地主的一阶导数来计算
功能:
评估
它在
并除以
:
的
第二 时刻 的
通过采用真人在线斗地主的二阶导数来计算
功能:
评估
它在
并除以
:
因此,
阅读并尝试了解制服的真人在线斗地主功能和 的指数分布是在题为“ 均匀分布 和 指数分布.
雷斯尼克,S.I.(2013年) 机率 路径,Birkhauser。
乌沙科夫(1999) 选定主题 具有特色功能,VSP。
请引用为:
Taboga, Marco (2017). "真人在线斗地主功能", 列克特ures on 可能性 theory 和 mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/fundamentals-of-probability/characteristic-function.