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真人在线斗地主功能

通过 博士

在演讲中 瞬间产生 功能,我们已经解释说,随机变量的分布可以 根据它的力矩产生函数,一个实函数来表征 具有两个重要的属性:它唯一地确定其关联 概率分布及其零导数等于矩 随机变量的我们还解释了并非所有随机变量 具有力矩产生功能。

真人在线斗地主函数(cf)具有几乎相同的属性 对于那些具有瞬间生成功能的人,但是它具有重要的意义 优势:所有随机变量都具有真人在线斗地主函数。

目录

定义

我们以定义真人在线斗地主函数开始本讲座。

定义X 成为 随机变量。让 $ i = sqrt {-1} $ 是假想的单位。功能 [eq1] 定义的 通过[eq2]是 叫做 真人在线斗地主函数X.

首先要注意的是 [eq3] 存在于任何 $ t $. 这可以证明为 如下:[eq4]和 最后两个期望值定义明确,因为正弦和余弦 功能在区间内 [eq5].

具有真人在线斗地主函数的力矩

像随机变量的矩生成函数一样,特性 函数可以用来推导 X, 如以下命题所述。

主张X 是一个随机变量, [eq6] 其比照让 $ nin U {2115} $. 如果 n-th 时刻X, 表示为 [eq7], 存在并且是有限的,那么 [eq8]n 连续微分的时间 和[eq9]哪里 [eq10] 是个 n-th 的导数 [eq11] 关于 $ t $, 在该点评估 $t=0$.

证明

这个主张的证明是相当 复杂的(例如, 雷斯尼克2013),我们在这里给 仅是草图,没有考虑技术细节。凭借 期望值和微分算子的线性关系 可以将导数带入期望值内,因为 如下:[eq12]什么时候 $t=0$, 后者 变成[eq13]

在实践中,当有人想要 计算一个随机变量的矩,因为命题要求 提前知道该时刻是否存在。更有用 命题如下。

主张X 是一个随机变量, [eq14] 其特色功能。如果 [eq15]n 此时的可微分时间 $t=0$, 然后

  1. 如果 n甚至k-th 的时刻 X 存在并且对任何事物都是有限的 $ kleq n $;

  2. 如果 nk-th 的时刻 X 存在并且对任何事物都是有限的 $k<n$.

同时 情况[eq16]哪里 [eq17] 是个 k-th 的导数 [eq15] 关于 $ t $, 在该点评估 $t=0$.

证明

参见,例如 乌沙科夫 (1999).

下一个示例显示了该命题如何用于计算第二个命题 指数随机变量的矩。

X 是具有参数的指数随机变量 [eq19]. 它的 支持 是个 正实集 数字:[eq20]和 它的 概率密度 功能[eq21]它的 cf 是[eq22]哪一个 在题为“ 指数的 分配。注意除法 [eq23] 上面的方法不会引起任何被零除的问题,因为分母是 不同于 0 还有什么时候 $t=0$ (因为 $ lambda>0$)。 cf的一阶导数 是[eq24]的 cf的二阶导数 是[eq25]评估 它在 $t=0$, 我们 获得[eq26]因此, 第二时刻 X 存在并且是有限的。此外,它可以被计算 如 [eq27]

通过 真人在线斗地主函数

也可以使用真人在线斗地主函数,例如力矩生成函数 表征随机变量的分布。

主张 XY 是两个随机变量。表示为 [eq28][eq29] 分配 职能[eq15][eq31] 他们的cfs。然后, XY 具有相同的分布,即 [eq32] 对于任何 x, 当且仅当它们具有相同的cf,即 [eq33] 对于任何 $ t $.

证明

参见,例如 雷斯尼克 2013.

在应用中,该命题通常用于证明两个 分布是相等的,尤其是当很难直接证明时 两个分布函数相等 [eq34][eq29].

更多细节

以下各节包含有关真人在线斗地主功能的更多详细信息。

一个的真人在线斗地主函数 线性变换

X 与cf成为随机变量 [eq15]. 定义[eq37]哪里 $ a,bin U {211d} $ 是两个常数, $b
eq 0$. 然后, Y[eq38]

证明

使用cf的定义,我们 获得[eq39]

一个的真人在线斗地主函数 相互独立的随机变量之和

X_1, ..., X_nn 相互独立的随机变量。让 Z 成为他们的 和:[eq40]然后, 的cf Z 是cfs的乘积 X_1, ..., X_n:[eq41]

证明

可以证明为 如下:[eq42]

真人在线斗地主函数的计算

什么时候 X 是一个 离散随机 变量 在支持下 R_X 和概率质量函数 [eq43], 它的cf 是[eq44]从而, 真人在线斗地主函数的计算非常简单:全部 我们要做的是将复数相加 [eq45] 超过的所有值 x 属于 X.

什么时候 X 是一个 连续 随机变量 具有概率密度函数 [eq46], 它的cf 是[eq47]的 右侧积分是沿着的复数函数的轮廓积分 实轴。人们在阅读这些讲义时通常并不熟悉 等高线积分(复杂分析中的主题),我们完全避免使用它 而是利用事实 那[eq48]至 将轮廓积分重写为两个普通的复数和 积分:[eq49]和 分别计算两个积分。

解决的练习

您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。

练习1

X 是具有的离散随机变量 支持[eq50] 概率质量 功能[eq51]派生 的真人在线斗地主函数 X.

通过使用真人在线斗地主的定义 功能,我们 得到[eq52]

练习2

使用上一练习中找到的真人在线斗地主函数来推导 的方差 X.

我们可以使用以下公式 计算 方差:[eq53]的 的期望值 X 通过取真人在线斗地主的一阶导数来计算 功能:[eq54]评估 它在 $t=0$ 并除以 i:[eq55]的 第二 时刻X 通过采用真人在线斗地主的二阶导数来计算 功能:[eq56]评估 它在 $t=0$ 并除以 $ i ^ {2} $:[eq57]因此,[eq58]

练习3

阅读并尝试了解制服的真人在线斗地主功能和 的指数分布是在题为“ 均匀分布 指数分布.

参考文献

雷斯尼克,S.I.(2013年) 机率 路径,Birkhauser。

乌沙科夫(1999) 选定主题 具有特色功能,VSP。

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "真人在线斗地主功能", 列克特ures on 可能性 theory 和 mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/fundamentals-of-probability/characteristic-function.

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