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真人在线斗地主功能

通过 博士

在演讲中 瞬间产生 功能，我们已经解释说，随机变量的分布可以 根据它的力矩产生函数，一个实函数来表征 具有两个重要的属性：它唯一地确定其关联 概率分布及其零导数等于矩 随机变量的我们还解释了并非所有随机变量 具有力矩产生功能。

真人在线斗地主函数（cf）具有几乎相同的属性 对于那些具有瞬间生成功能的人，但是它具有重要的意义 优势：所有随机变量都具有真人在线斗地主函数。

目录

目录

  1. 定义

  2. 具有真人在线斗地主函数的力矩

  3. 通过真人在线斗地主函数表征分布

  4. 更多细节

    1. 线性变换的真人在线斗地主函数

    2. 相互独立的随机变量之和的真人在线斗地主函数

    3. 真人在线斗地主函数的计算

  5. 解决的练习

    1. 练习1

    2. 练习2

    3. 练习3

  6. 参考文献

定义

我们以定义真人在线斗地主函数开始本讲座。

定义 让 X 成为 随机变量。让 $ i = sqrt {-1} $ 是假想的单位。功能 [eq1] 定义的 通过[eq2]是 叫做 真人在线斗地主函数 的 X.

首先要注意的是 [eq3] 存在于任何 $ t $. 这可以证明为 如下：[eq4]和 最后两个期望值定义明确，因为正弦和余弦 功能在区间内 [eq5].

具有真人在线斗地主函数的力矩

像随机变量的矩生成函数一样，特性 函数可以用来推导 X, 如以下命题所述。

主张 让 X 是一个随机变量， [eq6] 其比照让 $ nin U {2115} $. 如果 n-th 时刻 的 X, 表示为 [eq7], 存在并且是有限的，那么 [eq8] 是 n 连续微分的时间 和[eq9]哪里 [eq10] 是个 n-th 的导数 [eq11] 关于 $ t $, 在该点评估 $t=0$.

证明

这个主张的证明是相当 复杂的（例如， 雷斯尼克2013），我们在这里给 仅是草图，没有考虑技术细节。凭借 期望值和微分算子的线性关系 可以将导数带入期望值内，因为 如下：[eq12]什么时候 $t=0$, 后者 变成[eq13]

在实践中，当有人想要 计算一个随机变量的矩，因为命题要求 提前知道该时刻是否存在。更有用 命题如下。

主张 让 X 是一个随机变量， [eq14] 其特色功能。如果 [eq15] 是 n 此时的可微分时间 $t=0$, 然后

  1. 如果 n 是 甚至， k-th 的时刻 X 存在并且对任何事物都是有限的 $ kleq n $;

  2. 如果 n 是 奇， k-th 的时刻 X 存在并且对任何事物都是有限的 $k<n$.

同时 情况[eq16]哪里 [eq17] 是个 k-th 的导数 [eq15] 关于 $ t $, 在该点评估 $t=0$.

证明

参见，例如 乌沙科夫 (1999).

下一个示例显示了该命题如何用于计算第二个命题 指数随机变量的矩。

例 让 X 是具有参数的指数随机变量 [eq19]. 它的 支持 是个 正实集 数字：[eq20]和 它的 概率密度 功能 是[eq21]它的 cf 是[eq22]哪一个 在题为“ 指数的 分配。注意除法 [eq23] 上面的方法不会引起任何被零除的问题，因为分母是 不同于 0 还有什么时候 $t=0$ （因为 $ lambda>0$）。 cf的一阶导数 是[eq24]的 cf的二阶导数 是[eq25]评估 它在 $t=0$, 我们 获得[eq26]因此， 第二时刻 X 存在并且是有限的。此外，它可以被计算 如 [eq27]

通过 真人在线斗地主函数

也可以使用真人在线斗地主函数，例如力矩生成函数 表征随机变量的分布。

主张 让 X 和 Y 是两个随机变量。表示为 [eq28] 和 [eq29] 其 分配 职能 和 [eq15] 和 [eq31] 他们的cfs。然后， X 和 Y 具有相同的分布，即 [eq32] 对于任何 x, 当且仅当它们具有相同的cf，即 [eq33] 对于任何 $ t $.

证明

参见，例如 雷斯尼克 2013.

在应用中，该命题通常用于证明两个 分布是相等的，尤其是当很难直接证明时 两个分布函数相等 [eq34] 和 [eq29].

更多细节

以下各节包含有关真人在线斗地主功能的更多详细信息。

一个的真人在线斗地主函数 线性变换

让 X 与cf成为随机变量 [eq15]. 定义[eq37]哪里 $ a，bin U {211d} $ 是两个常数， $b eq 0$. 然后， Y 是[eq38]

证明

使用cf的定义，我们 获得[eq39]

一个的真人在线斗地主函数 相互独立的随机变量之和

让 X_1, ...， X_n 是 n 相互独立的随机变量。让 Z 成为他们的 和：[eq40]然后， 的cf Z 是cfs的乘积 X_1, ...， X_n:[eq41]

证明

可以证明为 如下：[eq42]

真人在线斗地主函数的计算

什么时候 X 是一个 离散随机 变量 在支持下 R_X 和概率质量函数 [eq43], 它的cf 是[eq44]从而， 真人在线斗地主函数的计算非常简单：全部 我们要做的是将复数相加 [eq45] 超过的所有值 x 属于 X.

什么时候 X 是一个 连续 随机变量 具有概率密度函数 [eq46], 它的cf 是[eq47]的 右侧积分是沿着的复数函数的轮廓积分 实轴。人们在阅读这些讲义时通常并不熟悉 等高线积分（复杂分析中的主题），我们完全避免使用它 而是利用事实 那[eq48]至 将轮廓积分重写为两个普通的复数和 积分：[eq49]和 分别计算两个积分。

解决的练习

您可以在下面找到一些练习，其中包含已说明的解决方案。

练习1

让 X 是具有的离散随机变量 支持[eq50]和 概率质量 功能[eq51]派生 的真人在线斗地主函数 X.

解

通过使用真人在线斗地主的定义 功能，我们 得到[eq52]

练习2

使用上一练习中找到的真人在线斗地主函数来推导 的方差 X.

解

我们可以使用以下公式 计算 方差：[eq53]的 的期望值 X 通过取真人在线斗地主的一阶导数来计算 功能：[eq54]评估 它在 $t=0$ 并除以 i:[eq55]的 第二 时刻 的 X 通过采用真人在线斗地主的二阶导数来计算 功能：[eq56]评估 它在 $t=0$ 并除以 $ i ^ {2} $:[eq57]因此，[eq58]

练习3

阅读并尝试了解制服的真人在线斗地主功能和 的指数分布是在题为“ 均匀分布 和 指数分布.

参考文献

雷斯尼克，S.I.（2013年） 机率 路径，Birkhauser。

乌沙科夫（1999） 选定主题 具有特色功能，VSP。

如何引用

请引用为：

Taboga, Marco (2017). "真人在线斗地主功能", 列克特ures on 可能性 theory 和 mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/fundamentals-of-probability/characteristic-function.

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