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有条件的期望

通过 马可·塔波加(Marco Taboga)博士

条件期望(或条件均值或条件期望 值) 随机变量 是个 期望值 随机变量本身 关于其计算 条件概率 分配.

与预期值一样,对 条件期望值需要复杂的数学仪器。至 使事情变得更简单,在此我们不给出完全严格的定义 演讲。我们宁愿给出一个非正式的定义,并说明有条件 期望值可以计算出来。特别是,我们讨论了如何计算 随机变量的期望值 X 当我们观察到另一个随机变量的实现 Y, 也就是说,当我们收到信息时 Y = y. 的期望值 X 以以下信息为条件 Y = y 被称为 X 给定 Y = y.

目录

定义

以下非正式定义与以下内容的定义非常相似: 我们在题为“讲座”的演讲中给出的期望值 期望值.

定义(非正式)XY 是两个随机变量。的 有条件的 期望X 给定 Y = y 是值的加权平均值, $ X $ 可以承担,每个可能的值都由其各自的值加权 条件概率(取决于以下信息: Y = y)。

对随机变量的期望 X 有条件的 Y = y 用表示 [eq1]

离散随机变量的条件期望

在这种情况下 XY 是两个 离散随机 变数 并且一起考虑,它们形成了一个 离散随机向量, 用于计算条件期望的公式 X 给定 Y = y 是上述非正式定义的直接实现 有条件的期望:平均值的权重由 有条件的 概率质量函数X.

定义XY 是两个离散的随机变量。让 R_X 成为 支持X 然后让 [eq2] 是...的条件概率质量函数 X 给定 Y = y. 的条件期望 X 给定 Y = y[eq3]提供 那[eq4]

如果您不明白该符号 $ sum_ {xin R_ {X}} $ 并且上面的有限条件(绝对可加性)可以返回到 演讲题目 期望值, 他们在哪里 解释。

让随机向量的支持 [eq5][eq6]和 它的联合概率质量函数 是[eq7]让 我们计算的条件概率质量函数 X 给定 $Y=0$. 的边际概率质量函数 Y 在评估 $y=0$[eq8]的 支持 X[eq9]从而, 的条件概率质量函数 X 给定 $Y=0$[eq10]的 有条件的期望 X 给定 $Y=0$[eq11]

连续随机变量的条件期望

什么时候 XY 连续 随机变量,形成一个 连续随机 向量,用于计算条件期望的公式 X 给定 Y = y 涉及一个积分,可以认为是积分的极限情况 总结 [eq12] 在上面的离散情况下找到。

定义XY 是两个连续的随机变量。让 R_X 得到...的支持 X 然后让 [eq13] 成为 有条件的 概率密度函数X 给定 Y = y. 的条件期望 X 给定 Y = y[eq14]提供 那[eq15]

如果您不明白为什么需要积分以及为什么有限性 施加以上条件(绝对可积性),您可以找到一个 演讲中的解释 期望值.

让随机向量的支持 [eq16][eq17]和 它的联合概率密度函数 是[eq18]让 我们计算条件概率密度函数 X 给定 $Y=2 $. 的支持 Y[eq19]什么时候 [eq20], 的 Y0; 什么时候 [eq21], 边际概率密度函数 是[eq22]从而, 的 Y[eq23]什么时候 在评估 $y=2$, 它 是[eq24]的 支持 X[eq25]从而, 的条件概率密度函数 X 给定 $Y=2$[eq26]的 有条件的期望 X 给定 $Y=2$[eq27]

一般有条件的期望

用于计算条件期望的一般公式 X 给定 Y = y 不需要两个变量形成离散或连续随机 向量,但适用于任何随机向量。

定义[eq28] 成为 条件分布函数X 给定 Y = y. 的条件期望 X 给定 Y = y[eq29]哪里 该积分是黎曼-斯蒂尔杰斯积分,并且期望值存在,并且 只要积分是明确定义的,就可以明确定义。

上面的公式遵循与期望值相同的公式逻辑 [eq30]与 唯一的区别是无条件分布函数 [eq31] 现在已替换为条件分布函数 [eq32]. 对此公式不熟悉的读者可以回到讲座 有资格 期望值 并阅读直观 Riemann-Stieltjes积分及其在概率中的应用 理论。

更多细节

以下小节包含有关条件期望的更多详细信息。

条件期望的性质

从以上各节中,应该清楚,条件期望 精确地计算为期望值,唯一的区别是 概率和概率密度被条件替换 概率和条件概率密度。因此,属性 期望值(例如线性度)所享有的 有条件的期望。为了说明预期的特性 值,您可以去参加题为 的性质 期望值.

期望期望定律

很明显,在知道实现之前 Y, 有条件的期望 X 给定 Y 未知,它本身可以视为随机变量。我们用 [eq33]. 换一种说法, [eq34] 是一个随机变量,因此其实现等于 [eq35] 什么时候 $ y $ 是实现 Y.

这个随机变量满足一个非常重要的特性,即 法 的 期望:[eq36]

证明

对于离散随机变量,这被证明 如 如下:[eq37]对于 连续随机变量的证明是 类似的:[eq38]

解决的练习

您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。

练习1

[eq39] 是具有支持的离散随机向量 [eq40]和 联合概率质量 功能[eq41]什么 是...的有条件期望 X 给定 $Y=2$?

让我们计算条件 的概率质量函数 X 给定 $Y=2$. 的边际概率质量函数 Y 在评估 $y=2$[eq42]的 支持 X[eq43]从而, 的条件概率质量函数 X 给定 $Y=2$[eq44]的 有条件的期望 X 给定 $Y=2$[eq45]

练习2

假设 [eq39] 是具有支持的连续随机向量 [eq47]和 联合概率密度 功能[eq48]计算 的期望值 Y 有条件的 $X=1$.

我们首先需要计算条件 的概率密度函数 Y 给定 $X=1$, 通过使用公式 [eq49]注意 通过使用 指标功能, 我们可以 写[eq50]的 边际概率密度函数 [eq51] 通过将关节边缘化而获得 密度:[eq52]什么时候 在评估 $x=1$, 它 是[eq53]此外, [eq54]从而, 的条件概率密度函数 Y 给定 $X=1$[eq55]的 有条件的期望 Y 给定 $X=1$[eq56]

练习3

XY 是两个随机变量。请记住 方差X 可以计算 如 [eq57]在 以类似的方式, X, 给定 Y = y, 可以定义 如 [eq58]使用 反复期望定律的证明 那[eq59]

证明如下:

[eq60]哪里: 在步 $ box {A} $ 我们使用了迭代期望法则;在步 $ box {B} $ 我们已经使用了 式[eq61] 在步 $ box {C} $ 我们使用了期望值的线性;在步 $ box {D} $ 我们已经使用了 式[eq62]

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "有条件的期望", 列克特ures on probability theory 和 mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/fundamentals-of-probability/conditional-expectation.

这本书

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