有条件的期望

通过 马可·塔波加（Marco Taboga）博士

条件期望（或条件均值或条件期望 值） 随机变量 是个 期望值 随机变量本身 关于其计算 条件概率 分配.

与预期值一样，对 条件期望值需要复杂的数学仪器。至 使事情变得更简单，在此我们不给出完全严格的定义 演讲。我们宁愿给出一个非正式的定义，并说明有条件 期望值可以计算出来。特别是，我们讨论了如何计算 随机变量的期望值 当我们观察到另一个随机变量的实现 , 也就是说，当我们收到信息时 . 的期望值 以以下信息为条件 被称为 给定 .

定义

以下非正式定义与以下内容的定义非常相似： 我们在题为“讲座”的演讲中给出的期望值 期望值.

对随机变量的期望 有条件的 用表示

离散随机变量的条件期望

在这种情况下 和 是两个 离散随机 变数 并且一起考虑，它们形成了一个 离散随机向量, 用于计算条件期望的公式 给定 是上述非正式定义的直接实现 有条件的期望：平均值的权重由 有条件的 概率质量函数 的 .

如果您不明白该符号 并且上面的有限条件（绝对可加性）可以返回到 演讲题目 期望值， 他们在哪里 解释。

连续随机变量的条件期望

什么时候 和 是 连续 随机变量，形成一个 连续随机 向量，用于计算条件期望的公式 给定 涉及一个积分，可以认为是积分的极限情况 总结 在上面的离散情况下找到。

如果您不明白为什么需要积分以及为什么有限性 施加以上条件（绝对可积性），您可以找到一个 演讲中的解释 期望值.

一般有条件的期望

用于计算条件期望的一般公式 给定 不需要两个变量形成离散或连续随机 向量，但适用于任何随机向量。

上面的公式遵循与期望值相同的公式逻辑 与 唯一的区别是无条件分布函数 现在已替换为条件分布函数 . 对此公式不熟悉的读者可以回到讲座 有资格 期望值 并阅读直观 Riemann-Stieltjes积分及其在概率中的应用 理论。

更多细节

以下小节包含有关条件期望的更多详细信息。

条件期望的性质

从以上各节中，应该清楚，条件期望 精确地计算为期望值，唯一的区别是 概率和概率密度被条件替换 概率和条件概率密度。因此，属性 期望值（例如线性度）所享有的 有条件的期望。为了说明预期的特性 值，您可以去参加题为 的性质 期望值.

期望期望定律

很明显，在知道实现之前 , 有条件的期望 给定 未知，它本身可以视为随机变量。我们用 . 换一种说法， 是一个随机变量，因此其实现等于 什么时候 是实现 .

这个随机变量满足一个非常重要的特性，即 法 的 期望:

解决的练习

您可以在下面找到一些练习，其中包含已说明的解决方案。

练习1

让 是具有支持的离散随机向量 和 联合概率质量 功能什么 是...的有条件期望 给定 ?

练习2

假设 是具有支持的连续随机向量 和 联合概率密度 功能计算 的期望值 有条件的 .

练习3

让 和 是两个随机变量。请记住 方差 的 可以计算 如 在 以类似的方式， , 给定 , 可以定义 如 使用 反复期望定律的证明 那

如何引用

请引用为：

Taboga, Marco (2017). "有条件的期望", 列克特ures on probability theory 和 mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/fundamentals-of-probability/conditional-expectation.