条件期望(或条件均值或条件期望 值) 随机变量 是个 期望值 随机变量本身 关于其计算 条件概率 分配.
与预期值一样,对
条件期望值需要复杂的数学仪器。至
使事情变得更简单,在此我们不给出完全严格的定义
演讲。我们宁愿给出一个非正式的定义,并说明有条件
期望值可以计算出来。特别是,我们讨论了如何计算
随机变量的期望值
当我们观察到另一个随机变量的实现
,
也就是说,当我们收到信息时
.
的期望值
以以下信息为条件
被称为
给定
.
以下非正式定义与以下内容的定义非常相似: 我们在题为“讲座”的演讲中给出的期望值 期望值.
对随机变量的期望
有条件的
用表示
在这种情况下
和
是两个 离散随机
变数 并且一起考虑,它们形成了一个
离散随机向量,
用于计算条件期望的公式
给定
是上述非正式定义的直接实现
有条件的期望:平均值的权重由
有条件的
概率质量函数 的
.
定义
让
和
是两个离散的随机变量。让
成为 支持 的
然后让
是...的条件概率质量函数
给定
.
的条件期望
给定
是
提供
那
如果您不明白该符号
并且上面的有限条件(绝对可加性)可以返回到
演讲题目 期望值, 他们在哪里
解释。
例
让随机向量的支持
是
和
它的联合概率质量函数
是
让
我们计算的条件概率质量函数
给定
.
的边际概率质量函数
在评估
是
的
支持
是
从而,
的条件概率质量函数
给定
是
的
有条件的期望
给定
是
什么时候
和
是 连续
随机变量,形成一个
连续随机
向量,用于计算条件期望的公式
给定
涉及一个积分,可以认为是积分的极限情况
总结
在上面的离散情况下找到。
定义
让
和
是两个连续的随机变量。让
得到...的支持
然后让
成为
有条件的
概率密度函数 的
给定
.
的条件期望
给定
是
提供
那
如果您不明白为什么需要积分以及为什么有限性 施加以上条件(绝对可积性),您可以找到一个 演讲中的解释 期望值.
例
让随机向量的支持
是
和
它的联合概率密度函数
是
让
我们计算条件概率密度函数
给定
.
的支持
是
什么时候
,
的
是
;
什么时候
,
边际概率密度函数
是
从而,
的
是
什么时候
在评估
,
它
是
的
支持
是
从而,
的条件概率密度函数
给定
是
的
有条件的期望
给定
是
用于计算条件期望的一般公式
给定
不需要两个变量形成离散或连续随机
向量,但适用于任何随机向量。
定义
让
成为 条件分布函数 的
给定
.
的条件期望
给定
是
哪里
该积分是黎曼-斯蒂尔杰斯积分,并且期望值存在,并且
只要积分是明确定义的,就可以明确定义。
上面的公式遵循与期望值相同的公式逻辑
与
唯一的区别是无条件分布函数
现在已替换为条件分布函数
.
对此公式不熟悉的读者可以回到讲座
有资格 期望值 并阅读直观
Riemann-Stieltjes积分及其在概率中的应用
理论。
以下小节包含有关条件期望的更多详细信息。
从以上各节中,应该清楚,条件期望 精确地计算为期望值,唯一的区别是 概率和概率密度被条件替换 概率和条件概率密度。因此,属性 期望值(例如线性度)所享有的 有条件的期望。为了说明预期的特性 值,您可以去参加题为 的性质 期望值.
很明显,在知道实现之前
,
有条件的期望
给定
未知,它本身可以视为随机变量。我们用
.
换一种说法,
是一个随机变量,因此其实现等于
什么时候
是实现
.
这个随机变量满足一个非常重要的特性,即 法
的
期望:
对于离散随机变量,这被证明
如
如下:对于
连续随机变量的证明是
类似的:
您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。
让
是具有支持的离散随机向量
和
联合概率质量
功能
什么
是...的有条件期望
给定
?
让我们计算条件
的概率质量函数
给定
.
的边际概率质量函数
在评估
是
的
支持
是
从而,
的条件概率质量函数
给定
是
的
有条件的期望
给定
是
假设
是具有支持的连续随机向量
和
联合概率密度
功能
计算
的期望值
有条件的
.
我们首先需要计算条件
的概率密度函数
给定
,
通过使用公式
注意
通过使用 指标功能, 我们可以
写
的
边际概率密度函数
通过将关节边缘化而获得
密度:
什么时候
在评估
,
它
是
此外,
从而,
的条件概率密度函数
给定
是
的
有条件的期望
给定
是
让
和
是两个随机变量。请记住 方差
的
可以计算
如
在
以类似的方式,
,
给定
,
可以定义
如
使用
反复期望定律的证明
那
证明如下:
哪里:
在步
我们使用了迭代期望法则;在步
我们已经使用了
式
在步
我们使用了期望值的线性;在步
我们已经使用了
式
请引用为:
Taboga, Marco (2017). "有条件的期望", 列克特ures on probability theory 和 mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/fundamentals-of-probability/conditional-expectation.