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条件概率

通过 博士

欧米茄 成为 样本空间 然后让 [eq1] 表示 可能性 分配给 大事记 $ Esubseteq欧米茄$. 假设在分配概率之后 [eq2] 对中的事件 欧米茄, 我们收到有关将要发生的事情的新信息(可能 结果)。特别是,假设我们被告知已实现的结果 将属于一个集合 $ Isubseteq欧米茄$. 我们应该如何修改分配给事件的概率 欧米茄, 适当考虑新信息?

表示为 [eq3] 分配给事件的修订概率 $ Esubseteq欧米茄$ 在得知已实现的结果将是 I. [eq4] 被称为 条件概率E 给定 I.

尽管是一个直观的概念,但条件概率还是很困难的 以严格的方式定义。在本讲座中,我们采用循序渐进的方法。我们 首先讨论非常特殊情况下的条件概率 的 样本点 都一样 可能。然后,我们给出一个更笼统的定义。最后,我们推荐读者 到其他讲授条件概率的讲课 抽象的方式。

目录

相同采样点的情况

假设一个样本空间 欧米茄 有一个有限的数 n 采样点数 [eq5], 即[eq6]假设 并且每个采样点都分配有相同的 可能性:[eq7]在 如此简单的空间,一般事件的可能性 E 获得 如 [eq8]哪里 $ QTR {rm} {card} $ 表示集合的基数,即其元素的数量。其他 话,一个事件的可能性 E 分两个步骤获得:

  1. 计算对事件有利的案件数 E', 即元素数 $ omega _ {i} $ 属于 E;

  2. 将如此获得的数目除以“所有可能的案件”的数目,即 元素数 $ omega _ {i} $ 属于 欧米茄.

例如,如果 [eq9], 然后[eq10]

当我们得知实现的结果将属于一个集合 $ Isubseteq欧米茄$, 我们仍然应用 规则[eq11]

但是,所有可能病例的数量现在等于 要点 I, 因为只有结果属于 I 仍然可能。此外,有利案件的数量现在等于 的元素数 $ Ecap I $, 因为结果在 $ Ecap I ^ {c} $ 不再可能。作为一个 后果,[eq12]

用分子和分母除以 [eq13], 我们 获得[eq14]

因此,当所有采样点均等可能时,有条件 计算概率 如 [eq15]

假设我们掷骰子。六个数字(来自 1$6)$ 可以面朝上出现,但我们尚不知道会出现哪一个。的 样本空间 是[eq16]每 六个数字中的一个是样本点,并被分配了概率 $ frac {1} {6} $. 定义事件 E 如 如下:[eq17]哪里 事件 E 可以描述为“一个奇数朝上出现”。现在定义事件 I 如 如下:[eq18]哪里 事件 I 可以描述为“大于3的数字面朝上出现”。的 的可能性 I[eq19]假设 有人告诉我们,实现的结果将属于 I. 我们如何修改对事件可能性的评估 E, 根据条件概率规则?首先,我们需要 计算事件的可能性 $ Ecap I $:[eq20]然后, 的条件概率 E 给定 I[eq21]

在下一节中,我们将显示 条件概率 式[eq15]是 在更一般的情况下也有效(即当采样点不全是 同样可能)。但是,这个公式已经使我们了解了为什么 确定条件概率是一项艰巨的任务。在有条件的情况下 概率公式,除以 [eq23] 被执行。这种划分是不可能的 I 是一个 零概率事件 (即 [eq24])。 如果我们想能够定义 [eq25] 还有什么时候 [eq26], 那么我们需要给条件概率一个更复杂的定义。 稍后我们将回到这一点。

更一般的方法

在本节中,我们给出条件概率的更一般定义, 通过公理的方法。首先,我们列出我们将要 像有条件概率满足。然后,我们证明条件 上面介绍的概率公式满足这些性质。的 关于条件概率公式不能满足的情况的讨论 使用是因为 [eq27] 推迟到下一部分。

条件概率 [eq28] 需要满足以下属性:

  1. 概率测度。 [eq29] 必须满足所有 一个的属性 概率测度.

  2. 当然可以 [eq30].

  3. 不可能的事件。 如果 $ Esubseteq I ^ {c} $ ($ I ^ {c} $, 的补充 I 关于 欧米茄, 是的所有元素的集合 欧米茄 不属于 I), 然后 [eq31].

  4. 的恒定似然比 I. 如果 $ Esubseteq I $, $ Fsubseteq I $[eq32], 然后[eq33]

这些属性非常直观:

  1. 概率测度。 此属性还要求 条件概率测度满足任何 其他概率测度需要满足。

  2. 当然可以 此属性表示确定的概率 事情一定是 1: 因为我们知道只有属于集合的东西 I 会发生,那么 I 一定是 1.

  3. 不可能的事件。 此属性表示 不可能的事情一定是 0: 因为我们知道东西不属于集合 I 不会发生,那么与之脱节的事件的概率 I 一定是 0.

  4. 的恒定似然比 I. 这个属性稍微复杂一点:它说 $ Fsubseteq I $ -比说-的可能性是 $ Esubseteq I $ 在收到信息之前 I, 然后 F 仍然是可能性的两倍 E, 也在收到信息之后,因为其中的所有事物 EF 仍然可能(仍然可能发生),因此,没有理由期待 他们的可能性比率改变。

当满足以上属性时,则条件概率 可以使用公式。

命题(条件概率) 式) 每当 [eq34], [eq35] 当且仅当满足以上四个属性 如果[eq15]

证明

我们首先展示 那[eq37]满足 每当这四个属性 [eq38]. 关于属性1),我们必须检查三个 满足概率措施的要求。第一个要求 因为一个概率测度是 [eq39]. 以来 [eq40], 通过概率的单调性 那[eq41]因此,[eq42]此外, 以来 [eq43][eq44], 也 [eq45]的 概率测度的第二个要求是 [eq46]. 这很满意 因为[eq47]的 概率测度的第三个要求是对于 不相交集 [eq48] 以下 持有:[eq49]但,[eq50]所以 满足第三个要求。属性2)琐碎 满意:[eq51]属性 3)被验证是因为,如果 $ Esubseteq I ^ {c} $, 然后[eq52]属性 4)被验证是因为,如果 $ Esubseteq I $, $ Fsubseteq I $[eq53], 然后[eq54]所以, “如果”部分已得到证明。现在我们证明“仅当”部分。我们通过证明 矛盾。假设存在另一个条件概率 [eq55] 满足这四个属性。然后,有一个事件 E, 这样 那[eq56]它 不能那样 $ Esubseteq I $, 否则我们会 有[eq57]哪一个 这将是一个矛盾,因为如果 [eq58] 是有条件的概率 满足:[eq59]如果 $ E $是 不是...的子集 I 然后 [eq60] 也暗示 [eq61] 因为[eq62][eq63]但 这也会导致矛盾,因为 [eq64].

零除法

在上一节中,我们概括了条件条件的概念 可能性。但是,我们无法定义条件 可能性 [eq28] 对于这种情况 [eq27]. 在标题为“ 条件概率作为随机变量 条件概率分布.

更多细节

总概率定律

$ I_ {1} $, ..., $ I_ {n} $n 具有以下特征的事件:

  1. 它们是相互不相交的: [eq67] 每当 $j
eq k$;

  2. 他们涵盖了所有样本 空间:[eq68]

  3. 他们具有严格的正概率: [eq69] 对于任何 $ j $.

$ I_ {1} $, ..., $ I_ {n} $ 是一个 划分 欧米茄.

总概率定律 指出,无论如何 E, 以下 持有:[eq70]哪一个 当然也可以写成 如 [eq71]

证明

总概率定律证明为 如下:[eq72]

解决的练习

一些关于条件概率的已解决练习可以在下面找到。

练习1

考虑一个样本空间 欧米茄 包括三个可能的结果 $ omega _ {1} $, $ omega _ {2} $, $ omega _ {3} $:[eq73]

假设将以下三种可能的结果分配给 概率:[eq74]

定义 大事记[eq75]

并用 $ E ^ {c} $ 的补充 E.

计算 [eq76], 的条件概率 F 给定 $ E ^ {c} $.

我们需要使用条件 可能性 式[eq77]

分子 是[eq78]和 分母 是[eq79]

作为一个 后果,[eq80]

练习2

考虑一个样本空间 欧米茄 包括四个可能的结果 $ omega _ {1} $, $ omega _ {2} $, $ omega _ {3} $, $ omega _ {4} $:[eq81]

假设四个可能的结果分配如下 概率:[eq82]

定义两个 大事记[eq83]

计算 [eq84], 的条件概率 E 给定 F.

我们需要使用 式[eq85]

[eq86]而, 通过使用可加性,我们 获得[eq87]

因此,[eq88]

练习3

人口普查局估计了男性的以下生存概率:

  1. 一个人至少活70岁的概率:80%;

  2. 一个人至少活80岁的概率:50%。

给定一个人至少活80年的条件概率是多少 他刚刚庆祝自己的70岁生日?

给定假设的样本空间 欧米茄, 定义两个 大事记[eq89]

我们需要找到以下条件 可能性:[eq90]

分母是 已知:[eq91]

就分子而言,请注意 $ Fsubseteq E $ (如果您至少活80岁,那么您也至少活70岁)。但 $ Fsubseteq E $ 暗示[eq92]

因此,[eq93]

从而,[eq94]

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "条件概率", 列克特ures on 可能性 的ory 和 mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/fundamentals-of-probability/conditional-probability.

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