让
成为 样本空间 然后让
表示 可能性 分配给
大事记
.
假设在分配概率之后
对中的事件
,
我们收到有关将要发生的事情的新信息(可能
结果)。特别是,假设我们被告知已实现的结果
将属于一个集合
.
我们应该如何修改分配给事件的概率
,
适当考虑新信息?
表示为
分配给事件的修订概率
在得知已实现的结果将是
.
被称为 条件概率 的
给定
.
尽管是一个直观的概念,但条件概率还是很困难的 以严格的方式定义。在本讲座中,我们采用循序渐进的方法。我们 首先讨论非常特殊情况下的条件概率 的 样本点 都一样 可能。然后,我们给出一个更笼统的定义。最后,我们推荐读者 到其他讲授条件概率的讲课 抽象的方式。
假设一个样本空间
有一个有限的数
采样点数
,
即
假设
并且每个采样点都分配有相同的
可能性:
在
如此简单的空间,一般事件的可能性
获得
如
哪里
表示集合的基数,即其元素的数量。其他
话,一个事件的可能性
分两个步骤获得:
计算对事件有利的案件数
',
即元素数
属于
;
将如此获得的数目除以“所有可能的案件”的数目,即
元素数
属于
.
例如,如果
,
然后
当我们得知实现的结果将属于一个集合
,
我们仍然应用
规则
但是,所有可能病例的数量现在等于
要点
,
因为只有结果属于
仍然可能。此外,有利案件的数量现在等于
的元素数
,
因为结果在
不再可能。作为一个
后果,
用分子和分母除以
,
我们
获得
因此,当所有采样点均等可能时,有条件
计算概率
如
例
假设我们掷骰子。六个数字(来自
至
可以面朝上出现,但我们尚不知道会出现哪一个。的
样本空间
是
每
六个数字中的一个是样本点,并被分配了概率
.
定义事件
如
如下:
哪里
事件
可以描述为“一个奇数朝上出现”。现在定义事件
如
如下:
哪里
事件
可以描述为“大于3的数字面朝上出现”。的
的可能性
是
假设
有人告诉我们,实现的结果将属于
.
我们如何修改对事件可能性的评估
,
根据条件概率规则?首先,我们需要
计算事件的可能性
:
然后,
的条件概率
给定
是
在下一节中,我们将显示 条件概率
式是
在更一般的情况下也有效(即当采样点不全是
同样可能)。但是,这个公式已经使我们了解了为什么
确定条件概率是一项艰巨的任务。在有条件的情况下
概率公式,除以
被执行。这种划分是不可能的
是一个 零概率事件 (即
)。
如果我们想能够定义
还有什么时候
,
那么我们需要给条件概率一个更复杂的定义。
稍后我们将回到这一点。
在本节中,我们给出条件概率的更一般定义,
通过公理的方法。首先,我们列出我们将要
像有条件概率满足。然后,我们证明条件
上面介绍的概率公式满足这些性质。的
关于条件概率公式不能满足的情况的讨论
使用是因为
推迟到下一部分。
条件概率
需要满足以下属性:
概率测度。
必须满足所有 一个的属性
概率测度.
当然可以
.
不可能的事件。 如果
(
,
的补充
关于
,
是的所有元素的集合
不属于
),
然后
.
的恒定似然比
.
如果
,
和
,
然后
这些属性非常直观:
概率测度。 此属性还要求 条件概率测度满足任何 其他概率测度需要满足。
当然可以 此属性表示确定的概率
事情一定是
:
因为我们知道只有属于集合的东西
会发生,那么
一定是
.
不可能的事件。 此属性表示
不可能的事情一定是
:
因为我们知道东西不属于集合
不会发生,那么与之脱节的事件的概率
一定是
.
的恒定似然比
.
这个属性稍微复杂一点:它说
-比说-的可能性是
在收到信息之前
,
然后
仍然是可能性的两倍
,
也在收到信息之后,因为其中的所有事物
和
仍然可能(仍然可能发生),因此,没有理由期待
他们的可能性比率改变。
命题(条件概率)
式)
每当
,
当且仅当满足以上四个属性
如果
我们首先展示
那满足
每当这四个属性
.
关于属性1),我们必须检查三个
满足概率措施的要求。第一个要求
因为一个概率测度是
.
以来
,
通过概率的单调性
那
因此,
此外,
以来
和
,
也
的
概率测度的第二个要求是
.
这很满意
因为
的
概率测度的第三个要求是对于
不相交集
以下
持有:
但,
所以
满足第三个要求。属性2)琐碎
满意:
属性
3)被验证是因为,如果
,
然后
属性
4)被验证是因为,如果
,
和
,
然后
所以,
“如果”部分已得到证明。现在我们证明“仅当”部分。我们通过证明
矛盾。假设存在另一个条件概率
满足这四个属性。然后,有一个事件
,
这样
那
它
不能那样
,
否则我们会
有
哪一个
这将是一个矛盾,因为如果
是有条件的概率
满足:
如果
是
不是...的子集
然后
也暗示
因为
和
但
这也会导致矛盾,因为
.
在上一节中,我们概括了条件条件的概念
可能性。但是,我们无法定义条件
可能性
对于这种情况
.
在标题为“
条件概率作为随机变量 和
条件概率分布.
让
,
...,
是
具有以下特征的事件:
它们是相互不相交的:
每当
;
他们涵盖了所有样本
空间:
他们具有严格的正概率:
对于任何
.
,
...,
是一个 划分 的
.
的 总概率定律 指出,无论如何
,
以下
持有:
哪一个
当然也可以写成
如
总概率定律证明为
如下:
一些关于条件概率的已解决练习可以在下面找到。
考虑一个样本空间
包括三个可能的结果
,
,
:
假设将以下三种可能的结果分配给
概率:
定义
大事记
并用
的补充
.
计算
,
的条件概率
给定
.
我们需要使用条件
可能性
式
分子
是和
分母
是
作为一个
后果,
考虑一个样本空间
包括四个可能的结果
,
,
,
:
假设四个可能的结果分配如下
概率:
定义两个
大事记
计算
,
的条件概率
给定
.
我们需要使用
式
但而,
通过使用可加性,我们
获得
因此,
人口普查局估计了男性的以下生存概率:
一个人至少活70岁的概率:80%;
一个人至少活80岁的概率:50%。
给定一个人至少活80年的条件概率是多少 他刚刚庆祝自己的70岁生日?
给定假设的样本空间
,
定义两个
大事记
我们需要找到以下条件
可能性:
分母是
已知:
就分子而言,请注意
(如果您至少活80岁,那么您也至少活70岁)。但
暗示
因此,
从而,
请引用为:
Taboga, Marco (2017). "条件概率", 列克特ures on 可能性 的ory 和 mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/fundamentals-of-probability/conditional-probability.