条件概率

通过 马可·塔波加（Marco Taboga）博士

让 成为 样本空间 然后让 表示 可能性 分配给 大事记 . 假设在分配概率之后 对中的事件 , 我们收到有关将要发生的事情的新信息（可能 结果）。特别是，假设我们被告知已实现的结果 将属于一个集合 . 我们应该如何修改分配给事件的概率 , 适当考虑新信息？

表示为 分配给事件的修订概率 在得知已实现的结果将是 . 被称为 条件概率 的 给定 .

尽管是一个直观的概念，但条件概率还是很困难的 以严格的方式定义。在本讲座中，我们采用循序渐进的方法。我们 首先讨论非常特殊情况下的条件概率 的 样本点 都一样 可能。然后，我们给出一个更笼统的定义。最后，我们推荐读者 到其他讲授条件概率的讲课 抽象的方式。

相同采样点的情况

假设一个样本空间 有一个有限的数 采样点数 , 即假设 并且每个采样点都分配有相同的 可能性：在 如此简单的空间，一般事件的可能性 获得 如 哪里 表示集合的基数，即其元素的数量。其他 话，一个事件的可能性 分两个步骤获得：

1. 计算对事件有利的案件数 '， 即元素数 属于 ;

2. 将如此获得的数目除以“所有可能的案件”的数目，即 元素数 属于 .

例如，如果 , 然后

当我们得知实现的结果将属于一个集合 , 我们仍然应用 规则

但是，所有可能病例的数量现在等于 要点 , 因为只有结果属于 仍然可能。此外，有利案件的数量现在等于 的元素数 , 因为结果在 不再可能。作为一个 后果，

用分子和分母除以 , 我们 获得

因此，当所有采样点均等可能时，有条件 计算概率 如

在下一节中，我们将显示 条件概率 式是 在更一般的情况下也有效（即当采样点不全是 同样可能）。但是，这个公式已经使我们了解了为什么 确定条件概率是一项艰巨的任务。在有条件的情况下 概率公式，除以 被执行。这种划分是不可能的 是一个 零概率事件 （即 ）。 如果我们想能够定义 还有什么时候 , 那么我们需要给条件概率一个更复杂的定义。 稍后我们将回到这一点。

更一般的方法

在本节中，我们给出条件概率的更一般定义， 通过公理的方法。首先，我们列出我们将要 像有条件概率满足。然后，我们证明条件 上面介绍的概率公式满足这些性质。的 关于条件概率公式不能满足的情况的讨论 使用是因为 推迟到下一部分。

条件概率 需要满足以下属性：

1. 概率测度。 必须满足所有 一个的属性 概率测度.

2. 当然可以 .

3. 不可能的事件。 如果 (, 的补充 关于 , 是的所有元素的集合 不属于 ）， 然后 .

4. 的恒定似然比 . 如果 , 和 , 然后

这些属性非常直观：

1. 概率测度。 此属性还要求 条件概率测度满足任何 其他概率测度需要满足。

2. 当然可以 此属性表示确定的概率 事情一定是 : 因为我们知道只有属于集合的东西 会发生，那么 一定是 .

3. 不可能的事件。 此属性表示 不可能的事情一定是 : 因为我们知道东西不属于集合 不会发生，那么与之脱节的事件的概率 一定是 .

4. 的恒定似然比 . 这个属性稍微复杂一点：它说 -比说-的可能性是 在收到信息之前 , 然后 仍然是可能性的两倍 , 也在收到信息之后，因为其中的所有事物 和 仍然可能（仍然可能发生），因此，没有理由期待 他们的可能性比率改变。

当满足以上属性时，则条件概率 可以使用公式。

零除法

在上一节中，我们概括了条件条件的概念 可能性。但是，我们无法定义条件 可能性 对于这种情况 . 在标题为“ 条件概率作为随机变量 和 条件概率分布.

更多细节

总概率定律

让 , ...， 是 具有以下特征的事件：

1. 它们是相互不相交的： 每当 ;

2. 他们涵盖了所有样本 空间：

3. 他们具有严格的正概率： 对于任何 .

, ...， 是一个 划分 的 .

的 总概率定律 指出，无论如何 , 以下 持有：哪一个 当然也可以写成 如

解决的练习

一些关于条件概率的已解决练习可以在下面找到。

练习1

考虑一个样本空间 包括三个可能的结果 , , :

假设将以下三种可能的结果分配给 概率：

定义 大事记

并用 的补充 .

计算 , 的条件概率 给定 .

练习2

考虑一个样本空间 包括四个可能的结果 , , , :

假设四个可能的结果分配如下 概率：

定义两个 大事记

计算 , 的条件概率 给定 .

练习3

人口普查局估计了男性的以下生存概率：

1. 一个人至少活70岁的概率：80％；

2. 一个人至少活80岁的概率：50％。

给定一个人至少活80年的条件概率是多少 他刚刚庆祝自己的70岁生日？

如何引用

请引用为：

Taboga, Marco (2017). "条件概率", 列克特ures on 可能性 的ory 和 mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/fundamentals-of-probability/conditional-probability.