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条件真人在线斗地主作为随机变量

通过 博士

在演讲中 条件真人在线斗地主 我们 陈述了条件真人在线斗地主应具有的一些特性 在某种意义上满足理性。我们已经证明,无论何时 [eq1], 这些属性仅当且仅当满足 如果 [eq2] 但 我们还无法为以下条件推导真人在线斗地主公式 零真人在线斗地主事件,也就是说,我们还没有 能够找到一种计算方法 [eq3] 什么时候 [eq4].

因此,我们得出结论,上述基本公式不能视为 条件真人在线斗地主的一般定义,因为它不包括 零真人在线斗地主事件。

在本讲座中,我们讨论条件的完全通用定义 真人在线斗地主,其中还包括 [eq5].

目录

路线图

演讲计划如下:

  1. 我们定义事件分区的概念。

  2. 我们证明,给定事件的分区,条件真人在线斗地主可以为 被视为随机变量(以分区为条件的真人在线斗地主)。

  3. 我们表明,当不涉及零真人在线斗地主事件时,真人在线斗地主 一个分区上的条件满足一定的属性(基本 条件真人在线斗地主的性质)。

  4. 我们要求条件真人在线斗地主的基本性质是 当涉及零真人在线斗地主事件时,我们也感到满意,我们证明了这一点 需求足以明确确定有条件的真人在线斗地主 在一个分区上。因此,此要求可用于完全 条件真人在线斗地主的一般定义。

活动分区

 欧米茄 成为 样本空间 然后让 [eq6] 表示 可能性 分配给 大事记 $ Esubseteq欧米茄$.

定义以下事件的分区  欧米茄 如下:

定义G 是的非空子集的集合  欧米茄 . G 被称为 事件的划分  欧米茄 如果

  1. 所有子集 $ Gin QTR {cal} {G} $ 是事件;

  2. 如果 [eq7] 然后  $ G = F $ 要么 $ Gcap F =空白集$;

  3. [eq8].

换一种说法, G 是以下事件的一部分  欧米茄 如果是  欧米茄 覆盖所有的非重叠和非空事件  欧米茄 .

事件的分区  欧米茄 据说是 有限 如果数量有限  $ G $ 在分区中据说是 无限的 如果有 无限套  $ G $ 在分区中据说是 可数的 如果设置  $ G $ 在分区中是可数的;据说是 任意的 如果 套数  $ G $ 分区中的不一定是有限的或可数的(即可以是 无法数)。

假设我们掷骰子。六个数字(来自 1$6)$ 可以面朝上出现,但我们尚不知道会出现哪一个。的 样本空间 是 [eq9] 让 的任何子集  欧米茄 被认为是事件。定义两个 大事记 [eq10] 然后, [eq11] 是以下事件的一部分  欧米茄 . 在 事实, [eq12][eq13]. 现在定义三个 大事记 [eq14] 和 集合 [eq15]. $ QTR {cal} {F} $ 不是以下事件的分区  欧米茄 : 满足上面定义中的条件1和3时,条件2为 不 因为 [eq16]

以分区为条件的真人在线斗地主

假设我们得到一个有限分区 [eq17] 的事件  欧米茄 , 这样 [eq18] 每一个 i.

假设我们对特定事件的真人在线斗地主感兴趣 $ Esubseteq欧米茄$ 并且在将来的某个时间,我们将收到一些信息 有关 实现的结果 $ overline {omega} $. 特别是,我们将被告知哪个 n 子集  $ G_ {1} $ ,  $ G_ {2} $ , ...,  $ G_ {n} $ 实现的结果 $ overline {omega} $ 属于。当我们收到已实现结果属于的信息时 集合  $ G_ {i} $ , 我们将更新对事件可能性的评估 E, 计算其条件真人在线斗地主 [eq19] 之前 接收到该信息,该条件真人在线斗地主是未知的,并且可以是 被视为 随机变量,表示为 [eq20] 并定义为 如下:[eq21]

[eq20] 是个 的可能性 E 有条件的 在分区上 G.

让我们继续上面的示例,其中示例空间 是 [eq23][eq11] 是以下事件的一部分  欧米茄 [eq25] 让 我们为所有 结果:[eq26] 让 我们现在分析事件的条件真人在线斗地主 [eq27] 我们 有 [eq28] 的 条件真人在线斗地主 [eq29] 是一个随机变量,定义为 如下:[eq30] 以来 [eq31], 的 真人在线斗地主质量 功能 [eq20][eq33]

条件真人在线斗地主的基本性质

的基本属性 [eq29] 是它的期望值等于无条件真人在线斗地主 [eq35]:[eq36]

证明

这证明为 如下:[eq37]

在上一个示例中, [eq29] 具有以下真人在线斗地主质量 功能:[eq33] 和 很容易验证以上内容 属性:[eq40]

此属性可以概括如下:

命题(基础 属性) [eq41] 是事件的有限分区  欧米茄 这样 [eq42] 每一个 i. 让 H 作为事件联合而获得的任何事件 [eq43]. 让  $ 1_ {H} $ 成为 指标功能H. 让 [eq20] 如上定义。 然后, [eq45]

证明

不损失 概括地说,我们可以假设 H 作为第一个的联合而获得 k ( $ kleq n $ ) 分区集 G (我们可以随时重新安排  $ G_ {i} $ 通过改变他们的 索引):[eq46] 第一 注意 那 [eq47] 的 财产证明为 如下:[eq48]

条件真人在线斗地主的基本性质 作为定义属性

假设我们无法明确定义 [eq49] (发生事件的真人在线斗地主 E 以分区为条件 G )。 例如,这可能会发生,因为 G 包含零真人在线斗地主事件  $ G $ 因此,我们不能使用公式 [eq50] 界定 [eq51] 对于 $  欧米茄 的G $. 虽然我们无法明确定义 [eq20], 我们通过类比要求我们能够 明确定义它 [eq29] 满足条件真人在线斗地主的基本属性,即 是的 [eq45] 对于所有事件 H 作为事件的联合而获得 $ Gin QTR {cal} {G} $. 但是,如何确定存在一个随机变量 [eq55] 满足这个属性?存在以下重要保证 定理,我们陈述而没有提供证明。

主张G 是以下事件的任意分区  欧米茄 . 让 $ Ein欧米茄$ 成为一个事件。然后至少有一个随机变量 Y 满足 属性:[eq56] 对于 所有事件 H 可作为事件的联合获得 $ Gin QTR {cal} {G} $. 此外,如果  $ Y_ {1} $  $ Y_ {2} $ 是两个随机变量,都满足上述属性, 是的 [eq57] 对于 所有 H, 然后  $ Y_ {1} $  $ Y_ {2} $ 几乎可以肯定 相等,即 存在一个 零真人在线斗地主事件 F 这样 那 [eq58]

根据上述定理,一个随机变量 Y 满足条件真人在线斗地主的基本属性 唯一的(几乎可以肯定的平等性)。结果,我们可以间接地 定义事件的可能性 E 以分区为条件 G[eq59] Y. 定义条件真人在线斗地主的这种间接方法总结于 以下定义。

定义(真人在线斗地主以 划分) G 成为以下事件的一部分  欧米茄 . 让 $ Ein欧米茄$ 成为一个事件。我们说一个随机变量 [eq60] 是一个 的可能性 E 有条件的 在分区上 G 如果 [eq45] 对于 所有事件 H 可作为事件的联合获得 $ Gin QTR {cal} {G} $.

正如我们在上面看到的,这样的随机变量可以保证存在并且是 几乎可以肯定的平等性。

这个明显的条件真人在线斗地主抽象定义非常极端 有用。它最重要的应用之一是 连续随机向量的条件真人在线斗地主密度函数(请参阅 演讲题目 条件真人在线斗地主 分布 )。

更多细节

下一节将介绍有关条件真人在线斗地主的更多详细信息。

关于sigma代数的条件

在严格真人在线斗地主理论中,当条件真人在线斗地主被视为 随机变量,它是针对sigma代数而不是 关于分区。让 [eq62] 成为 真人在线斗地主空间 。 让 $ QTR {cal} {I} $ 成为 子 $西格玛$ -代数 的 $ ciFourier $, 即 $ QTR {cal} {I} $ 是一个 $西格玛$ -代数 和 [eq63]. 让 $ Ein ciFourier $ 成为一个事件。我们说一个随机变量 [eq64] 是一个 的条件真人在线斗地主 E 与 尊重 $西格玛$ -代数 $ QTR {cal} {I,} $ 如果: [eq65] 它 可以证明这个定义完全等同于我们的定义 以上,提供 $ QTR {cal} {I} $ 是最小的 $西格玛$ -代数 包含所有事件 $ Hin ciFourier $ 可作为事件的联合获得 $ Gin QTR {cal} {G} $ (哪里 G 是以下事件的一部分  欧米茄 )。

常规条件真人在线斗地主

[eq20] 表示一般事件的可能性 E 有条件的 在分区上 $ QTR {cal} {G} $. 我们说真人在线斗地主空间 [eq67] 承认 以分区为条件的正则真人在线斗地主 G 如果,对于任何固定  欧米茄 , [eq68] 是对事件的真人在线斗地主测度 E, 那是, [eq69] 是任何人的真人在线斗地主空间  欧米茄 ,。

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "条件真人在线斗地主作为随机变量", 列克特 ures on 可能性 的 要么 y 和 mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/fundamentals-of-probability/conditional-probability-as-a-random-variable.

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