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条件真人在线斗地主分布

通过 马可·塔波加（Marco Taboga）博士

要了解条件真人在线斗地主分布，您需要熟悉 带有条件真人在线斗地主的概念 演讲题目 条件真人在线斗地主.

我们在这里讨论如何更新真人在线斗地主分布 随机变量 X 在观察另一个随机变量的实现之后 Y, 即，在收到信息后，另一个随机变量 Y 具有特定的价值 $ y $. 更新的真人在线斗地主分布 X 称为的条件真人在线斗地主分布 X 给定 Y = y.

两个随机变量 X 和 Y, 一起考虑，形成一个 随机向量 [eq1]. 取决于随机向量的特征 [eq2], 需要采用不同的过程来计算条件 的真人在线斗地主分布 X 给定 Y = y. 在本讲座的其余部分，这些过程将在 以下顺序：

  1. 首先，我们解决随机向量 [eq3] 是一个 离散随机 向量;

  2. 然后，我们处理 [eq2] 是一个 连续 随机向量;

  3. 最后，我们简要讨论一下 [eq5] 既不是离散的也不是连续的。

重要： 请注意，如果我们能够更新真人在线斗地主 的分布 X 当我们观察到 Y （即，当我们收到 Y = y）， 然后我们也可以更新 X 当我们收到通用信息时 事件 E 发生了：设置就足够了 $ Y = 1_ {E} $, 哪里 $ 1_ {E} $ 是个 指标功能 事件的 E, 并更新 X 根据信息 $ Y = 1_ {E} = 1 $.

目录

目录

  1. 离散随机向量-条件真人在线斗地主质量函数

  2. 连续随机向量-条件真人在线斗地主密度函数

  3. 一般情况-条件分布函数

  4. 更多细节

    1. 随机向量的条件分布

    2. 联合分布是边际和条件的产物

  5. 解决的练习

    1. 练习1

    2. 练习2

    3. 练习3

离散随机向量-条件真人在线斗地主 mass 功能

在这种情况下 [eq2] 是离散的随机向量（因此 X 是离散随机变量）， 真人在线斗地主质量 功能 的 X 以以下信息为条件 Y = y 被称为条件真人在线斗地主质量函数。

定义 让 [eq7] 是 离散随机向量。我们说一个功能 [eq8] 是个 条件真人在线斗地主质量函数 的 X 给定 Y = y 如果有的话 $ xin U {211d} $,[eq9]哪里 [eq10] 是条件真人在线斗地主 $ X = x $ 鉴于 Y = y.

我们如何从中推导条件真人在线斗地主质量函数 联合真人在线斗地主 质量函数 [eq11]? 以下命题为该问题提供了答案。

主张 让 [eq12] 是 离散随机向量。让 [eq13] 是其联合真人在线斗地主质量函数，并且 [eq14] 的 边缘 真人在线斗地主质量函数 的 Y. 的 的条件真人在线斗地主质量函数 X 给定 $ Y = y $ 是[eq15]提供 [eq16].

证明

这只是计算的常用公式 条件真人在线斗地主（条件真人在线斗地主等于联合真人在线斗地主 除以边际真人在线斗地主）： [eq17]

请注意，以上命题假设边际真人在线斗地主的知识 质量函数 [eq14], 可以从联合真人在线斗地主质量函数得出 [eq13] 通过边缘化 这里 如果你不 记住如何）。

例 让支持 [eq20] 是 [eq21]和 它的联合真人在线斗地主质量函数 是[eq22]让 我们计算的条件真人在线斗地主质量函数 X 给定 $Y=0$. 的支持 Y 是[eq23]的 的边际真人在线斗地主质量函数 Y 在评估 $y=0$ 是[eq24]的 支持 X 是[eq25]从而， 的条件真人在线斗地主质量函数 X 给定 $Y=0$ 是[eq26]

在这种情况下 [eq27], 通常，没有办法明确得出条件 的真人在线斗地主质量函数 X, 如下面的示例所示。推导的可能性 在这种情况下，条件真人在线斗地主质量函数是明确的（称为 有些作者对Borel-Kolmogorov悖论并不特别担心，因为 这种情况在应用中很少涉及。以下是一个例子 无法推导条件真人在线斗地主质量函数的情况 明确地（示例涉及到一点；读者可以放心地跳过它 一读）。

例 假设我们得到以下样本 空间：[eq28]即 样本空间 欧米茄 是之间的所有实数的集合 0 和 1. 可以建立真人在线斗地主测度 $ QTR {rm} {P} $ 上 欧米茄, 这样 $ QTR {rm} {P} $ 分配 到的每个子间隔 $left[ 0,1 ight] $ 等于其长度的真人在线斗地主 是的[eq29]这个 与以下讲座中讨论的样本空间相同 零真人在线斗地主事件。定义一个随机 变量 X 如 如下：[eq30]和 另一个随机变量 Y 如 如下：[eq31]都 X 和 Y 是离散的随机变量，并且一起考虑，它们构成了 离散随机向量 [eq32]. 假设我们要计算条件真人在线斗地主质量函数 X 有条件的 $Y=1$. 不难看出 [eq33]. 因此，我们不能使用 式[eq34]因为 除以零是不可能的。事实证明， 隐式推导条件真人在线斗地主作为随机的实现 满足关于条件真人在线斗地主的定义的变量 到一个分区（请参阅标题为“ 有条件的 作为随机变量的真人在线斗地主）不允许明确推导 [eq35]. 在这种情况下，感兴趣的分区是 [eq36], 哪里[eq37]和 [eq38] 可以看作是条件真人在线斗地主的实现 [eq39] 什么时候 G_ {1} $中的$ omega. 的 有条件的基本属性 可能性 [eq40] 在这种情况下，当且仅当对于给定 x, 以下方程组是 满意：[eq41]哪一个 暗示[eq42]的 第二个方程式无助于确定 [eq43]. 因此，从第一个方程式可以明显看出 [eq44] 不确定（任何数字乘以零将得出零）。一罐 显示还要求 [eq45] 成为 规则条件真人在线斗地主 才不是 帮助确定 [eq38]. 这是什么意思 [eq38] 还不确定吗？这意味着任何选择 [eq35] 是合法的，但前提是 [eq49] 很满意。这真的是一个悖论吗？否，因为条件真人在线斗地主 关于分区的定义几乎可以确保相等， $ G_ {1} $ 是零真人在线斗地主事件，因此该值 [eq50] 承担 $ G_ {1} $ 没关系（大致而言，我们并不需要真正关心 零真人在线斗地主事件，前提是事件数量不多）。

连续随机向量-条件真人在线斗地主 density 功能

在这种情况下 [eq2] 是连续的随机向量（因此 X 是连续随机变量）， 真人在线斗地主密度 功能 的 X 以以下信息为条件 Y = y 被称为条件真人在线斗地主密度函数。

定义 让 [eq52] 是 连续随机向量。我们说一个功能 [eq53] 是个 条件真人在线斗地主密度函数 的 X 给定 Y = y 如果有任何间隔 [eq54],[eq55]和 [eq56] 这样可以很好地定义上述积分。

我们如何从中推导条件真人在线斗地主质量函数 联合真人在线斗地主 密度函数 [eq57]?

推导条件分布 X 给定 Y = y 远非显而易见：无论价值如何 $ y $ 我们选择，我们以零真人在线斗地主事件为条件 ([eq58] -看 这里 进行解释）；因此， 标准公式（条件真人在线斗地主等于联合真人在线斗地主除以 边际真人在线斗地主）不能使用。但是，事实证明 的定义 尊重条件的真人在线斗地主 到一个分区 在这种情况下可以有效地应用于推导 的条件真人在线斗地主密度函数 X 给定 Y = y:

主张 让 [eq59] 是 连续随机向量。让 [eq57] 是其联合真人在线斗地主密度函数，并且 [eq61] 是的边际真人在线斗地主密度函数 Y. 的 的条件真人在线斗地主密度函数 $ X $ 给定 Y = y 是[eq62]提供 [eq63].

证明

证明 那[eq64]是 一个合理的选择，我们需要证明条件真人在线斗地主 使用上述条件密度函数计算出的值满足 有条件的基本属性 可能性：[eq65]对于 任何 H 和 E. 由于度量理论的一些基本结果，我们可以将注意力集中在 参加活动 H 和 E 可以写成 如下：[eq66]对于 这些事件，立即可以验证 条件真人在线斗地主成立。首先，根据条件的定义 真人在线斗地主密度函数，我们有 那[eq67]此外， [eq68] 也是 Y. 因此，该产品 [eq69] 是...的功能 Y ，因此我们可以使用 变换定理 至 计算其期望值： [eq70]的 最后的平等证明了这一命题。

例 让支持 [eq20] 是 [eq72]和 它的联合真人在线斗地主密度函数 是[eq73]让 我们计算条件真人在线斗地主密度函数 X 给定 $Y=1 $. 的支持 Y 是[eq74]什么时候 [eq75], 的边际真人在线斗地主密度函数 Y 是 0; 什么时候 [eq76], 边际真人在线斗地主密度函数 是[eq77]从而， 的边际真人在线斗地主密度函数 Y 是[eq78]什么时候 在评估 $y=1$, 它 是[eq79]的 支持 X 是[eq80]从而， 的条件真人在线斗地主密度函数 X 给定 $Y=1$ 是[eq81]

一般情况-条件分布函数

一般来说，什么时候 [eq2] 是 既不是离散的也不是连续的，我们可以表征 分配功能 的 X 以以下信息为条件 Y = y. 我们定义了条件分布函数 X 给定 Y = y 如下。

定义 我们说一个功能 [eq83] 是个 条件分布函数 的 X 给定 Y = y 当且仅 如果[eq84]哪里 [eq85] 是条件真人在线斗地主 $ Xleq x $ 鉴于 Y = y.

没有直接的方法来推导条件分布 X 给定 Y = y. 但是，我们可以使用 关于一个的条件真人在线斗地主 划分， 如下。

定义事件 $ G_ {y} $ 如 如下：[eq86]和 一个分区 G 事件的 如 [eq87]哪里， 照常， $ R_ {Y} $ 是...的支持 Y.

然后，对于任何 G_ {y} $中的$ omega 我们 有[eq88]哪里 [eq89] 是 $ Xleq x $ 以分区为条件 G. 据我们所知， [eq89] 保证存在并且在几乎可以肯定的平等之前是唯一的。当然， 这并不意味着我们能够进行计算。尽管如此，这 表征非常有用，因为它可以让我们谈论 的条件分布 X 给定 Y = y 通常，无需指定是否 X 和 Y 是离散的或连续的。

更多细节

以下各节包含有关条件分布的更多详细信息。

随机向量的条件分布

我们已经讨论了如何更新随机数的真人在线斗地主分布 变量 X 在观察另一个随机变量的实现之后 Y, 也就是说，收到信息后 Y = y. 什么时候发生 X 和 Y 是随机向量而不是随机变量？基本上，我们所说的一切 以上内容仍然适用于简单的修改。

因此，如果 X 和 Y 是离散的随机向量，则条件真人在线斗地主质量函数为 X 给定 Y = y 是[eq91]提供 [eq92].

如果 X 和 Y 是连续随机向量，那么条件真人在线斗地主密度 的功能 X 给定 Y = y 是[eq93]提供 [eq94]. 一般来说，条件分布函数 X 给定 Y = y 是[eq95]

联合分配是边际产品 and conditional

如上所述，联合分配 X 和 Y 可以用来推导的边际分布 Y 和条件分布 X 给定 Y = y. 这个过程也可以相反：如果我们知道边际 的分布 Y 和条件分布 X 给定 Y = y, 然后我们可以得出 X 和 Y. 对于离散随机变量，我们有 那[eq96]对于 连续随机变量，我们有 那[eq97]

解决的练习

您可以在下面找到一些练习，其中包含已说明的解决方案。

练习1

让 [eq2] 是具有的离散随机向量 支持[eq99]和 联合真人在线斗地主质量 功能[eq100]计算 的条件真人在线斗地主质量函数 X 给定 $Y=0$.

解

的边际真人在线斗地主质量函数 Y 在评估 $y=0$ 是[eq101]的 支持 X 是[eq102]从而， 的条件真人在线斗地主质量函数 X 给定 $Y=0$ 是[eq103]

练习2

让 [eq2] 是具有的连续随机向量 支持[eq105]和 它的联合真人在线斗地主密度函数 是[eq106]计算 的条件真人在线斗地主密度函数 X 给定 $Y=2$.

解

的支持 Y 是[eq107]什么时候 [eq108], 的边际真人在线斗地主密度函数 Y 是 [eq109]; 什么时候 [eq110], 的边际真人在线斗地主密度函数 Y 是[eq111]从而， 的边际真人在线斗地主密度函数 Y 是[eq112]什么时候 在该点评估 $y=2$, 它 变成[eq113]的 支持 X 是[eq114]从而， 的条件真人在线斗地主密度函数 X 给定 $Y=2$ 是[eq115]

练习3

让 X 是一个连续的随机变量 支持[eq116]和 真人在线斗地主密度 功能[eq117]让 Y 是另一个连续随机变量 支持[eq118]和 条件真人在线斗地主密度 功能[eq119]找 的边际真人在线斗地主密度函数 Y.

解

向量的支持 [eq2] 是[eq121]和 的联合真人在线斗地主函数 X 和 Y 是[eq122]的 的边际真人在线斗地主密度函数 Y 通过边际化获得 x 联合真人在线斗地主密度函数之外

[eq123]从而， 对于 [eq124] 我们微不足道 [eq125] （因为 [eq126]）， 而为 [eq127] 我们 有[eq128]从而， 的边际真人在线斗地主密度函数 Y 是[eq129]

如何引用

请引用为：

Taboga, Marco (2017). "条件真人在线斗地主分布", 列克特ures 上 可能性 的ory 和 mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/fundamentals-of-probability/conditional-probability-distributions.

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