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条件真人在线斗地主分布

通过 马可·塔波加(Marco Taboga)博士

要了解条件真人在线斗地主分布,您需要熟悉 带有条件真人在线斗地主的概念 演讲题目 条件真人在线斗地主.

我们在这里讨论如何更新真人在线斗地主分布 随机变量 X 在观察另一个随机变量的实现之后 Y, 即,在收到信息后,另一个随机变量 Y 具有特定的价值 $ y $. 更新的真人在线斗地主分布 X 称为的条件真人在线斗地主分布 X 给定 Y = y.

两个随机变量 XY, 一起考虑,形成一个 随机向量 [eq1]. 取决于随机向量的特征 [eq2], 需要采用不同的过程来计算条件 的真人在线斗地主分布 X 给定 Y = y. 在本讲座的其余部分,这些过程将在 以下顺序:

  1. 首先,我们解决随机向量 [eq3] 是一个 离散随机 向量;

  2. 然后,我们处理 [eq2] 是一个 连续 随机向量;

  3. 最后,我们简要讨论一下 [eq5] 既不是离散的也不是连续的。

重要: 请注意,如果我们能够更新真人在线斗地主 的分布 X 当我们观察到 Y (即,当我们收到 Y = y), 然后我们也可以更新 X 当我们收到通用信息时 事件 E 发生了:设置就足够了 $ Y = 1_ {E} $, 哪里 $ 1_ {E} $ 是个 指标功能 事件的 E, 并更新 X 根据信息 $ Y = 1_ {E} = 1 $.

目录

离散随机向量-条件真人在线斗地主 mass 功能

在这种情况下 [eq2] 是离散的随机向量(因此 X 是离散随机变量), 真人在线斗地主质量 功能X 以以下信息为条件 Y = y 被称为条件真人在线斗地主质量函数。

定义 [eq7] 是 离散随机向量。我们说一个功能 [eq8] 是个 条件真人在线斗地主质量函数X 给定 Y = y 如果有的话 $ xin U {211d} $,[eq9]哪里 [eq10] 是条件真人在线斗地主 $ X = x $ 鉴于 Y = y.

我们如何从中推导条件真人在线斗地主质量函数 联合真人在线斗地主 质量函数 [eq11]? 以下命题为该问题提供了答案。

主张 [eq12] 是 离散随机向量。让 [eq13] 是其联合真人在线斗地主质量函数,并且 [eq14] 边缘 真人在线斗地主质量函数Y. 的 的条件真人在线斗地主质量函数 X 给定 $ Y = y $[eq15]提供 [eq16].

证明

这只是计算的常用公式 条件真人在线斗地主(条件真人在线斗地主等于联合真人在线斗地主 除以边际真人在线斗地主): [eq17]

请注意,以上命题假设边际真人在线斗地主的知识 质量函数 [eq14], 可以从联合真人在线斗地主质量函数得出 [eq13] 通过边缘化 这里 如果你不 记住如何)。

让支持 [eq20][eq21]和 它的联合真人在线斗地主质量函数 是[eq22]让 我们计算的条件真人在线斗地主质量函数 X 给定 $Y=0$. 的支持 Y[eq23]的 的边际真人在线斗地主质量函数 Y 在评估 $y=0$[eq24]的 支持 X[eq25]从而, 的条件真人在线斗地主质量函数 X 给定 $Y=0$[eq26]

在这种情况下 [eq27], 通常,没有办法明确得出条件 的真人在线斗地主质量函数 X, 如下面的示例所示。推导的可能性 在这种情况下,条件真人在线斗地主质量函数是明确的(称为 有些作者对Borel-Kolmogorov悖论并不特别担心,因为 这种情况在应用中很少涉及。以下是一个例子 无法推导条件真人在线斗地主质量函数的情况 明确地(示例涉及到一点;读者可以放心地跳过它 一读)。

假设我们得到以下样本 空间:[eq28]即 样本空间 欧米茄 是之间的所有实数的集合 01. 可以建立真人在线斗地主测度 $ QTR {rm} {P} $欧米茄, 这样 $ QTR {rm} {P} $ 分配 到的每个子间隔 $left[ 0,1
ight] $ 等于其长度的真人在线斗地主 是的[eq29]这个 与以下讲座中讨论的样本空间相同 零真人在线斗地主事件。定义一个随机 变量 X 如 如下:[eq30]和 另一个随机变量 Y 如 如下:[eq31]XY 是离散的随机变量,并且一起考虑,它们构成了 离散随机向量 [eq32]. 假设我们要计算条件真人在线斗地主质量函数 X 有条件的 $Y=1$. 不难看出 [eq33]. 因此,我们不能使用 式[eq34]因为 除以零是不可能的。事实证明, 隐式推导条件真人在线斗地主作为随机的实现 满足关于条件真人在线斗地主的定义的变量 到一个分区(请参阅标题为“ 有条件的 作为随机变量的真人在线斗地主)不允许明确推导 [eq35]. 在这种情况下,感兴趣的分区是 [eq36], 哪里[eq37][eq38] 可以看作是条件真人在线斗地主的实现 [eq39] 什么时候 G_ {1} $中的$ omega. 的 有条件的基本属性 可能性 [eq40] 在这种情况下,当且仅当对于给定 x, 以下方程组是 满意:[eq41]哪一个 暗示[eq42]的 第二个方程式无助于确定 [eq43]. 因此,从第一个方程式可以明显看出 [eq44] 不确定(任何数字乘以零将得出零)。一罐 显示还要求 [eq45] 成为 规则条件真人在线斗地主 才不是 帮助确定 [eq38]. 这是什么意思 [eq38] 还不确定吗?这意味着任何选择 [eq35] 是合法的,但前提是 [eq49] 很满意。这真的是一个悖论吗?否,因为条件真人在线斗地主 关于分区的定义几乎可以确保相等, $ G_ {1} $ 是零真人在线斗地主事件,因此该值 [eq50] 承担 $ G_ {1} $ 没关系(大致而言,我们并不需要真正关心 零真人在线斗地主事件,前提是事件数量不多)。

连续随机向量-条件真人在线斗地主 density 功能

在这种情况下 [eq2] 是连续的随机向量(因此 X 是连续随机变量), 真人在线斗地主密度 功能X 以以下信息为条件 Y = y 被称为条件真人在线斗地主密度函数。

定义 [eq52] 是 连续随机向量。我们说一个功能 [eq53] 是个 条件真人在线斗地主密度函数X 给定 Y = y 如果有任何间隔 [eq54],[eq55][eq56] 这样可以很好地定义上述积分。

我们如何从中推导条件真人在线斗地主质量函数 联合真人在线斗地主 密度函数 [eq57]?

推导条件分布 X 给定 Y = y 远非显而易见:无论价值如何 $ y $ 我们选择,我们以零真人在线斗地主事件为条件 ([eq58] -看 这里 进行解释);因此, 标准公式(条件真人在线斗地主等于联合真人在线斗地主除以 边际真人在线斗地主)不能使用。但是,事实证明 的定义 尊重条件的真人在线斗地主 到一个分区 在这种情况下可以有效地应用于推导 的条件真人在线斗地主密度函数 X 给定 Y = y:

主张 [eq59] 是 连续随机向量。让 [eq57] 是其联合真人在线斗地主密度函数,并且 [eq61] 是的边际真人在线斗地主密度函数 Y. 的 的条件真人在线斗地主密度函数 $ X $ 给定 Y = y[eq62]提供 [eq63].

证明

证明 那[eq64]是 一个合理的选择,我们需要证明条件真人在线斗地主 使用上述条件密度函数计算出的值满足 有条件的基本属性 可能性:[eq65]对于 任何 HE. 由于度量理论的一些基本结果,我们可以将注意力集中在 参加活动 HE 可以写成 如下:[eq66]对于 这些事件,立即可以验证 条件真人在线斗地主成立。首先,根据条件的定义 真人在线斗地主密度函数,我们有 那[eq67]此外, [eq68] 也是 Y. 因此,该产品 [eq69] 是...的功能 Y ,因此我们可以使用 变换定理 至 计算其期望值: [eq70]的 最后的平等证明了这一命题。

让支持 [eq20][eq72]和 它的联合真人在线斗地主密度函数 是[eq73]让 我们计算条件真人在线斗地主密度函数 X 给定 $Y=1 $. 的支持 Y[eq74]什么时候 [eq75], 的边际真人在线斗地主密度函数 Y0; 什么时候 [eq76], 边际真人在线斗地主密度函数 是[eq77]从而, 的边际真人在线斗地主密度函数 Y[eq78]什么时候 在评估 $y=1$, 它 是[eq79]的 支持 X[eq80]从而, 的条件真人在线斗地主密度函数 X 给定 $Y=1$[eq81]

一般情况-条件分布函数

一般来说,什么时候 [eq2] 是 既不是离散的也不是连续的,我们可以表征 分配功能X 以以下信息为条件 Y = y. 我们定义了条件分布函数 X 给定 Y = y 如下。

定义 我们说一个功能 [eq83] 是个 条件分布函数X 给定 Y = y 当且仅 如果[eq84]哪里 [eq85] 是条件真人在线斗地主 $ Xleq x $ 鉴于 Y = y.

没有直接的方法来推导条件分布 X 给定 Y = y. 但是,我们可以使用 关于一个的条件真人在线斗地主 划分, 如下。

定义事件 $ G_ {y} $ 如 如下:[eq86]和 一个分区 G 事件的 如 [eq87]哪里, 照常, $ R_ {Y} $ 是...的支持 Y.

然后,对于任何 G_ {y} $中的$ omega 我们 有[eq88]哪里 [eq89]$ Xleq x $ 以分区为条件 G. 据我们所知, [eq89] 保证存在并且在几乎可以肯定的平等之前是唯一的。当然, 这并不意味着我们能够进行计算。尽管如此,这 表征非常有用,因为它可以让我们谈论 的条件分布 X 给定 Y = y 通常,无需指定是否 XY 是离散的或连续的。

更多细节

以下各节包含有关条件分布的更多详细信息。

随机向量的条件分布

我们已经讨论了如何更新随机数的真人在线斗地主分布 变量 X 在观察另一个随机变量的实现之后 Y, 也就是说,收到信息后 Y = y. 什么时候发生 XY 是随机向量而不是随机变量?基本上,我们所说的一切 以上内容仍然适用于简单的修改。

因此,如果 XY 是离散的随机向量,则条件真人在线斗地主质量函数为 X 给定 Y = y[eq91]提供 [eq92].

如果 XY 是连续随机向量,那么条件真人在线斗地主密度 的功能 X 给定 Y = y[eq93]提供 [eq94]. 一般来说,条件分布函数 X 给定 Y = y[eq95]

联合分配是边际产品 and conditional

如上所述,联合分配 XY 可以用来推导的边际分布 Y 和条件分布 X 给定 Y = y. 这个过程也可以相反:如果我们知道边际 的分布 Y 和条件分布 X 给定 Y = y, 然后我们可以得出 XY. 对于离散随机变量,我们有 那[eq96]对于 连续随机变量,我们有 那[eq97]

解决的练习

您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。

练习1

[eq2] 是具有的离散随机向量 支持[eq99]和 联合真人在线斗地主质量 功能[eq100]计算 的条件真人在线斗地主质量函数 X 给定 $Y=0$.

的边际真人在线斗地主质量函数 Y 在评估 $y=0$[eq101]的 支持 X[eq102]从而, 的条件真人在线斗地主质量函数 X 给定 $Y=0$[eq103]

练习2

[eq2] 是具有的连续随机向量 支持[eq105]和 它的联合真人在线斗地主密度函数 是[eq106]计算 的条件真人在线斗地主密度函数 X 给定 $Y=2$.

的支持 Y[eq107]什么时候 [eq108], 的边际真人在线斗地主密度函数 Y[eq109]; 什么时候 [eq110], 的边际真人在线斗地主密度函数 Y[eq111]从而, 的边际真人在线斗地主密度函数 Y[eq112]什么时候 在该点评估 $y=2$, 它 变成[eq113]的 支持 X[eq114]从而, 的条件真人在线斗地主密度函数 X 给定 $Y=2$[eq115]

练习3

X 是一个连续的随机变量 支持[eq116]和 真人在线斗地主密度 功能[eq117]Y 是另一个连续随机变量 支持[eq118]和 条件真人在线斗地主密度 功能[eq119]找 的边际真人在线斗地主密度函数 Y.

向量的支持 [eq2][eq121]和 的联合真人在线斗地主函数 XY[eq122]的 的边际真人在线斗地主密度函数 Y 通过边际化获得 x 联合真人在线斗地主密度函数之外

[eq123]从而, 对于 [eq124] 我们微不足道 [eq125] (因为 [eq126]), 而为 [eq127] 我们 有[eq128]从而, 的边际真人在线斗地主密度函数 Y[eq129]

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "条件真人在线斗地主分布", 列克特ures 上 可能性 的ory 和 mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/fundamentals-of-probability/conditional-probability-distributions.

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