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期望值

经过 ,博士学位

预期值的概念 random variable 是概率理论中最重要的概念之一。

目录

直觉

该概念首先在17世纪设计了分析赌博游戏 并回答以下问题:

如果游戏可能结果(或下注)及其相关联 概率由随机变量描述,然后可以是这些问题 通过计算其预期值回答。

预期值是可能实现的加权平均值 随机变量(游戏可能的结果)。每次实现都是 概率加权。

例如,如果您在概率为1/2和您获得2美元的游戏中播放游戏 丢失1美元,概率1/2,那么游戏的预期价值是半a dollar:[eq1]

这是什么意思?粗略地说,这意味着如果你玩这个游戏 很多次,以及两种可能结果发生的次数 与其概率成正比,然后平均每次获得1/2 $ you play the game.

例如,如果你播放游戏100次,赢得50次并失去了 剩下50,那么你的平均获胜等于预期的 value:[eq2]

一般来说,对预期价值的严格定义需要相当多 重型数学仪器。为了保持简单的事情,我们提供了一个非正式的 预期价值的定义,我们在这段讲座中讨论了它的计算, 虽然我们将一个更严格的定义释放到(可选)讲座 entitled 预期值和Lebesgue积分.

定义

以下是预期价值的非正式定义。

定义(非正式) The 期望值 的 a random variable X 是值的加权平均值 X 可以采取,每个可能的值都是相应的 probability.

随机变量的预期值 X is denoted by [eq3] 它通常被称为 期待 of X or the 吝啬的 of X.

以下部分讨论了随机变量的预期值如何 computed.

离散随机变量的预期值

When X is a discrete random variable having support  r_x. and probability mass function [eq4], 计算其预期值的公式是直截了当的 上面给出的非正式定义的实施:预期的价值 X 是值的加权平均值 X 可以接受(元素  r_x. ), 每个可能的价值 $ xin r_ {x} $ 由其各自的概率加权 [eq5].

定义 Let X 是一个离散随机变量,支持  r_x. 和概率质量功能 [eq6]. 预期的价值 X is[eq7] 假如 that[eq8]

The symbol [eq9]表示 求解支持的所有元素  r_x. .

For example, if [eq10] 然后 [eq11]

The requirement that [eq12] 是 called 绝对可比性 并确保求和 [eq13] 是 在支持时也定义  r_x. 包含无数的元素。

在非常多的术语中求和时,您可以将其总和的顺序 总和的结果。但是,如果条款是绝对可相同的,那么 您总和无关紧要的顺序。

在上述预期价值的定义中,顺序 sum[eq14] 是 未指定,因此介绍了绝对可加平的要求 为了确保预期值定义。

当绝对可比性条件不满足时,我们说 expected value of X 没有明确定义,或者它不存在。

例子 Let X 是支持的随机变量 [eq15] and probability mass function[eq16] 它的 expected value is[eq17]

连续随机变量的预期值

When X is a continuous random variable with probability density function [eq18], 计算其预期值的公式涉及一个积分,可以 被认为是求和的限制案例 [eq19] 发现在上面的离散案例中。

定义 Let X 是具有概率密度函数的连续随机变量 [eq20]. 预期的价值 X is[eq21] 假如 that[eq22]

粗略地说,这种积分是公式的限制情况 离散随机变量的预期值 [eq23]

Here, [eq24] is replaced by [eq25] (无限的概率 x) 和积分标志 [eq26] 替换求和标志 $ sum_ {xin r_ {x}} $.

The requirement that [eq27] 是 called 绝对可积液 并确保不正当 integral [eq28] 是 well-defined.

这种不合格的积分是速记 for[eq29] 和 只有在两个限制是有限的时候,它才定义。绝对可积液 保证后一种条件是否满足,预期值是 well-defined.

当绝对可积分条件不满足时,我们说 expected value of X 没有明确定义,或者它不存在。

例子 Let X 通过支持是一个连续的随机变量 [eq30] 和概率密度 function[eq31] 在哪里  $ lambda. >0$. Its expected value is[eq32]

一般随机变量的预期值: riemann-stieltjes积分

本节介绍了用于计算预期值的通用公式 a random variable X. 不需要的公式 X 是离散或连续的,适用于任何随机变量, 涉及一个被称为riemann-stieltjes积分的积分。我们简要介绍一下 为了完整性讨论这个公式,没有深刻的理解 该公式或riemann-stieltjes积分是必需的 the other lectures.

定义 Let X 是一个随机变量 分配功能 [eq33]. 预期的价值 X is[eq34] 在哪里 the integral is a riemann-stieltjes积分 和 the 预期的价值存在,并且只要积分是很长的 well-defined.

粗略地说,这种积分是公式的限制情况 离散随机变量的预期值 [eq35] Here [eq36] replaces [eq37] (the probability of x) 和积分标志 [eq38] 替换求和标志 $ sum_ {xin r_ {x}} $.

以下部分包含了简短而非正式的介绍 Riemann-Stieltjes积分和上述公式的解释。较少的 技术面向读者可以安全地跳过它:当他们遇到一个 riemann-stieltjes积分,他们可以将其视为正式的符号 这允许对离散和连续随机变量的统一处理 并且可以在一个案例中视为总和,作为普通的riemann积分 the other.

riemann-stieltjes积分:直觉

正如我们已经看过的那样,所以离散随机的预期价值 变量是简单的,计算:离散的预期值 variable X 是值的加权平均值 X 可以接受(支持的元素  r_x. ), 每个可能的价值 x 由其各自的概率加权 [eq39]:[eq40] 或者, 写得略有不同 fashion,[eq41]

When X 不是离散的上述求和没有任何意义。但是,有 解决方法,允许将公式扩展到随机变量 不是离散的。解决方法需要近似 X 使用可接定性的离散变量,只有最多的价值。

Let  $ x_ {0} $ , $ x_ {1} $ ,......,  $ x_ {n} $ be $n+1$ real numbers ($ nin u {2115} $) such that:[eq42]

定义一个新的随机变量  X_N. (function of X) as follows:[eq43]

As the number n 积分增加,点变得更加越来越近(最大值 两个连续点之间的距离趋于零),  X_N. 变得非常好的近似 X, 直到限制,它是难以区分的 X.

预期的价值  X_N. is easy to compute:[eq44] 在哪里 [eq45] 是分布功能 X.

预期的价值 X 然后定义为限制 [eq46] when n 倾向于无限(即,当近似变得更好时 better):[eq47]

当后一个限制存在并且是明确的时,它被称为 riemann-stieltjes积分 x with respect to [eq48] 它表明了 follows:[eq49]

粗略地说,积分表示法 [eq50] 可以被认为是一个速记 [eq51] 和差分表示法 [eq52] 可以被认为是一个速记 [eq53].

如果您不熟悉riemann-stieltjes积分,请确保您 还阅读了题为题为的讲座 Computing the riemann-stieltjes积分:一些规则,在阅读下一个例子之前。

例子 Let X 是支持的随机变量 [eq54] and distribution function[eq55] 它的 expected value is[eq56]

一般随机变量的预期值: Lebesgue integral

完全一般和严格的预期价值定义是基于 Lebesgue积分。我们在没有进一步评论的情况下报告。较少的 技术倾斜的读者可以安全地跳过它,而感兴趣的读者可以 在题为讲座中阅读有关它的更多信息 Expected 价值和lebesgue积分.

定义 Let  欧米茄 be a sample space, $ qtr {rm} {p} $ 关于事件定义的概率措施  欧米茄 and X 定义了一个随机变量  欧米茄 . 预期的价值 X is[eq57] 假如 $ int xdqtr {rm} {p} $ (Lebesgue积分 X with respect to $ qtr {rm} {p} $) 存在并且是明确的。

更多细节

下一节包含有关预期值的更多详细信息。

转型定理

预期价值的重要属性,称为转型定理, 允许容易地计算随机函数的预期值 variable.

Let X 是一个随机变量。让 [eq58] 是一个真正的功能。定义一个新的随机变量 Y as follows:[eq59]

Then,[eq60] 假如 以上积分存在。

这是一个重要的财产。它说,如果你需要计算 expected value of [eq61], 你不需要知道的支持 Y 及其分销功能 [eq62]: 您可以通过更换来计算它 x with  g(x) 在公式中的预期价值 X.

对于离散随机变量,公式变为 [eq63] 尽管 对于连续随机变量 is[eq64] 它 可以(尽管是非琐碎的)来证明上述两种公式持有 also when X is a K - 一维 random vector, [eq65] 是一个真正的功能 K variables and [eq66].

When X is a discrete random vector and [eq67] 是其联合概率功能, then[eq68]

When X is an continuous random vector and [eq69] 是它的关节密度函数, then[eq70]

预期价值的线性

If X 是一个随机变量和 Y 是另一个随机变量 that[eq71] 在哪里 $ ain u {211d} $ and $ bin u {211d} $ 是两个常数,那是下面的 holds:[eq72]

证明

为了 离散随机变量这被证明是如此 follows:[eq73] 为了 连续随机变量证明 is[eq74] 在 一般来说,线性物质是转换定理的结果 因此,riemann-stieltjes积分是线性的 operator:[eq75]

更强大的线性属性持有,涉及两个(或更多)随机的 变量。只能使用Lebesgue积分(参见 the lecture entitled 预期价值和勒贝因 integral )。

该物业如下:让 X_1 and X_2 是两个随机变量并让 $ c_ {1} U {211d} $ and $ c_ {2}在u {211d} $ be two constants; then[eq76]

随机载体的预期价值

Let X be a K - 一维 随机向量并表示其组件 X_1, ...,  $ x_ {k} $ . 预期的价值 X, denoted by [eq77], 只是预期值的矢量 K components of X. 例如,假设 X is a row vector; then[eq78]

随机矩阵的预期值

Let  Sigma. be a $ kimes l $ 随机矩阵,即,a $ kimes l $ 矩阵其条目是随机变量。表示它 $ left(i,j
Ight)$ - entry by $ sigma _ {ij} $. 预期的价值  Sigma. , denoted by [eq79], 只是输入的预期值的矩阵  Sigma. :[eq80]

可积液

表示随机变量的绝对值 X by [eq81]. If [eq82] 存在并且是有限的,我们这么说 X is an 可集成随机变量,或只是那个 X is integrable.

LP空间

Let $ 1LEQ P.<infty $. 所有随机变量的空间 X such that [eq83] 存在并且是有限的表示  $ l ^ {p} $ or [eq84], where the triple [eq85] 依赖潜在的依赖 probability space explicit.

If X belongs to  $ l ^ {p} $ , we write [eq86].

Hence, if X 是可叠现的,我们写 [eq87].

相关讲座

以下讲座含有更多关于预期值的材料。

有条件的期望

介绍预期值运算符的条件版本

预期价值的属性

预期值运算符的主要属性的陈述,证明和示例

预期值和Lebesgue积分

根据Lebesgue积分提供预期值的严格定义

解决练习

在预期值上有一些解决的练习可以在下面找到。

练习1

Let X 是一个离散的随机变量。让它的支持  r_x. be[eq88]

让它的概率质量功能 [eq89] be[eq90]

计算预期的值 X.

解决方案

自从 X 是离散的,其预期值被计算为支持的总和 X:[eq91]

练习2

Let X 是一个离散变量 support[eq92]

and probability mass function[eq93]

计算其预期值。

解决方案

自从 X 是离散的,其预期值被计算为支持的总和 X:[eq94]

练习3.

Let X 是一个离散变量。让它的支持 be[eq95]

让它的概率质量功能 be[eq96]

计算预期的值 X.

解决方案

自从 X 是离散的,其预期值被计算为支持的总和 X:[eq97]

练习4.

Let X 是一个连续的随机变量 uniform distribution on the interval $左[1,3
Ight] $.

Its support is[eq98]

其概率密度函数 is[eq99]

计算预期的值 X.

解决方案

自从 X 是连续的,其预期值可以计算为 integral: [EQ100]

请注意,诀窍是:1)细分集成间隔要隔离 密度为零的子间隔; 2)分开整体 各种子间隔。

练习5.

Let X 是一个连续的随机变量。它的支持 is [EQ101]

其概率密度函数 is [EQ102]

计算预期的值 X.

解决方案

自从 X 是连续的,其预期值可以计算为 integral: [EQ103]

练习6.

Let X 是一个连续的随机变量。它的支持 is [EQ104]

其概率密度函数 is [EQ105]

计算预期的值 X.

解决方案

自从 X 是连续的,其预期值可以计算为 integral: [EQ106]

如何引用

请引用:

Taboga, Marco (2017). "期望值", Lectures on probability theory and mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/fundamentals-of-probability/expected-value.

这本书

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