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真人在线斗地主

通过 博士

真人在线斗地主的概念 随机变量 是概率论中最重要的概念之一。

目录

直觉

这个概念最早是在17世纪提出的,用于分析赌博游戏 并回答以下问题:

如果游戏(或下注)及其相关的可能结果 概率由随机变量描述,那么这些问题可以是 通过计算其真人在线斗地主来回答。

真人在线斗地主是指可能实现的加权平均值。 随机变量(游戏可能的结果)。每个实现是 由其概率加权。

例如,如果您玩的游戏以1/2的概率获得2 $,而您 损失1 $的概率为1/2,则游戏的真人在线斗地主为一半 美元: [eq1]

这是什么意思?粗略地说,这意味着如果您玩此游戏 很多次,并且两种可能结果各自发生的次数 与它的概率成正比,那么平均每次您获得1/2 $ 你玩游戏。

例如,如果您玩游戏100次,则赢得50次而输掉 剩下的50,那么您的平均获利等于预期 值: [eq2]

通常,对真人在线斗地主进行严格定义需要相当 重型数学仪器。为了简单起见,我们提供了非正式的 真人在线斗地主的定义,我们在本讲座中讨论其计算, 在我们对(可选)讲义进行更严格的定义时 有资格 真人在线斗地主和勒贝格积分.

定义

以下是对真人在线斗地主的非正式定义。

定义(非正式)真人在线斗地主 随机变量 X 是值的加权平均值, X 可以承担,每个可能的值都由其各自的值加权 可能性。

随机变量的真人在线斗地主 X 用表示 [eq3] 它通常被称为 期望X 或者 意思 X.

以下各节讨论随机变量的真人在线斗地主如何 计算的。

离散随机变量的真人在线斗地主

什么时候 X 是一个 离散随机 变量 支持  R_X 概率质量 功能 [eq4], 计算其真人在线斗地主的公式很简单 以上非正式定义的执行情况: X 是值的加权平均值, X 可以承担(  R_X ), 每个可能的值 $ xin R_ {X} $ 由其各自的概率加权 [eq5].

定义X 是具有支持的离散随机变量  R_X 和概率质量函数 [eq6]. 的真人在线斗地主 X[eq7] 提供 那 [eq8]

符号 [eq9]表示 汇总支持的所有要素  R_X .

例如,如果 [eq10] 然后 [eq11]

要求 [eq12] 是 叫 绝对可总结性 并确保总和 [eq13] 是 明确定义的支持  R_X 包含无限多的元素。

当对无限多个项求和时,求和顺序可以改变 总和的结果。但是,如果这些术语是绝对可加的,则 您求和的顺序无关紧要。

在上述真人在线斗地主定义中, 和 [eq14] 是 未指定,因此引入了绝对可加性的要求 为了确保真人在线斗地主定义明确。

当不满足绝对求和条件时,我们说 的真人在线斗地主 X 定义不明确或不存在。

X 在支持下成为随机变量 [eq15] 和概率质量 功能 [eq16] 它的 真人在线斗地主 是 [eq17]

连续随机变量的真人在线斗地主

什么时候 X 是一个 连续 随机变量 概率密度 功能 [eq18], 计算其真人在线斗地主的公式包含一个积分,该积分可以 被认为是求和的极限情况 [eq19] 在上面的离散情况下找到。

定义X 是具有概率密度函数的连续随机变量 [eq20]. 的真人在线斗地主 X[eq21] 提供 那 [eq22]

粗略地说,这个积分是公式的极限情况。 离散随机变量的真人在线斗地主 [eq23]

这里, [eq24] 被替换为 [eq25] (的无穷小概率 x) 和整数符号 [eq26] 替换求和符号 $  和 _ {xin R_ {X}} $.

要求 [eq27] 是 叫 绝对可积性 并确保不当 积分 [eq28] 是 定义明确的。

这个不适当的积分是一个简写 对于 [eq29] 和 仅当两个限制都是有限的时,它才是明确定义的。绝对可整合性 保证满足后一个条件,并且真人在线斗地主为 定义明确的。

当不满足绝对可积性条件时,我们说 的真人在线斗地主 X 定义不明确或不存在。

X 在支持下成为连续随机变量 [eq30] 和概率密度 功能 [eq31] 哪里  $ lambda >0$. 其真人在线斗地主 是 [eq32]

一般而言,随机变量的真人在线斗地主: 黎曼-斯蒂耶斯积分

本节介绍了用于计算真人在线斗地主的一般公式 一个随机变量 X. 公式,不需要 X 是离散的或连续的,并且适用于任何随机变量, 涉及一个称为Riemann-Stieltjes积分的积分。当我们简短地 为了完整起见,请讨论此公式,而无需深入了解 需要了解此公式或黎曼-斯蒂尔杰斯积分 其他讲座。

定义X 是具有的随机变量 分配功能 [eq33]. 的真人在线斗地主 X[eq34] 哪里 积分是一个 黎曼-斯蒂耶斯积分 和 真人在线斗地主存在且仅在积分为 定义明确的。

粗略地说,这个积分是公式的极限情况。 离散随机变量的真人在线斗地主 [eq35] 这里 [eq36] 取代 [eq37]x) 和整数符号 [eq38] 替换求和符号 $  和 _ {xin R_ {X}} $.

以下部分简要介绍了以下内容: Riemann-Stieltjes积分和上述公式的解释。减 技术导向的读者可以放心地跳过它:当他们遇到 Riemann-Stieltjes积分,他们可以将其视为形式符号 可以统一处理离散和连续随机变量 在一种情况下可以被视为和,而在一种情况下可以被视为普通的黎曼积分 另一个。

黎曼-斯蒂尔杰斯积分:直觉

正如我们在上面已经看到的,离散随机数的真人在线斗地主 变量易于计算:离散变量的真人在线斗地主 变量 X 是值的加权平均值, X 可以承担(支持的要素  R_X ), 每个可能的值 x 由其各自的概率加权 [eq39]:[eq40] 要么, 写的略有不同 时尚, [eq41]

什么时候 X 不是离散的,上述总和没有任何意义。但是,有 一种解决方法,可以将公式扩展为以下随机变量: 不是离散的。解决方法需要近似 X 离散变量只能采用有限的多个值。

 $ x_ {0} $ , $ x_ {1} $ ,...,  $ x_ {n} $ $n+1$ 实数 ($ nin U {2115} $) 这样 那: [eq42]

定义一个新的随机变量  X_n (功能 X) 如 如下: [eq43]

作为号码 n 的点数增加,并且点数越来越近(最大 两个连续点之间的距离趋于零),  X_n 成为一个非常好的近似 X, 直到极限与 X.

的真人在线斗地主  X_n 很容易 计算: [eq44] 哪里 [eq45] 是...的分布函数 X.

的真人在线斗地主 X 然后定义为 [eq46] 什么时候 n 趋于无穷大(即,当逼近度变得更好并且 更好): [eq47]

当后一个限制存在且定义明确时,称为 Riemann-Stieltjes积分 x 关于 [eq48] 它表示为 如下: [eq49]

粗略地说,积分符号 [eq50] 可以被认为是 [eq51] 和微分符号 [eq52] 可以被认为是 [eq53].

如果您不熟悉Riemann-Stieltjes积分,请确保您 还读了演讲 计算 Riemann-Stieltjes积分:一些规则,然后阅读下一个示例。

X 在支持下成为随机变量 [eq54] 和分配 功能 [eq55] 它的 真人在线斗地主 是 [eq56]

一般而言,随机变量的真人在线斗地主: Lebesgue 积分

真人在线斗地主的完全通用和严格的定义基于 勒贝格积分。我们在下面报告,不作进一步评论。减 具有技术倾向的读者可以放心地跳过它,而感兴趣的读者可以 在标题为“讲座”的讲座中了解更多 预期 值和勒贝格积分.

定义 欧米茄 成为 样本空间, $ QTR {rm} {P} $ 根据以下事件定义的概率度量  欧米茄 X 在上定义的随机变量  欧米茄 . 的真人在线斗地主 X[eq57] 提供 $ int XdQTR {rm} {P} $ (的勒贝格积分 X 关于 $ QTR {rm} {P} $) 存在并且定义明确。

更多细节

下一部分包含有关真人在线斗地主的更多详细信息。

变换定理

真人在线斗地主的一个重要属性,称为变换定理, 允许轻松计算随机函数的真人在线斗地主 变量。

X 是一个随机变量。让 [eq58] 是一个真正的功能。定义一个新的随机变量 Y 如 如下: [eq59]

然后, [eq60] 提供 上述积分存在。

这是重要的属性。它说,如果您需要计算 的真人在线斗地主 [eq61], 您不需要知道 Y 及其分布函数 [eq62]: 您可以通过替换来计算 x 克(x) 在公式的真人在线斗地主中 X.

对于离散随机变量,公式变为 [eq63] 而 对于连续随机变量 是 [eq64] 它 有可能(尽管很重要)证明以上两个公式成立 还有什么时候 X 是一个 K尺寸 随机向量 [eq65] 是...的真正功能 K 变量和 [eq66].

什么时候 X 是一个 离散随机 向量 [eq67] 是它的联合概率函数, 然后 [eq68]

什么时候 X 是一个 连续 随机向量[eq69] 是它的关节密度函数, 然后 [eq70]

真人在线斗地主的线性

如果 X 是一个随机变量, Y 是另一个随机变量,例如 那 [eq71] 哪里 $ ain U {211d} $$ bin U {211d} $ 是两个常数,则以下 持有: [eq72]

证明

对于 离散随机变量,证明为 如下: [eq73] 对于 连续随机变量的证明 是 [eq74] 在 通常,线性性质是变换定理的结果 并且黎曼-斯蒂尔杰斯积分是线性的 操作员: [eq75]

拥有更强的线性特性,其中涉及两个(或多个)随机 变量。只能使用Lebesgue积分证明该性质(请参见 演讲题目 真人在线斗地主与Lebesgue 积分 )。

该属性如下: X_1X_2 是两个随机变量,让 $ c_ {1} in U {211d} $$ c_ {2} in U {211d} $ 是两个常数; 然后 [eq76]

随机向量的真人在线斗地主

X 成为 K尺寸 随机向量,并通过 X_1, ...,  $ X_ {K} $ . 的真人在线斗地主 X, 表示为 [eq77], 只是真人在线斗地主的向量 K 的组成部分 X. 例如,假设 X 是行向量; 然后 [eq78]

随机矩阵的真人在线斗地主

 西格玛 成为 $ Kimes L $ 随机矩阵,即 $ Kimes L $ 条目为随机变量的矩阵。表示其 $ left(i,j
权)$ -th 进入者 $  西格玛  _ {ij} $. 的真人在线斗地主  西格玛 , 表示为 [eq79], 只是以下各项的真人在线斗地主的矩阵  西格玛 :[eq80]

可整合性

表示随机变量的绝对值 X 通过 [eq81]. 如果 [eq82] 存在并且是有限的,我们说 X 是一个 可积随机变量,或者只是那个 X 是可整合的。

Lp空间

$ 1leq p<infty $. 所有随机变量的空间 X 这样 [eq83] 存在并且是有限的,用  $ L ^ {p} $ 要么 [eq84], 三重 [eq85] 依赖底层 概率空间 明确的。

如果 X 属于  $ L ^ {p} $ , 我们写 [eq86].

因此,如果 X 是可积的,我们写 [eq87].

相关讲座

以下讲座包含有关预期值的更多材料。

有条件的期望

介绍真人在线斗地主运算符的条件版本

真人在线斗地主的性质

真人在线斗地主算子主要属性的陈述,证明和示例

真人在线斗地主和勒贝格积分

根据Lebesgue积分对真人在线斗地主进行严格定义

解决的练习

有关真人在线斗地主的一些已解决的练习可以在下面找到。

练习1

X 是离散的随机变量。让它支持  R_X [eq88]

让其概率质量函数 [eq89][eq90]

计算的真人在线斗地主 X.

以来 X 是离散的,其真人在线斗地主是在 X:[eq91]

练习2

X 是一个离散变量 支持 [eq92]

和概率质量 功能 [eq93]

计算其真人在线斗地主。

以来 X 是离散的,其真人在线斗地主是在 X:[eq94]

练习3

X 是离散变量。让它支持 是 [eq95]

让其概率质量函数 是 [eq96]

计算的真人在线斗地主 X.

以来 X 是离散的,其真人在线斗地主是在 X:[eq97]

练习4

X 是一个连续的随机变量 制服 分配 在间隔 $ left [1,3
权] $.

它的支持 是 [eq98]

其概率密度函数 是 [eq99]

计算的真人在线斗地主 X.

以来 X 是连续的,其真人在线斗地主可以计算为 积分:  [eq100]

请注意,技巧是:1)细分积分间隔以隔离 密度为零的子间隔; 2)拆分积分 各种子间隔。

练习5

X 是连续随机变量。它的支持 是  [eq101]

其概率密度函数 是  [eq102]

计算的真人在线斗地主 X.

以来 X 是连续的,其真人在线斗地主可以计算为 积分:  [eq103]

练习6

X 是连续随机变量。它的支持 是  [eq104]

其概率密度函数 是  [eq105]

计算的真人在线斗地主 X.

以来 X 是连续的,其真人在线斗地主可以计算为 积分:  [eq106]

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "真人在线斗地主", 列克特 ures on probability theory 和 mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/fundamentals-of-probability/expected-value.

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