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期望值和勒贝格积分

通过 博士

Lebesgue积分用于给出的完整定义 期望值。本讲座首先介绍Lebesgue积分 直观的方式,然后以更严格的方式。

目录

勒贝格积分-直觉

让我们回想一下我们在 享乐 期望值:

定义期望值 随机 变量 X 是值的加权平均值, X 可以承担,每个可能的值都由其各自的值加权 可能性。

什么时候 X 是离散的,只能取有限的多个值,很简单 计算的期望值 X, 仅通过应用上述定义即可。表示为 $ x_ {1} $, ..., $ x_ {n} $n 重视 X 可以承担( n 支持的元素)并定义以下内容 事件:[eq1]即 当事件 $ E_ {i} $ 发生,然后 X 等于 $ x_ {i} $.

我们可以写出 X[eq2]即 的期望值 X 是值的加权平均值, X 可以承担 ($ x_ {1} $, ..., $ x_ {n} $), 每个可能的值 $ x_ {i} $ 由其各自的概率加权 [eq3].

请注意,这是一种表示期望值的方法,该方法不使用 [eq4], 的 分配功能X, 也不是 概率质量 功能 [eq5]. 相反,上述表示期望值的方式仅使用 可能性 [eq6] 在事件上定义 $ Esubseteq欧米茄$. 在许多应用中,事实证明这是一种非常方便的方法 表达(和计算)期望值:例如,当 分配功能 [eq7] 还不是直接已知的,并且很难推导,有时更容易 直接计算概率 [eq6] 在事件上定义 $ Esubseteq欧米茄$. 下面,将用一个 .

什么时候 X 是离散的,但可以采用类似的方式接受无限多个值 能够 写[eq9]

但是,在这种情况下, [eq10] 定义不明确:当上述无限系列不成立时,会发生这种情况 收敛,即当 限制[eq11]确实 不存在。在下一节中,我们将展示如何处理此问题 可能性。

在这种情况下 X 在不是离散的(它的支持具有连续性的力量)中,事情很多 更复杂。在这种情况下,上述总和没有任何意义 (的支持 X 不能安排成一个 顺序 所以有 没有可以求和的序列)。因此,我们必须找到一种解决方法。的 解决方法与我们在演示文稿中讨论的方法类似 Stieltjes积分:我们构建了一个更简单的 随机变量 Y 那是一个很好的近似 X 并可以轻松计算出其期望值;然后我们做 逼近越来越好;最后,我们定义的期望值 X 等于的期望值 Y 当逼近趋于完美时。

逼近如何直观地工作?我们分三个步骤进行说明:

  1. 在第一步中,我们划分样本空间 欧米茄 进入 n 大事记 $ E_ {1} $, ..., $ E_ {n} $, 这样 [eq12] 对于 $i
eq j$[eq13]

  2. 在第二步中,我们发现每个事件 $ E_ {i} $, 最小值 X 当事件发生时可以承担 $ E_ {i} $ 发生:[eq14]

  3. 在第三步中,我们定义随机变量 Y (近似 X) 如 如下:[eq15]

这样,我们建立了一个随机变量 Y 这样 [eq16] 对于任何 欧米茄. 分区越精细 $ E_ {1} $, ..., $ E_ {n} $ 是,近似值越好:直观地讲,当集合 $ E_ {i} $ 变得更小 $ y_ {i} $ 变得更接近于 X 承担何时 $ E_ {i} $ 发生。

的期望值 Y 当然很容易 计算:[eq17]

的期望值 X 被定义为 如下:[eq18]哪里 符号 $Y
ightarrow X$ 意思是 Y 成为更好的近似 X (因为分区 $ E_ {1} $, ..., $ E_ {n} $ 变得更好)。

几个等效的积分符号用于表示上述内容 限制:[eq19]和 该积分称为的Lebesgue积分 X 关于概率测度 $ QTR {rm} {P} $. 记法 $ dQTR {rm} {P} $ (要么 $ domega $) 表示集 $ E_ {i} $ 通过提高近似值变得非常小(使分区 $ E_ {1} $, ..., $ E_ {n} $ 更好);积分符号 $ int $ 可以被认为是 [eq20]; X 代替 Y 在积分中,因为当逼近时两者趋于重合 变得越来越好。

Lebesgue积分的线性

Lebesgue积分享有的重要属性是 线性度.

主张X_1X_2 是两个随机变量,让 $ c_ {1} in U {211d} $$ c_ {2} in U {211d} $ 是两个常数。 然后,[eq21]

下一个示例说明了线性度的重要应用 勒贝格积分。该示例还显示了Lebesgue积分如何 在某些情况下,比Stieltjes积分更容易使用 计算随机变量的期望值。

X_1X_2 是两个随机变量。我们要定义(和计算)的期望值 总和 $ X_ {1} + X_ {2} $. 定义一个新的随机变量 Z:[eq22]使用 Stieltjes积分,期望值定义为 如下:[eq23]哪里 [eq24] 是...的分布函数 Z. 因此,要计算上述积分,我们首先需要知道分布 的功能 Z (这可能很难得出)。通过使用勒贝格 积分,期望值定义为 如下:[eq25]然而, 通过Lebesgue积分的线性,我们 获得[eq26]从而, 计算的期望值 $ Z = X_ {1} + X_ {2} $, 我们不需要知道 Z, 但我们只需要知道的期望值 X_1X_2.

因此,该示例表明Lebesgue积分的线性很简单 转换成 期望值的线性.

主张X_1X_2 是两个随机变量,让 $ c_ {1} in U {211d} $$ c_ {2} in U {211d} $ 是两个常数。 然后,[eq27]

勒贝格积分-更严格的定义

Lebesgue积分的更严格定义要求我们引入 一个的概念 简单随机变量。随机变量 Y 如果它具有有限的多个正值,则称为简单 存在 n 大事记 $ E_ {1} $, ..., $ E_ {n} $ 这样 [eq28] 对于 $i
eq j$[eq29][eq30]此外 $ y_ {i} geq 0 $ 对所有人 i.

注意,简单的随机变量也是离散的随机变量。因此, 简单随机变量的期望值易于计算( 其支持元素的加权总和)。

简单随机变量的Lebesgue积分 Y 被定义为等于预期 值:[eq31]

X 是我们要计算其积分的随机变量。让 $ X ^ {+} $$ X ^ {-} $ 成为正面和负面的一部分 X 分别:[eq32]注意 那 [eq33], [eq34] 对于任何 欧米茄[eq35]

的勒贝格积分 $ X ^ {+} $ 被定义为 如下:[eq36]在 的话,勒贝格积分的 $ X ^ {+} $ 通过取所有的 简单的功能 Y 小于 $ X ^ {+} $.

的勒贝格积分 $ X ^ {-} $ 被定义为 如下:[eq37]最后, 的勒贝格积分 X 定义为它的正和负积分之间的差 负 部分:[eq38]提供 差异是有道理的;万一 [eq39][eq40] 都等于无穷大,那么差异是不明确的,我们说 那 X 是不可整合的。

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "期望值和勒贝格积分", 列克特ures on 可能性 的ory 和 mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/fundamentals-of-probability/expected-value-and-Lebesgue-integral.

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