期望值和勒贝格积分

通过 马可·塔波加（Marco Taboga）博士

Lebesgue积分用于给出的完整定义 期望值。本讲座首先介绍Lebesgue积分 直观的方式，然后以更严格的方式。

勒贝格积分-直觉

让我们回想一下我们在 享乐 期望值:

什么时候 是离散的，只能取有限的多个值，很简单 计算的期望值 , 仅通过应用上述定义即可。表示为 , ...， 的 重视 可以承担（ 支持的元素）并定义以下内容 事件：即 当事件 发生，然后 等于 .

我们可以写出 如 即 的期望值 是值的加权平均值， 可以承担 (, ...， ）， 每个可能的值 由其各自的概率加权 .

请注意，这是一种表示期望值的方法，该方法不使用 , 的 分配功能 的 , 也不是 概率质量 功能 . 相反，上述表示期望值的方式仅使用 可能性 在事件上定义 . 在许多应用中，事实证明这是一种非常方便的方法 表达（和计算）期望值：例如，当 分配功能 还不是直接已知的，并且很难推导，有时更容易 直接计算概率 在事件上定义 . 下面，将用一个 例.

什么时候 是离散的，但可以采用类似的方式接受无限多个值 能够 写

但是，在这种情况下， 定义不明确：当上述无限系列不成立时，会发生这种情况 收敛，即当 限制确实 不存在。在下一节中，我们将展示如何处理此问题 可能性。

在这种情况下 在不是离散的（它的支持具有连续性的力量）中，事情很多 更复杂。在这种情况下，上述总和没有任何意义 （的支持 不能安排成一个 顺序 所以有 没有可以求和的序列）。因此，我们必须找到一种解决方法。的 解决方法与我们在演示文稿中讨论的方法类似 Stieltjes积分：我们构建了一个更简单的 随机变量 那是一个很好的近似 并可以轻松计算出其期望值；然后我们做 逼近越来越好；最后，我们定义的期望值 等于的期望值 当逼近趋于完美时。

逼近如何直观地工作？我们分三个步骤进行说明：

1. 在第一步中，我们划分样本空间 进入 大事记 , ...， , 这样 对于 和

2. 在第二步中，我们发现每个事件 , 最小值 当事件发生时可以承担 发生：

3. 在第三步中，我们定义随机变量 （近似 ) 如 如下：

这样，我们建立了一个随机变量 这样 对于任何 . 分区越精细 , ...， 是，近似值越好：直观地讲，当集合 变得更小 变得更接近于 承担何时 发生。

的期望值 当然很容易 计算：

的期望值 被定义为 如下：哪里 符号 意思是 成为更好的近似 （因为分区 , ...， 变得更好）。

几个等效的积分符号用于表示上述内容 限制：和 该积分称为的Lebesgue积分 关于概率测度 . 记法 （要么 ) 表示集 通过提高近似值变得非常小（使分区 , ...， 更好）；积分符号 可以被认为是 ; 代替 在积分中，因为当逼近时两者趋于重合 变得越来越好。

Lebesgue积分的线性

Lebesgue积分享有的重要属性是 线性度.

下一个示例说明了线性度的重要应用 勒贝格积分。该示例还显示了Lebesgue积分如何 在某些情况下，比Stieltjes积分更容易使用 计算随机变量的期望值。

因此，该示例表明Lebesgue积分的线性很简单 转换成 期望值的线性.

勒贝格积分-更严格的定义

Lebesgue积分的更严格定义要求我们引入 一个的概念 简单随机变量。随机变量 如果它具有有限的多个正值，则称为简单 存在 大事记 , ...， 这样 对于 和 和此外 对所有人 .

注意，简单的随机变量也是离散的随机变量。因此， 简单随机变量的期望值易于计算（ 其支持元素的加权总和）。

简单随机变量的Lebesgue积分 被定义为等于预期 值：

让 是我们要计算其积分的随机变量。让 和 成为正面和负面的一部分 分别：注意 那 , 对于任何 和

的勒贝格积分 被定义为 如下：在 的话，勒贝格积分的 通过取所有的 简单的功能 小于 .

的勒贝格积分 被定义为 如下：最后， 的勒贝格积分 定义为它的正和负积分之间的差 负 部分：提供 差异是有道理的；万一 和 都等于无穷大，那么差异是不明确的，我们说 那 是不可整合的。

如何引用

请引用为：

Taboga, Marco (2017). "期望值和勒贝格积分", 列克特ures on 可能性 的ory 和 mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/fundamentals-of-probability/expected-value-and-Lebesgue-integral.