Lebesgue积分用于给出的完整定义 期望值。本讲座首先介绍Lebesgue积分 直观的方式,然后以更严格的方式。
让我们回想一下我们在 享乐 期望值:
定义
的 期望值 的 随机
变量
是值的加权平均值,
可以承担,每个可能的值都由其各自的值加权
可能性。
什么时候
是离散的,只能取有限的多个值,很简单
计算的期望值
,
仅通过应用上述定义即可。表示为
,
...,
的
重视
可以承担(
支持的元素)并定义以下内容
事件:
即
当事件
发生,然后
等于
.
我们可以写出
如
即
的期望值
是值的加权平均值,
可以承担
(
,
...,
),
每个可能的值
由其各自的概率加权
.
请注意,这是一种表示期望值的方法,该方法不使用
,
的 分配功能
的
,
也不是 概率质量
功能
.
相反,上述表示期望值的方式仅使用
可能性
在事件上定义
.
在许多应用中,事实证明这是一种非常方便的方法
表达(和计算)期望值:例如,当
分配功能
还不是直接已知的,并且很难推导,有时更容易
直接计算概率
在事件上定义
.
下面,将用一个 例.
什么时候
是离散的,但可以采用类似的方式接受无限多个值
能够
写
但是,在这种情况下,
定义不明确:当上述无限系列不成立时,会发生这种情况
收敛,即当
限制
确实
不存在。在下一节中,我们将展示如何处理此问题
可能性。
在这种情况下
在不是离散的(它的支持具有连续性的力量)中,事情很多
更复杂。在这种情况下,上述总和没有任何意义
(的支持
不能安排成一个 顺序 所以有
没有可以求和的序列)。因此,我们必须找到一种解决方法。的
解决方法与我们在演示文稿中讨论的方法类似
Stieltjes积分:我们构建了一个更简单的
随机变量
那是一个很好的近似
并可以轻松计算出其期望值;然后我们做
逼近越来越好;最后,我们定义的期望值
等于的期望值
当逼近趋于完美时。
逼近如何直观地工作?我们分三个步骤进行说明:
在第一步中,我们划分样本空间
进入
大事记
,
...,
,
这样
对于
和
在第二步中,我们发现每个事件
,
最小值
当事件发生时可以承担
发生:
在第三步中,我们定义随机变量
(近似
)
如
如下:
这样,我们建立了一个随机变量
这样
对于任何
.
分区越精细
,
...,
是,近似值越好:直观地讲,当集合
变得更小
变得更接近于
承担何时
发生。
的期望值
当然很容易
计算:
的期望值
被定义为
如下:
哪里
符号
意思是
成为更好的近似
(因为分区
,
...,
变得更好)。
几个等效的积分符号用于表示上述内容
限制:和
该积分称为的Lebesgue积分
关于概率测度
.
记法
(要么
)
表示集
通过提高近似值变得非常小(使分区
,
...,
更好);积分符号
可以被认为是
;
代替
在积分中,因为当逼近时两者趋于重合
变得越来越好。
Lebesgue积分享有的重要属性是 线性度.
主张
让
和
是两个随机变量,让
和
是两个常数。
然后,
下一个示例说明了线性度的重要应用 勒贝格积分。该示例还显示了Lebesgue积分如何 在某些情况下,比Stieltjes积分更容易使用 计算随机变量的期望值。
例
让
和
是两个随机变量。我们要定义(和计算)的期望值
总和
.
定义一个新的随机变量
:
使用
Stieltjes积分,期望值定义为
如下:
哪里
是...的分布函数
.
因此,要计算上述积分,我们首先需要知道分布
的功能
(这可能很难得出)。通过使用勒贝格
积分,期望值定义为
如下:
然而,
通过Lebesgue积分的线性,我们
获得
从而,
计算的期望值
,
我们不需要知道
,
但我们只需要知道的期望值
和
.
因此,该示例表明Lebesgue积分的线性很简单 转换成 期望值的线性.
主张
让
和
是两个随机变量,让
和
是两个常数。
然后,
Lebesgue积分的更严格定义要求我们引入
一个的概念 简单随机变量。随机变量
如果它具有有限的多个正值,则称为简单
存在
大事记
,
...,
这样
对于
和
和
此外
对所有人
.
注意,简单的随机变量也是离散的随机变量。因此, 简单随机变量的期望值易于计算( 其支持元素的加权总和)。
简单随机变量的Lebesgue积分
被定义为等于预期
值:
让
是我们要计算其积分的随机变量。让
和
成为正面和负面的一部分
分别:
注意
那
,
对于任何
和
的勒贝格积分
被定义为
如下:
在
的话,勒贝格积分的
通过取所有的
简单的功能
小于
.
的勒贝格积分
被定义为
如下:
最后,
的勒贝格积分
定义为它的正和负积分之间的差
负
部分:
提供
差异是有道理的;万一
和
都等于无穷大,那么差异是不明确的,我们说
那
是不可整合的。
请引用为:
Taboga, Marco (2017). "期望值和勒贝格积分", 列克特ures on 可能性 的ory 和 mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/fundamentals-of-probability/expected-value-and-Lebesgue-integral.