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期望值的性质

通过 博士

本讲座讨论预期值的一些基本属性 操作员。尽管可以使用以下方法理解并证明其中的大多数特性 先前讲座中介绍的材料,此处收集了一些属性 为方便起见,但只有在阅读了 连续讲课中介绍的材料。

目录

期望值的线性

以下属性与期望值的线性有关。

真人在线斗地主变量的标量乘法

如果 X 是一个真人在线斗地主变量, $ ain U {211d} $ 是一个常数 然后[eq1]这个 关于财产的讨论 期望值.

X 是预期的真人在线斗地主变量 值[eq2]和 让 Y 是定义为的真人在线斗地主变量 如下:[eq3]然后,[eq4]

真人在线斗地主变量之和

如果 X_1, X_2, ..., $ X_ {K} $K 真人在线斗地主变量 然后[eq5]也 该财产已经在名为“ 期望值.

XY 是预期的两个真人在线斗地主变量 价值观[eq6]和 让 Z 是定义为的真人在线斗地主变量 如下:[eq7]然后,[eq8]

真人在线斗地主变量的线性组合

如果 X_1, X_2, ..., $ X_ {K} $K 真人在线斗地主变量和 [eq9]K 常数 然后[eq10]这个 可以通过结合上面的两个属性(标量 乘法和总和)。考虑 [eq11] 作为 K 一个的条目 $ 1imes K $ 向量 aX_1, X_2, ..., $ X_ {K} $ 作为 K 一个的条目 Kx1 真人在线斗地主向量 X. 然后上面的属性可以写成 如 [eq12]哪一个 是该变量的多元概括 标量 乘法 上面的属性。

XY 是预期的两个真人在线斗地主变量 价值观[eq13]和 让 Z 是定义为的真人在线斗地主变量 如下:[eq14]然后,[eq15]

常数矩阵的加法 和带有真人在线斗地主条目的矩阵

西格玛 成为 $ Kimes L $ 真人在线斗地主矩阵,即 $ Kimes L $ 条目为真人在线斗地主变量的矩阵。如果 A 是一个 $ Kimes L $ 常数矩阵 然后[eq16]这个 通过将上述线性属性应用于 真人在线斗地主矩阵 $ A +西格玛$.

请注意 真人在线斗地主向量只是真人在线斗地主的一个特定实例 矩阵。因此,如果 X 是一个 Kx1 真人在线斗地主向量和 a 是一个 Kx1 常数向量 然后[eq17]

X 成为 $ 2imes 1 $ 真人在线斗地主向量,使其两个入口 X_1X_2 曾期望 价值观[eq18]A 如下 $ 2imes 1 $ 不变 向量:[eq19]让 真人在线斗地主向量 Y 被定义为 如下:[eq20]然后,[eq21]

常数相乘 矩阵和具有真人在线斗地主条目的矩阵

西格玛 成为 $ Kimes L $ 真人在线斗地主矩阵,即 $ Kimes L $ 条目为真人在线斗地主变量的矩阵。如果 $ B $ 是一个 $ Mimes K $ 常数矩阵 然后[eq22]如果 $ C $ 是一个 $酸橙 常数矩阵 然后[eq23]这些 是上述线性特性的直接后果。

通过迭代地应用此属性,如果 $ B $ 是一个 $ Mimes K $ 常数矩阵和 $ C $ 是一个 $酸橙 常数矩阵,我们 获得[eq24]

X 成为 $ 1imes 2 $ 真人在线斗地主向量 那[eq25]哪里 X_1X_2 是...的两个组成部分 X. 让 A 如下 2元2元 的矩阵 常数:[eq26]让 真人在线斗地主向量 Y 被定义为 如下:[eq27]然后,[eq28]

其他特性

预期值的以下属性也非常重要。

期待积极 random 变量

X 豆角,扁豆 可积真人在线斗地主 变量 定义在 样品 空间 欧米茄. 让 [eq29] 对所有人 欧米茄中的欧米茄 (即 X 是一个正真人在线斗地主变量)。 然后,[eq30]凭直觉 这是显而易见的。的期望值 X 是值的加权平均值, X 可以承担。但 X 只能取正值。因此,其预期值也必须是 正。形式上,期望值是 勒贝格 积分X, 和 X 可以通过正简单真人在线斗地主数近似到任何精确度 勒贝格积分为正的变量。因此,Lebesgue 的积分 X 必须是积极的。

保留几乎确定的不平等

XY 是在样本空间上定义的两个可积真人在线斗地主变量 欧米茄. 让 XY 这样 $ Xleq Y $ 几乎可以肯定 (换句话说, 存在一个 零概率事件 E 这样 [eq31])。 然后,[eq32]

证明

E 成为零概率事件,这样 [eq33]第一, 注意 那[eq34]哪里 $ 1_ {E} $ 是个 指示符 事件的 E$ 1_ {E ^ {c}} $ 是补充的指标 E. 结果,我们可以写 [eq35]通过 零概率事件指标的属性,我们有 [eq36]从而, 我们可以 写[eq37]现在, 什么时候 E ^ {c} $中的$ omega, 然后 [eq38][eq39]. 相反,当 $ omega中的E $, 然后 $ 1_ {E ^ {c}} = 0 $[eq40]. 因此, [eq41] 对所有人 欧米茄中的欧米茄 (即 [eq42] 是一个正真人在线斗地主变量)。因此,通过先前的属性 ( 正真人在线斗地主变量的期望), 我们有 [eq43]哪一个 暗示 [eq44]通过 期望值的线性,我们 得到[eq45]因此,[eq32]

解决的练习

您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。

练习1

XY 是两个真人在线斗地主变量,预期 值:[eq47]

计算真人在线斗地主变量的期望值 Z 定义为 如下:[eq48]

使用期望值的线性 运营商,我们 获得[eq49]

练习2

X 成为 $ 2imes 1 $ 真人在线斗地主向量,使其两个入口 X_1X_2 曾期望 价值观[eq50]

A 如下 2元2元 的矩阵 常数:[eq51]

计算真人在线斗地主向量的期望值 Y 定义为 如下:[eq52]

期望的线性特性 值也适用于常数矩阵和真人在线斗地主数的乘法 向量:[eq53]

练习3

西格玛 成为 2元2元 具有真人在线斗地主条目的矩阵,因此其所有条目均具有期望值 等于 1. 让 A 如下 $ 1imes 2 $ 不变 向量:[eq54]计算 真人在线斗地主向量的期望值 Y 定义为 如下:[eq55]

期望的线性特性 值也适用于常数向量和矩阵的乘法 真人在线斗地主 条目:[eq56]

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "期望值的性质", 列克特ures on probability theory 和 mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/fundamentals-of-probability/expected-value-properties.

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