本讲座讨论预期值的一些基本属性 操作员。尽管可以使用以下方法理解并证明其中的大多数特性 先前讲座中介绍的材料,此处收集了一些属性 为方便起见,但只有在阅读了 连续讲课中介绍的材料。
以下属性与期望值的线性有关。
如果
是一个真人在线斗地主变量,
是一个常数
然后
这个
关于财产的讨论
期望值.
例
让
是预期的真人在线斗地主变量
值
和
让
是定义为的真人在线斗地主变量
如下:
然后,
如果
,
,
...,
是
真人在线斗地主变量
然后
也
该财产已经在名为“
期望值.
例
让
和
是预期的两个真人在线斗地主变量
价值观
和
让
是定义为的真人在线斗地主变量
如下:
然后,
如果
,
,
...,
是
真人在线斗地主变量和
是
常数
然后
这个
可以通过结合上面的两个属性(标量
乘法和总和)。考虑
作为
一个的条目
向量
和
,
,
...,
作为
一个的条目
真人在线斗地主向量
.
然后上面的属性可以写成
如
哪一个
是该变量的多元概括 标量
乘法 上面的属性。
例
让
和
是预期的两个真人在线斗地主变量
价值观
和
让
是定义为的真人在线斗地主变量
如下:
然后,
让
成为
真人在线斗地主矩阵,即
条目为真人在线斗地主变量的矩阵。如果
是一个
常数矩阵
然后
这个
通过将上述线性属性应用于
真人在线斗地主矩阵
.
请注意 真人在线斗地主向量只是真人在线斗地主的一个特定实例
矩阵。因此,如果
是一个
真人在线斗地主向量和
是一个
常数向量
然后
例
让
成为
真人在线斗地主向量,使其两个入口
和
曾期望
价值观
让
如下
不变
向量:
让
真人在线斗地主向量
被定义为
如下:
然后,
让
成为
真人在线斗地主矩阵,即
条目为真人在线斗地主变量的矩阵。如果
是一个
常数矩阵
然后
如果
是一个
常数矩阵
然后
这些
是上述线性特性的直接后果。
通过迭代地应用此属性,如果
是一个
常数矩阵和
是一个
常数矩阵,我们
获得
例
让
成为
真人在线斗地主向量
那
哪里
和
是...的两个组成部分
.
让
如下
的矩阵
常数:
让
真人在线斗地主向量
被定义为
如下:
然后,
预期值的以下属性也非常重要。
让
豆角,扁豆 可积真人在线斗地主
变量 定义在 样品
空间
.
让
对所有人
(即
是一个正真人在线斗地主变量)。
然后,
凭直觉
这是显而易见的。的期望值
是值的加权平均值,
可以承担。但
只能取正值。因此,其预期值也必须是
正。形式上,期望值是 勒贝格
积分 的
,
和
可以通过正简单真人在线斗地主数近似到任何精确度
勒贝格积分为正的变量。因此,Lebesgue
的积分
必须是积极的。
让
和
是在样本空间上定义的两个可积真人在线斗地主变量
.
让
和
这样
几乎可以肯定 (换句话说,
存在一个 零概率事件
这样
)。
然后,
让
成为零概率事件,这样
第一,
注意
那
哪里
是个 指示符 事件的
和
是补充的指标
.
结果,我们可以写
通过
零概率事件指标的属性,我们有
从而,
我们可以
写
现在,
什么时候
,
然后
和
.
相反,当
,
然后
和
.
因此,
对所有人
(即
是一个正真人在线斗地主变量)。因此,通过先前的属性
( 正真人在线斗地主变量的期望), 我们有
哪一个
暗示
通过
期望值的线性,我们
得到
因此,
您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。
让
和
是两个真人在线斗地主变量,预期
值:
计算真人在线斗地主变量的期望值
定义为
如下:
使用期望值的线性
运营商,我们
获得
让
成为
真人在线斗地主向量,使其两个入口
和
曾期望
价值观
让
如下
的矩阵
常数:
计算真人在线斗地主向量的期望值
定义为
如下:
期望的线性特性
值也适用于常数矩阵和真人在线斗地主数的乘法
向量:
让
成为
具有真人在线斗地主条目的矩阵,因此其所有条目均具有期望值
等于
.
让
如下
不变
向量:
计算
真人在线斗地主向量的期望值
定义为
如下:
期望的线性特性
值也适用于常数向量和矩阵的乘法
真人在线斗地主
条目:
请引用为:
Taboga, Marco (2017). "期望值的性质", 列克特ures on probability theory 和 mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/fundamentals-of-probability/expected-value-properties.