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期望值的性质

通过 博士

本讲座讨论预期值的一些基本属性 操作员。尽管可以使用以下方法理解并证明其中的大多数特性 先前讲座中介绍的材料，此处收集了一些属性 为方便起见，但只有在阅读了 连续讲课中介绍的材料。

目录

目录

  1. 期望值的线性

    1. 真人在线斗地主变量的标量乘法

    2. 真人在线斗地主变量之和

    3. 真人在线斗地主变量的线性组合

    4. 常数矩阵和具有真人在线斗地主条目的矩阵的加法

    5. 常数矩阵与具有真人在线斗地主条目的矩阵的相乘

  2. 其他特性

    1. 对正真人在线斗地主变量的期望

    2. 保留几乎确定的不平等

  3. 解决的练习

    1. 练习1

    2. 练习2

    3. 练习3

期望值的线性

以下属性与期望值的线性有关。

真人在线斗地主变量的标量乘法

如果 X 是一个真人在线斗地主变量， $ ain U {211d} $ 是一个常数 然后[eq1]这个 关于财产的讨论 期望值.

例 让 X 是预期的真人在线斗地主变量 值[eq2]和 让 Y 是定义为的真人在线斗地主变量 如下：[eq3]然后，[eq4]

真人在线斗地主变量之和

如果 X_1, X_2, ...， $ X_ {K} $ 是 K 真人在线斗地主变量 然后[eq5]也 该财产已经在名为“ 期望值.

例 让 X 和 Y 是预期的两个真人在线斗地主变量 价值观[eq6]和 让 Z 是定义为的真人在线斗地主变量 如下：[eq7]然后，[eq8]

真人在线斗地主变量的线性组合

如果 X_1, X_2, ...， $ X_ {K} $ 是 K 真人在线斗地主变量和 [eq9] 是 K 常数 然后[eq10]这个 可以通过结合上面的两个属性（标量 乘法和总和）。考虑 [eq11] 作为 K 一个的条目 $ 1imes K $ 向量 a 和 X_1, X_2, ...， $ X_ {K} $ 作为 K 一个的条目 Kx1 真人在线斗地主向量 X. 然后上面的属性可以写成 如 [eq12]哪一个 是该变量的多元概括 标量 乘法 上面的属性。

例 让 X 和 Y 是预期的两个真人在线斗地主变量 价值观[eq13]和 让 Z 是定义为的真人在线斗地主变量 如下：[eq14]然后，[eq15]

常数矩阵的加法 和带有真人在线斗地主条目的矩阵

让 西格玛 成为 $ Kimes L $ 真人在线斗地主矩阵，即 $ Kimes L $ 条目为真人在线斗地主变量的矩阵。如果 A 是一个 $ Kimes L $ 常数矩阵 然后[eq16]这个 通过将上述线性属性应用于 真人在线斗地主矩阵 $ A +西格玛$.

请注意 真人在线斗地主向量只是真人在线斗地主的一个特定实例 矩阵。因此，如果 X 是一个 Kx1 真人在线斗地主向量和 a 是一个 Kx1 常数向量 然后[eq17]

例 让 X 成为 $ 2imes 1 $ 真人在线斗地主向量，使其两个入口 X_1 和 X_2 曾期望 价值观[eq18]让 A 如下 $ 2imes 1 $ 不变 向量：[eq19]让 真人在线斗地主向量 Y 被定义为 如下：[eq20]然后，[eq21]

常数相乘 矩阵和具有真人在线斗地主条目的矩阵

让 西格玛 成为 $ Kimes L $ 真人在线斗地主矩阵，即 $ Kimes L $ 条目为真人在线斗地主变量的矩阵。如果 $ B $ 是一个 $ Mimes K $ 常数矩阵 然后[eq22]如果 $ C $ 是一个 $酸橙 常数矩阵 然后[eq23]这些 是上述线性特性的直接后果。

通过迭代地应用此属性，如果 $ B $ 是一个 $ Mimes K $ 常数矩阵和 $ C $ 是一个 $酸橙 常数矩阵，我们 获得[eq24]

例 让 X 成为 $ 1imes 2 $ 真人在线斗地主向量 那[eq25]哪里 X_1 和 X_2 是...的两个组成部分 X. 让 A 如下 2元2元 的矩阵 常数：[eq26]让 真人在线斗地主向量 Y 被定义为 如下：[eq27]然后，[eq28]

其他特性

预期值的以下属性也非常重要。

期待积极 random 变量

让 X 豆角，扁豆 可积真人在线斗地主 变量 定义在 样品 空间 欧米茄. 让 [eq29] 对所有人 欧米茄中的欧米茄 （即 X 是一个正真人在线斗地主变量）。 然后，[eq30]凭直觉 这是显而易见的。的期望值 X 是值的加权平均值， X 可以承担。但 X 只能取正值。因此，其预期值也必须是 正。形式上，期望值是 勒贝格 积分 的 X, 和 X 可以通过正简单真人在线斗地主数近似到任何精确度 勒贝格积分为正的变量。因此，Lebesgue 的积分 X 必须是积极的。

保留几乎确定的不平等

让 X 和 Y 是在样本空间上定义的两个可积真人在线斗地主变量 欧米茄. 让 X 和 Y 这样 $ Xleq Y $ 几乎可以肯定 （换句话说， 存在一个 零概率事件 E 这样 [eq31]）。 然后，[eq32]

证明

让 E 成为零概率事件，这样 [eq33]第一， 注意 那[eq34]哪里 $ 1_ {E} $ 是个 指示符 事件的 E 和 $ 1_ {E ^ {c}} $ 是补充的指标 E. 结果，我们可以写 [eq35]通过 零概率事件指标的属性，我们有 [eq36]从而， 我们可以 写[eq37]现在， 什么时候 E ^ {c} $中的$ omega, 然后 [eq38] 和 [eq39]. 相反，当 $ omega中的E $, 然后 $ 1_ {E ^ {c}} = 0 $ 和 [eq40]. 因此， [eq41] 对所有人 欧米茄中的欧米茄 （即 [eq42] 是一个正真人在线斗地主变量）。因此，通过先前的属性 ( 正真人在线斗地主变量的期望）， 我们有 [eq43]哪一个 暗示 [eq44]通过 期望值的线性，我们 得到[eq45]因此，[eq32]

解决的练习

您可以在下面找到一些练习，其中包含已说明的解决方案。

练习1

让 X 和 Y 是两个真人在线斗地主变量，预期 值：[eq47]

计算真人在线斗地主变量的期望值 Z 定义为 如下：[eq48]

解

使用期望值的线性 运营商，我们 获得[eq49]

练习2

让 X 成为 $ 2imes 1 $ 真人在线斗地主向量，使其两个入口 X_1 和 X_2 曾期望 价值观[eq50]

让 A 如下 2元2元 的矩阵 常数：[eq51]

计算真人在线斗地主向量的期望值 Y 定义为 如下：[eq52]

解

期望的线性特性 值也适用于常数矩阵和真人在线斗地主数的乘法 向量：[eq53]

练习3

让 西格玛 成为 2元2元 具有真人在线斗地主条目的矩阵，因此其所有条目均具有期望值 等于 1. 让 A 如下 $ 1imes 2 $ 不变 向量：[eq54]计算 真人在线斗地主向量的期望值 Y 定义为 如下：[eq55]

解

期望的线性特性 值也适用于常数向量和矩阵的乘法 真人在线斗地主 条目：[eq56]

如何引用

请引用为：

Taboga, Marco (2017). "期望值的性质", 列克特ures on probability theory 和 mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/fundamentals-of-probability/expected-value-properties.

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