本讲座讨论如何分解
联合概率
密度函数 两个连续随机变量(或随机向量)
和
分为两个因素:
的
有条件的
概率密度函数 的
给定
;
的 边缘
概率密度函数 的
.
因数分解,已经在名为“ 条件概率分布,正式 在以下命题中陈述。
命题(因式分解)
让
是具有支持的连续随机向量
和联合概率密度函数
.
表示为
的条件概率密度函数
给定
和
的边际概率密度函数
.
然后,
对于
任何
和
.
当我们知道联合概率密度函数
我们需要将其分解为条件概率密度函数
和边际概率密度函数
,
我们通常分两步进行:
边缘化
通过将其整合到
并获得边际概率密度函数
;
划分
通过
并获得条件概率密度函数
(当然,只有当
)。
在某些情况下,第一步(边际化)可能难以执行。
在这些情况下,可以通过
关于...的分解
并在以下帮助下验证猜测是否正确
主张。
命题(因式分解
方法)
假设有两个功能
和
这样
对于任何
和
,
以下
持有:
对于任何固定
,
,
被认为是
,
是概率密度函数
然后,
证明涵盖以下情况:
和
是随机变量。它们是随机向量的情况的证明
是该证明的直接概括。边际概率
密度
满足
因此,
按物业1
以上:
哪里
最后的平等来自以下事实:对于任何固定的
,
,
被认为是
,
是概率密度函数和概率密度的积分
功能结束
等于
.
因此,
哪一个,
反过来,
暗示
因此,只要给定接头密度函数的公式
我们要找到边际函数和条件函数,我们必须
处理公式并将其表示为以下乘积:
的功能
和
那是概率密度函数
对于的所有值
;
的功能
不依赖于
.
例
让关节密度函数为
和
是
的
关节密度可以分解为
如下:
哪里
和
注意
那
是的概率密度函数
对于任何固定
(这是一个
指数随机变量 带参数
)。
因此,
请引用为:
Taboga, Marco (2017). "联合概率密度函数的因式分解", 列克特ures on probability 的ory 和 mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/fundamentals-of-probability/factorization-of-joint-probability-density-functions.