在Statlect上搜索概率和统计术语
统计列克特
指数 > 概率基础

联合概率密度函数的因式分解

通过 博士

本讲座讨论如何分解 联合概率 密度函数 两个连续随机变量(或随机向量) XY 分为两个因素:

  1. 有条件的 概率密度函数X 给定 Y = y;

  2. 边缘 概率密度函数Y.

目录

分解

因数分解,已经在名为“ 条件概率分布,正式 在以下命题中陈述。

命题(因式分解)[eq1] 是具有支持的连续随机向量 $ R_ {XY} $ 和联合概率密度函数 [eq2]. 表示为 [eq3] 的条件概率密度函数 X 给定 Y = y[eq4] 的边际概率密度函数 Y. 然后,[eq5]对于 任何 x$ y $.

分解方法

当我们知道联合概率密度函数 [eq6] 我们需要将其分解为条件概率密度函数 [eq3] 和边际概率密度函数 [eq8], 我们通常分两步进行:

  1. 边缘化 [eq9] 通过将其整合到 x 并获得边际概率密度函数 [eq10];

  2. 划分 [eq9] 通过 [eq8] 并获得条件概率密度函数 [eq13] (当然,只有当 [eq14])。

在某些情况下,第一步(边际化)可能难以执行。 在这些情况下,可以通过 关于...的分解 [eq9] 并在以下帮助下验证猜测是否正确 主张。

命题(因式分解 方法) 假设有两个功能 [eq16]$ hleft(y
权)$ 这样

  1. 对于任何 x$ y $, 以下 持有:[eq17]

  2. 对于任何固定 $ y $, [eq18], 被认为是 x, 是概率密度函数

然后, [eq19]

证明

证明涵盖以下情况: XY 是随机变量。它们是随机向量的情况的证明 是该证明的直接概括。边际概率 密度 Y 满足[eq20]因此, 按物业1 以上:[eq21]哪里 最后的平等来自以下事实:对于任何固定的 $ y $, [eq22], 被认为是 x, 是概率密度函数和概率密度的积分 功能结束 R 等于 1. 因此,[eq23]哪一个, 反过来, 暗示[eq24]

因此,只要给定接头密度函数的公式 [eq25] 我们要找到边际函数和条件函数,我们必须 处理公式并将其表示为以下乘积:

  1. 的功能 x$ y $ 那是概率密度函数 x 对于的所有值 $ y $;

  2. 的功能 $ y $ 不依赖于 x.

让关节密度函数为 XY[eq26]的 关节密度可以分解为 如下:[eq27]哪里[eq28][eq29]注意 那 [eq30] 是的概率密度函数 x 对于任何固定 $ y $ (这是一个 指数随机变量 带参数 $ y $)。 因此,[eq31]

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "联合概率密度函数的因式分解", 列克特ures on probability 的ory 和 mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/fundamentals-of-probability/factorization-of-joint-probability-density-functions.

这本书

该网站上提供的大多数学习材料现在都以传统教科书格式提供。