给定两个离散的随机变量(或随机向量)
和
,
其 联合
概率质量函数 可以分解为:
的 有条件的
概率质量函数 的
给定
;
的 边缘
概率质量函数 的
.
下一个命题提供了因式分解的正式陈述。
主张
让
成为 离散随机
向量 在支持下
和联合概率质量函数
.
表示为
的条件概率质量函数
给定
和
的边际概率质量函数
.
然后,
对于
任何
和
.
见讲座 条件概率分布.
如果我们需要从联合概率质量函数中得出两个因素, 我们通常执行两个步骤:
边缘化
通过将其的所有可能值相加
并获得边际概率质量函数
;
划分
通过
并获得条件概率质量函数
(只有在
)。
当第一步(边际化)太难执行时,有可能 为了避免这种情况,要靠猜测和验证程序。以下命题 显示如何。
主张
假设有两个功能
和
这样
对于任何
和
,
以下
持有:
对于任何固定
,
,
被认为是
,
是概率质量函数。
然后,
我们利用以下事实
的概率质量函数
需要
满足
使用
将该属性与命题中的属性1结合在一起,我们
获得
的
最后的平等是因为对于任何固定的
,
,
被认为是
,
是一个概率质量函数,并且一个概率质量函数的总和
它的支持等于
.
从而,
以来
我们还有
那
然后,
根据需要,它必须是
那
因此,猜测和验证过程的工作原理如下。首先,我们表达 联合概率质量函数是两个因素的乘积(这是 “猜测”部分)。然后,我们验证:
一个因素(
和
)
是的概率质量函数
对于的所有值
;
另一个因素(
)
不依赖
.
例
让
成为
随机向量具有 多项式分布
带参数
,
和
(每个试验的三个可能结果的概率)和
(试验次数)。概率严格是正数,例如
那
的
支持
的
是
的
联合概率质量函数
是
注意
那
因此,
联合概率质量函数可以分解
如
哪里
和
但,
对于任何
,
是具有参数的多项式分布的概率质量函数
,
和
.
因此,
请引用为:
Taboga, Marco (2017). "联合概率质量函数的因式分解", 列克特ures on 可能性 的ory 和 mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/fundamentals-of-probability/factorization-of-joint-probability-mass-functions.