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联合概率质量函数的因式分解

通过 博士

给定两个离散的随机变量(或随机向量) XY, 其 联合 概率质量函数 可以分解为:

  1. 有条件的 概率质量函数X 给定 Y = y;

  2. 边缘 概率质量函数Y.

目录

分解

下一个命题提供了因式分解的正式陈述。

主张[eq1] 成为 离散随机 向量 在支持下 $ R_ {XY} $ 和联合概率质量函数 [eq2]. 表示为 [eq3] 的条件概率质量函数 X 给定 Y = y[eq4] 的边际概率质量函数 Y. 然后,[eq5]对于 任何 x$ y $.

证明

分解方法

如果我们需要从联合概率质量函数中得出两个因素, 我们通常执行两个步骤:

  1. 边缘化 [eq6] 通过将其的所有可能值相加 x 并获得边际概率质量函数 [eq7];

  2. 划分 [eq8] 通过 [eq9] 并获得条件概率质量函数 [eq10] (只有在 [eq11])。

当第一步(边际化)太难执行时,有可能 为了避免这种情况,要靠猜测和验证程序。以下命题 显示如何。

主张 假设有两个功能 [eq12]$hleft( y
ight) $ 这样

  1. 对于任何 x$ y $, 以下 持有:[eq13]

  2. 对于任何固定 $ y $, [eq14], 被认为是 x, 是概率质量函数。

然后, [eq15]

证明

我们利用以下事实 的概率质量函数 Y 需要 满足[eq16]使用 将该属性与命题中的属性1结合在一起,我们 获得[eq17]的 最后的平等是因为对于任何固定的 $ y $, [eq18], 被认为是 x, 是一个概率质量函数,并且一个概率质量函数的总和 它的支持等于 1. 从而,[eq19]以来 我们还有 那[eq20]然后, 根据需要,它必须是 那[eq21]

因此,猜测和验证过程的工作原理如下。首先,我们表达 联合概率质量函数是两个因素的乘积(这是 “猜测”部分)。然后,我们验证:

  1. 一个因素( x$ y $) 是的概率质量函数 x 对于的所有值 $ y $;

  2. 另一个因素( $ y $) 不依赖 x.

X 成为 $ 3imes 1 $ 随机向量具有 多项式分布 带参数 $ p_ {1} $, $ p_ {2} $$ p_ {3} $ (每个试验的三个可能结果的概率)和 n (试验次数)。概率严格是正数,例如 那[eq22]的 支持 R_XX[eq23]的 联合概率质量函数 [eq24][eq25]注意 那[eq26]因此, 联合概率质量函数可以分解 如 [eq27]哪里[eq28][eq29]但, 对于任何 $ x_ {3} leq n $, [eq30] 是具有参数的多项式分布的概率质量函数 $ p_ {1} / p_ {3} $, $ p_ {2} / p_ {3} $$ n-x_ {3} $. 因此,[eq31]

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "联合概率质量函数的因式分解", 列克特ures on 可能性 的ory 和 mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/fundamentals-of-probability/factorization-of-joint-probability-mass-functions.

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