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共同概率质量功能的分解

经过 ，博士学位

给定两个离散随机变量（或随机向量） X and Y, their joint 概率质量功能 可以被修改为：

  1. the conditional 概率质量功能 of X given Y = Y.;

  2. the marginal 概率质量功能 of Y.

目录

目录

  1. 分解

  2. 一个分解方法

分解

下一个命题提供了一个正式的分解声明。

主张 Let [eq1] be a discrete random vector with support $ r_ {xy} $ 和联合概率质量功能 [eq2]. Denote by [eq3] 条件概率质量功能 X given Y = Y. and by [eq4] 边缘概率质量功能 Y. Then,[eq5]为了 any x and $ y $.

证明

看到题为题为的讲座 条件概率分布.

一个分解方法

如果我们需要从联合概率质量功能中获得两个因素， 我们通常执行两个步骤：

  1. marginalize [eq6] 通过对所有可能的价值观求和 x 并获得边际概率质量功能 [eq7];

  2. divide [eq8] by [eq9] 并获得条件概率质量功能 [eq10] （只有在 [eq11]）。

当第一步（边缘化）太难执行时，可以 由于猜测和验证程序避免它。以下命题 shows how.

主张 假设有两个功能 [eq12] and $hleft( y ight) $ such that

  1. for any x and $ y $, the following holds:[eq13]

  2. for any fixed $ y $, [eq14], 被认为是一个职能 x, 是概率质量功能。

Then, [eq15]

证明

我们利用了边缘的事实 概率质量功能 Y needs to satisfy[eq16]使用 此属性与财产1一起在主张中，我们 obtain[eq17]这 最后的平等是对任何固定的事实的结果 $ y $, [eq18], 被认为是一个职能 x, 是概率质量功能和概率质量功能的总和 its support equals 1. Thus,[eq19]自从 we also have that[eq20]然后， 必要，它必须是 that[eq21]

因此，猜测和验证过程如下工作。首先，我们表达了 关节概率质量函数作为两个因素的产物（这是 “猜测”部分）。然后，我们验证：

  1. 一个因素（一个功能 x and $ y $) 是概率质量功能 x for all values of $ y $;

  2. 另一个因素（一种功能 $ y $) does not depend on x.

例子 Let X be a $ 3 $ 1 $ 随机矢量有一个 多项分布 with parameters $ p_ {1} $, $ p_ {2} $ and $ p_ {3} $ （每次试验的三种可能结果的概率）和 n （试验的数量）。概率是严格的正数 that[eq22]这 support r_x. of X is[eq23]这 联合概率质量功能 [eq24] is[eq25]笔记 that[eq26]所以， 联合概率质量功能可以是分解的 as[eq27]在哪里[eq28]和[eq29]但， for any $ x_ {3} LEQ N $, [eq30] 是具有参数的多项分布的概率质量功能 $ p_ {1} / p_ {3} $, $ p_ {2} / p_ {3} $ and $ n-x_ {3} $. Therefore,[eq31]

如何引用

请引用：

Taboga, Marco (2017). "共同概率质量功能的分解", Lectures on probability theory and mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/fundamentals-of-probability/factorization-of-joint-probability-mass-functions.

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