让
成为 随机变量 具有已知的分布。让
另一个随机变量
是...的功能
:
哪里
.
我们如何得出
从分布
?
这个问题没有普遍的答案。但是,有几个
在特殊情况下很容易得出
.
我们在下面讨论这些情况。
当功能
严格增加
支持 的
(即
),
然后
接受在的支持下定义的逆
,
即功能
这样
那
此外
本身严格增加。
随机增加严格分布函数的分布函数 变量可以如下计算。
命题(分配增加
功能)
让
在支持下成为随机变量
和 分配功能
.
让
严格增加
.
然后,在
是
和
的分布函数
是
当然支持
由...决定
和所有的价值观
可以采取。的分布函数
可以得出如下:
如果
低于最低值
可以承担,然后
,
所以
如果
属于
,
然后
可以得出如下:
如果
高于最高值
可以承担,然后
,
所以
因此,在功能增加的情况下,
以及支撑的上下限
是我们推导的分布函数的全部
从...的分布函数
.
例
让
在支持下成为随机变量
和分配
功能
让
的
功能
严格增加,它承认对
:
的
支持
是
.
的分布函数
是
在这种情况下
是离散的还是连续的,有专门的公式
概率质量和概率密度函数,在下面报告。
什么时候
是一个 离散随机
变量,
概率质量
功能 的
可以如下计算。
这个命题是
严格增加功能的事实是
可逆的:
例
让
是具有支持的离散随机变量
和
概率质量函数
让
的
支持
是
的
功能
严格地增加和它的倒数
是
的
的概率质量函数
是
什么时候
是一个 连续
随机变量 和
是可区分的,然后
是连续的,其
概率密度
功能 可以很容易地计算如下。
这个命题是
事实 密度函数是第一个
分布函数的导数:可以通过
区分分布函数的表达式
在上面找到。
例
让
是一个连续的随机变量
支持
和
概率密度
功能
让
的
支持
是
的
功能
严格地增加和它的倒数
是
与
衍生物
的
的概率密度函数
是
当功能
严格减少了
(即
),
然后
接受在的支持下定义的逆
,
即功能
这样
那
此外
本身严格减少。
随机的严格递减函数的分布函数 变量可以如下计算。
命题(递减分布
功能)
让
在支持下成为随机变量
和分配功能
.
让
严格减少对
.
然后,在
是
和
的分布函数
是
当然支持
由...决定
和所有的价值观
可以采取。的分布函数
可以得出如下:
如果
低于最低值
可以承担,然后
,
所以
如果
属于
,
然后
可以得出如下:
如果
高于最高值
可以承担,然后
,
所以
因此,在函数递减的情况下,
以及支撑的上下限
是我们推导的分布函数的全部
从...的分布函数
.
例
让
在支持下成为随机变量
和分配
功能
让
的
功能
严格减少,并承认对
:
的
支持
是
.
的分布函数
是
哪里
等于
什么时候
和
否则(因为
总是零,除非当
和
)。
我们在下面报告特殊情况下的公式:
是离散的或连续的。
什么时候
是离散随机变量,概率质量函数为
可以如下计算。
这个命题的证明是相同的
证明严格增加功能的命题。事实上,
唯一重要的属性是严格递减的函数是
可逆的:
例
让
是具有支持的离散随机变量
和
概率质量函数
让
的
支持
是
的
功能
严格地减少和它的逆
是
的
的概率质量函数
是
什么时候
是连续随机变量,并且
是可区分的,然后
是连续的,其概率密度函数推导如下。
这个主张很容易得出:1)
记住 的概率
连续随机变量取任何特定值 是
结果,
对于任何
;
2)利用密度函数是一阶导数的事实
分配功能; 3)区分分布的表达式
功能
在上面找到。
例
让
成为 统一随机变量 在间隔
,
即,具有
支持
和
概率密度
功能
让
哪里
是一个常数。的支持
是
哪里
我们可以放心地忽略以下事实
,
因为
是一个 零概率事件 (看到
连续随机变量和
零概率事件)。功能
严格地减少和它的逆
是
与
衍生物
的
的概率密度函数
是
因此,
具有参数的指数分布
(请参阅标题为“ 指数的
分配)。
在其中功能
既不严格增加也不严格减少
前面关于离散和连续随机变量的部分仍然
适用,已提供
是一对一的,因此是可逆的。我们在下面报告这些公式。
什么时候
是离散随机变量,概率质量函数为
由以下给出。
这个命题的证明是相同的
对命题证明的严格增加和严格
发现功能下降
以上:
什么时候
是连续随机变量,并且
是可区分的,然后
是连续的,其概率密度函数由下式给出
主张。
有关此主张的证明,请参见: Poirier,D.J.(1995) 中级统计和 计量经济学:一种比较方法麻省理工学院 按。
您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。
让
是一个连续的随机变量
支持
和
概率密度
功能
让
找
的概率密度函数
.
的支持
是
的
功能
严格地增加和它的倒数
是
与
衍生物
的
的概率密度函数
是
让
是一个连续的随机变量
支持
和
概率密度
功能
让
找
的概率密度函数
.
的支持
是
的
功能
严格地减少和它的逆
是
与
衍生物
的
的概率密度函数
是
让
是一个离散的随机变量
支持
和
概率质量
功能
让
找
的概率质量函数
.
的支持
是
的
功能
严格地增加和它的倒数
是
的
的概率质量函数
是
请引用为:
Taboga, Marco (2017). "随机变量的功能及其分布", 列克特ures on 可能性 theory 和 mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/fundamentals-of-probability/functions-of-random-variables-and-their-distribution.