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随机变量的功能及其分布

通过 博士

X 成为 随机变量 具有已知的分布。让 另一个随机变量 Y 是...的功能 X:[eq1]哪里 [eq2]. 我们如何得出 Y 从分布 X?

这个问题没有普遍的答案。但是,有几个 在特殊情况下很容易得出 Y. 我们在下面讨论这些情况。

目录

严格增加功能

当功能 $ g $ 严格增加 支持X (即 [eq3]), 然后 $ g $ 接受在的支持下定义的逆 Y, 即功能 [eq4] 这样 那[eq5]此外 [eq6] 本身严格增加。

随机增加严格分布函数的分布函数 变量可以如下计算。

命题(分配增加 功能)X 在支持下成为随机变量 R_X 分配功能 [eq7]. 让 [eq2] 严格增加 X. 然后,在 [eq9][eq10]和 的分布函数 Y[eq11]

证明

当然支持 $ R_ {Y} $ 由...决定 克(x) 和所有的价值观 X 可以采取。的分布函数 Y 可以得出如下:

  1. 如果 $ y $ 低于最低值 Y 可以承担,然后 [eq12], 所以[eq13]

  2. 如果 $ y $ 属于 Y, 然后 [eq14] 可以得出如下: [eq15]

  3. 如果 $ y $ 高于最高值 Y 可以承担,然后 [eq16], 所以[eq17]

因此,在功能增加的情况下, $ g ^ {-1} $ 以及支撑的上下限 Y 是我们推导的分布函数的全部 Y 从...的分布函数 X.

X 在支持下成为随机变量 [eq18] 和分配 功能[eq19][eq20]的 功能 [eq21] 严格增加,它承认对 X:[eq22]的 支持 Y[eq23]. 的分布函数 Y[eq24]

在这种情况下 X 是离散的还是连续的,有专门的公式 概率质量和概率密度函数,在下面报告。

离散随机变量的严格递增函数

什么时候 X 是一个 离散随机 变量 概率质量 功能[eq25] 可以如下计算。

命题(概率质量不断增加 功能) X 是具有支持的离散随机变量 R_X 和概率质量函数 [eq26]. 让 [eq2] 严格增加 X. 然后,在 [eq9][eq10]和 它的概率质量函数 是[eq30]

证明

这个命题是 严格增加功能的事实是 可逆的:[eq31]

X 是具有支持的离散随机变量 [eq32]和 概率质量函数 [eq33][eq34]的 支持 Y[eq35]的 功能 $ g $ 严格地增加和它的倒数 是[eq36]的 的概率质量函数 Y[eq37]

严格增加连续的功能 random 变量

什么时候 X 是一个 连续 随机变量$ g $ 是可区分的,然后 Y 是连续的,其 概率密度 功能 可以很容易地计算如下。

命题(密度不断增加 功能) X 在支持下成为连续随机变量 R_X 和概率密度函数 [eq38]. 让 [eq2] 在...的支持下严格增加和区分 X. 然后,在 [eq40][eq10]和 其概率密度函数 是[eq42]

证明

这个命题是 事实 密度函数是第一个 分布函数的导数:可以通过 区分分布函数的表达式 [eq43] 在上面找到。

X 是一个连续的随机变量 支持[eq44]和 概率密度 功能[eq45][eq46]的 支持 Y[eq47]的 功能 $ g $ 严格地增加和它的倒数 是[eq48]与 衍生物[eq49]的 的概率密度函数 Y[eq50]

严格降低功能

当功能 $ g $ 严格减少了 X (即 [eq51]), 然后 $ g $ 接受在的支持下定义的逆 Y, 即功能 [eq4] 这样 那[eq5]此外 [eq6] 本身严格减少。

随机的严格递减函数的分布函数 变量可以如下计算。

命题(递减分布 功能)X 在支持下成为随机变量 R_X 和分配功能 [eq55]. 让 [eq2] 严格减少对 X. 然后,在 [eq9][eq10]和 的分布函数 Y[eq59]

证明

当然支持 $ R_ {Y} $ 由...决定 克(x) 和所有的价值观 X 可以采取。的分布函数 $ y $ 可以得出如下:

  1. 如果 $ y $ 低于最低值 Y 可以承担,然后 [eq60], 所以[eq13]

  2. 如果 $ y $ 属于 Y, 然后 [eq14] 可以得出如下: [eq63]

  3. 如果 $ y $ 高于最高值 Y 可以承担,然后 [eq16], 所以[eq17]

因此,在函数递减的情况下, $ g ^ {-1} $ 以及支撑的上下限 Y 是我们推导的分布函数的全部 Y 从...的分布函数 X.

X 在支持下成为随机变量 [eq18] 和分配 功能[eq19][eq68]的 功能 [eq69] 严格减少,并承认对 X:[eq70]的 支持 Y[eq71]. 的分布函数 Y[eq72]哪里 [eq73] 等于 1 什么时候 $y=-1$0 否则(因为 [eq74] 总是零,除非当 $y=-1$[eq75])。

我们在下面报告特殊情况下的公式: X 是离散的或连续的。

离散随机变量的严格递减函数

什么时候 X 是离散随机变量,概率质量函数为 [eq76] 可以如下计算。

命题(概率质量递减 功能) X 是具有支持的离散随机变量 R_X 和概率质量函数 [eq77]. 让 [eq2] 严格减少对 X. 然后,在 [eq9][eq10]和 它的概率质量函数 是[eq30]

证明

这个命题的证明是相同的 证明严格增加功能的命题。事实上, 唯一重要的属性是严格递减的函数是 可逆的:[eq31]

X 是具有支持的离散随机变量 [eq32]和 概率质量函数 [eq84][eq85]的 支持 Y[eq86]的 功能 $ g $ 严格地减少和它的逆 是[eq87]的 的概率质量函数 Y[eq88]

连续函数的严格递减函数 random 变量

什么时候 X 是连续随机变量,并且 $ g $ 是可区分的,然后 Y 是连续的,其概率密度函数推导如下。

命题(密度递减 功能) X 在支持下成为连续随机变量 R_X 和概率密度函数 [eq89]. 让 [eq2] 在以下方面的支持下严格减少和区分 X. 然后,在 [eq40][eq10]和 其概率密度函数 是[eq93]

证明

这个主张很容易得出:1) 记住 的概率 连续随机变量取任何特定值0 结果, [eq94] 对于任何 $ y $; 2)利用密度函数是一阶导数的事实 分配功能; 3)区分分布的表达式 功能 [eq43] 在上面找到。

X 成为 统一随机变量 在间隔 $left[ 0,1
ight] $, 即,具有 支持[eq96]和 概率密度 功能[eq97][eq98]哪里 [eq99] 是一个常数。的支持 Y[eq100]哪里 我们可以放心地忽略以下事实 [eq101], 因为 [eq102] 是一个 零概率事件 (看到 连续随机变量和 零概率事件)。功能 $ g $ 严格地减少和它的逆 是[eq103]与 衍生物[eq104]的 的概率密度函数 Y[eq105]因此, Y 具有参数的指数分布 $ lambda $ (请参阅标题为“ 指数的 分配)。

可逆功能

在其中功能 克(x) 既不严格增加也不严格减少 前面关于离散和连续随机变量的部分仍然 适用,已提供 克(x) 是一对一的,因此是可逆的。我们在下面报告这些公式。

离散随机变量的一对一函数

什么时候 X 是离散随机变量,概率质量函数为 [eq106] 由以下给出。

命题(一对一的概率质量 功能) X 是具有支持的离散随机变量 R_X 和概率质量函数 [eq107]. 让 [eq2] 在…的支持下一对一 X. 然后,在 [eq109][eq10]和 它的概率质量函数 是[eq30]

证明

这个命题的证明是相同的 对命题证明的严格增加和严格 发现功能下降 以上:[eq31]

连续随机变量的一对一函数

什么时候 X 是连续随机变量,并且 $ g $ 是可区分的,然后 Y 是连续的,其概率密度函数由下式给出 主张。

主张(一对一的密度 功能) X 在支持下成为连续随机变量 R_X 和概率密度函数 [eq113]. 让 [eq2] 在一对一的支持下与众不同 X. 然后,在 [eq40][eq10]如果[eq117]然后 的概率密度函数 Y[eq118]

证明

有关此主张的证明,请参见: Poirier,D.J.(1995) 中级统计和 计量经济学:一种比较方法麻省理工学院 按。

解决的练习

您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。

练习1

X 是一个连续的随机变量 支持[eq119]和 概率密度 功能[eq120][eq121]找 的概率密度函数 Y.

的支持 Y[eq122]的 功能 $ g $ 严格地增加和它的倒数 是[eq123]与 衍生物[eq124]的 的概率密度函数 Y[eq125]

练习2

X 是一个连续的随机变量 支持[eq126]和 概率密度 功能[eq127][eq128]找 的概率密度函数 Y.

的支持 Y[eq129]的 功能 $ g $ 严格地减少和它的逆 是[eq130]与 衍生物[eq131]的 的概率密度函数 Y[eq132]

练习3

X 是一个离散的随机变量 支持[eq133]和 概率质量 功能[eq134][eq135]找 的概率质量函数 Y.

的支持 Y[eq136]的 功能 $ g $ 严格地增加和它的倒数 是[eq137]的 的概率质量函数 Y[eq138]

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "随机变量的功能及其分布", 列克特ures on 可能性 theory 和 mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/fundamentals-of-probability/functions-of-random-variables-and-their-distribution.

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