随机变量的功能及其分布

通过 马可·塔波加（Marco Taboga）博士

让 成为 随机变量 具有已知的分布。让 另一个随机变量 是...的功能 :哪里 . 我们如何得出 从分布 ?

这个问题没有普遍的答案。但是，有几个 在特殊情况下很容易得出 . 我们在下面讨论这些情况。

严格增加功能

当功能 严格增加 支持 的 （即 ）， 然后 接受在的支持下定义的逆 , 即功能 这样 那此外 本身严格增加。

随机增加严格分布函数的分布函数 变量可以如下计算。

因此，在功能增加的情况下， 以及支撑的上下限 是我们推导的分布函数的全部 从...的分布函数 .

在这种情况下 是离散的还是连续的，有专门的公式 概率质量和概率密度函数，在下面报告。

离散随机变量的严格递增函数

什么时候 是一个 离散随机 变量， 概率质量 功能 的 可以如下计算。

严格增加连续的功能 random 变量

什么时候 是一个 连续 随机变量 和 是可区分的，然后 是连续的，其 概率密度 功能 可以很容易地计算如下。

严格降低功能

当功能 严格减少了 （即 ）， 然后 接受在的支持下定义的逆 , 即功能 这样 那此外 本身严格减少。

随机的严格递减函数的分布函数 变量可以如下计算。

因此，在函数递减的情况下， 以及支撑的上下限 是我们推导的分布函数的全部 从...的分布函数 .

我们在下面报告特殊情况下的公式： 是离散的或连续的。

离散随机变量的严格递减函数

什么时候 是离散随机变量，概率质量函数为 可以如下计算。

连续函数的严格递减函数 random 变量

什么时候 是连续随机变量，并且 是可区分的，然后 是连续的，其概率密度函数推导如下。

可逆功能

在其中功能 既不严格增加也不严格减少 前面关于离散和连续随机变量的部分仍然 适用，已提供 是一对一的，因此是可逆的。我们在下面报告这些公式。

离散随机变量的一对一函数

什么时候 是离散随机变量，概率质量函数为 由以下给出。

连续随机变量的一对一函数

什么时候 是连续随机变量，并且 是可区分的，然后 是连续的，其概率密度函数由下式给出 主张。

解决的练习

您可以在下面找到一些练习，其中包含已说明的解决方案。

练习1

让 是一个连续的随机变量 支持和 概率密度 功能让 找 的概率密度函数 .

练习2

让 是一个连续的随机变量 支持和 概率密度 功能让 找 的概率密度函数 .

练习3

让 是一个离散的随机变量 支持和 概率质量 功能让 找 的概率质量函数 .

如何引用

请引用为：

Taboga, Marco (2017). "随机变量的功能及其分布", 列克特ures on 可能性 theory 和 mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/fundamentals-of-probability/functions-of-random-variables-and-their-distribution.