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真人在线斗地主向量的功能及其分布

通过 博士

X 成为 Kx1 真人在线斗地主向量 具有已知的分布。让一个  $酸橙1 $ 真人在线斗地主向量 Y 是...的功能 X:[eq1] 哪里 [eq2]. 我们如何得出 Y 从分布 X?

尽管此问题尚无一般性答案,但仍有一些特殊之处 分布情况 Y 可以很容易地从 X. 我们在下面讨论这些情况。

目录

一对一功能

在其中功能  克(x) 是一对一的(因此可逆),真人在线斗地主向量 X 可以是离散的也可以是连续的,对于 的分布 Y. 我们在下面报告这些公式。

离散真人在线斗地主向量的一对一函数

什么时候 X 是一个 离散真人在线斗地主 向量 联合 概率质量函数[eq3] 由以下命题给出。

命题(一对一的概率质量 功能) X 成为 Kx1 带支持的离散真人在线斗地主向量  R_X 和联合概率质量函数 [eq4]. 让 [eq5] 在…的支持下一对一 X. 然后,在 [eq6][eq7] 和 它的概率质量函数 是 [eq8]

证明

如果  $ yin R_ {Y} $ , 然后 [eq9] 如果 $y
otin R_{Y}$, 然后琐碎地 [eq10].

X 成为  $ 2imes 1 $ 离散真人在线斗地主向量,并通过 X_1X_2. 让支持 X[eq11] 和 它的联合概率质量函数 是 [eq12][eq13] 的 支持 Y[eq14] 的 反函数 是 [eq15] 的 的联合概率质量函数 Y[eq16]

连续真人在线斗地主向量的一对一函数

什么时候 X 是一个 连续 真人在线斗地主向量  $ g $ 是可区分的,然后 Y 是连续的,其 联合概率 密度函数 由以下命题给出。

主张(一对一的密度 功能) X 成为 Kx1 带支持的连续真人在线斗地主向量  R_X 和联合概率密度函数 [eq17]. 让 [eq5] 在一对一的支持下与众不同 X. 表示为 [eq19] 的雅可比矩阵 [eq20], 即 [eq21] 哪里  $ y_ {i} $ 是个 i -th 的组成部分  $ y $  $ x_ {i} $ 是个 i -th 的组成部分 [eq22]. 然后,在 [eq23][eq7] 如果 雅可比矩阵的行列式 满足 [eq25] 然后 的联合概率密度函数 Y[eq26]

证明

参见:Poirier,D.J.(1995) 中级统计和计量经济学:比较 方法 ,麻省理工学院出版社。

上述命题的一个特殊情况是当函数  $ g $ 是线性的一对一映射。

主张 X 成为 Kx1 具有联合概率密度的连续真人在线斗地主向量 [eq27]. 让 Y 成为 Kx1 真人在线斗地主向量 那 [eq28] 哪里  亩 是一个常数 Kx1 向量和  西格玛 是一个常数  $ Kimes K $ 可逆矩阵。然后, Y 是一个连续的真人在线斗地主向量,其概率密度函数 [eq29] 满足 [eq30] 哪里 [eq31] 是...的决定因素  西格玛 .

证明

在这种情况下,反函数 是 [eq32] 的 雅可比矩阵 是 [eq33] 什么时候  $ yin R_ {Y} $ 的关节密度 Y[eq34]

X 成为  $ 2imes 1 $ 与真人在线斗地主向量 支持 [eq35] 和 联合概率密度 功能 [eq36] 哪里  $ x_ {1} $  $ x_ {2} $ 是...的两个组成部分 x. 定义一个  $ 2imes 1 $ 真人在线斗地主向量 [eq37] 与组件  $ Y_ {1} $  $ Y_ {2} $ 如 如下: [eq38] 的 反函数 [eq20] 被定义为 通过 [eq40] 的 的雅可比矩阵 [eq20][eq42] 它的 行列式 是 [eq43] 的 支持  $ Y_ {1} $ [eq44] 的 支持  $ Y_ {2} $ [eq45] 和 的支持 Y[eq46] 对于  $ yin R_ {Y} $ , 的联合概率密度函数 Y[eq47] 而 对于 $y
otin R_{Y}$, 联合概率密度函数为 [eq48].

独立款项

当组成 X 是独立的 和 [eq49] 然后 的分布 [eq50] 可以使用讲座中说明的卷积公式导出 有资格 独立真人在线斗地主变量之和.

已知力矩产生功能

关节力矩产生功能[eq50], 只要存在就可以计算 如 [eq52] 使用 的 转型 定理 。 如果 [eq53] 被认为是已知分布的联合力矩产生函数, 那么这样的分布就是 Y (当且仅当两个真人在线斗地主向量具有 相同的关节力矩生成函数(前提是后者存在)。

已知特征函数

联合特征 功能 [eq50] 可以计算 如 [eq55] 使用 变换定理。如果 [eq56] 被认为是已知分布的联合特征函数, 那么这样的分布就是 Y (当且仅当两个真人在线斗地主向量具有 相同的关节特征函数)。

解决的练习

您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。

练习1

X_1 成为 统一真人在线斗地主变量 与 支持 [eq57] 和 概率密度 功能 [eq58]X_2 是一个连续的真人在线斗地主变量,独立于 X_1, 与 支持 [eq59] 和 概率密度 功能 [eq60][eq61] 找 真人在线斗地主向量的联合概率密度函数 [eq62]

以来 X_1X_2 是独立的,它们的联合概率密度函数等于 边际密度的乘积 职能: [eq63] 的 支持  $ Y_ {1} $ [eq64] 和 的支持  $ Y_ {2} $ [eq65] 的 支持 Y[eq66] 的 功能 [eq67] 是一对一的 [eq68] 被定义为 通过 [eq69] 与 雅可比 矩阵 [eq70] 的 雅可比矩阵的行列式 是 [eq71] 哪一个 不同于零  $ y $ 属于  $ R_ {Y} $ . 联合概率密度函数的公式 Y[eq72][eq73] 哪一个 暗示 [eq74]

练习2

X 成为  $ 2imes 1 $ 与真人在线斗地主向量 支持 [eq75] 和 联合概率密度 功能 [eq76] 哪里  $ x_ {1} $  $ x_ {2} $ 是...的两个组成部分 x. 定义一个  $ 2imes 1 $ 真人在线斗地主向量 [eq50] 与组件  $ Y_ {1} $  $ Y_ {2} $ 如 如下: [eq78] 找 真人在线斗地主向量的联合概率密度函数 Y.

反函数 [eq20] 被定义为 通过 [eq80] 的 的雅可比矩阵 [eq20][eq82] 它的 行列式 是 [eq83] 的 支持  $ Y_ {1} $ [eq84] 的 支持  $ Y_ {2} $ [eq85] 的 支持 Y[eq86] 对于  $ yin R_ {Y} $ , 的联合概率密度函数 Y[eq87] 而 对于 $y
otin R_{Y}$, 联合概率密度函数为 [eq88].

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "真人在线斗地主向量的功能及其分布", 列克特 ures on 可能性 的 ory 和 mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/fundamentals-of-probability/functions-of-random-vectors.

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