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独立活动

通过 博士

大事记 EF 是 如果发生的话说是独立的 E 使得它或多或少的可能性 F 发生,反之,如果发生 F 使得它或多或少的可能性 E 发生。

换句话说,收到信息后 E 将会发生,我们修改对以下可能性的评估: F 将会发生,计算 条件真人在线斗地主F 给定 E; 如果 FE 是独立的事件, F 保持与收到之前相同 信息:[eq1]反过来,[eq2]

目录

定义

在标准真人在线斗地主论中,而不是通过 在上面的属性(1)和(2)中,我们以更紧凑的方式定义它,如下所示。

定义 两件事 EF 据说是 独立事件 当且仅 如果[eq3]

容易证明该定义暗含了属性(1)和(2) 以上。

证明

假设 EF 是独立的并且(说) [eq4]. 然后,[eq5]注意 我们假设 [eq6]. 什么时候 [eq7], 事情变得更加复杂(请参阅“ 讲座 有条件的 可能性 以及其中的参考文献)。正是因为 定义中出现的困难 [eq8] 什么时候 [eq9] 不能通过使用属性给出独立性的一般定义(1) 和(2)。

以下示例显示了如何检查两个事件是否独立 一个简单的真人在线斗地主实验。

一个包含四个球 $ B_ {1} $, $ B_ {2} $, $ B_ {3} $$ B_ {4} $. 我们随机抽取其中之一。的 样本空间[eq10]每 四个球中的一个具有相同的被抽出真人在线斗地主,等于 $ frac {1} {4} $, 即[eq11]定义 事件 EF 如 如下:[eq12]其 各自的真人在线斗地主 是[eq13]的 事件发生的可能性 $ Ecap F〜$[eq14]因此,[eq15]如 结果, EF 是独立事件。

相互独立的事件

独立性的定义也可以扩展到更多 超过两个事件。

定义 $ E_ {1} $, ..., $ E_ {n} $n 事件。 $ E_ {1} $, ..., $ E_ {n} $共同独立 (或相互独立) 如果是...的任何子集合 k 大事记 ($ kleq n $) $ E_ {i_ {1}} $, ..., $ E_ {i_ {k}} $:[eq16]

$ E_ {1} $, ..., $ E_ {n} $ 成为 n 事件。重要的是要注意,即使所有可能的夫妇 事件是独立的(即 $ E_ {i} $ 独立于 $ E_ {j} $ 对于任何 $j
eq i$), 这并不意味着事件 $ E_ {1} $, ..., $ E_ {n} $ 是 共同独立。一个简单的反例就证明了这一点。

考虑上一个示例中提供的实验(提取一个球) 来自包含四个球的)。定义事件 E, F$ G $ 如 如下:[eq17]它 立即显示 那[eq18]从而, 集合中所有可能的事件 E, F, $ G $ 是独立的。但是,这三个事件不是共同独立的。在 事实,[eq19]

相反,如果 $ E_ {1} $, ..., $ E_ {n} $ 是共同独立的 $ E_ {i} $ 独立于 $ E_ {j} $ 对于任何 $j
eq i$.

零真人在线斗地主事件和独立性

如果 E 是一个 零真人在线斗地主事件, 然后 E 独立于任何其他事件 F.

证明

注意 那[eq20]如 结果, 的单调性 可能性,[eq21][eq9], 所以 [eq23]. 由于真人在线斗地主不能为负,因此必须为 [eq24]. 后一个事实暗示 独立:[eq25]

解决的练习

您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。

练习1

假设我们掷骰子。六个数字(来自 1$6)$ 可以面朝上出现,但我们尚不知道会出现哪一个。的 样本空间 是[eq26]每 六个数字中的一个是样本点,并被分配了真人在线斗地主 $ frac {1} {6} $. 定义事件 EF 如 如下:[eq27]证明 那 EF 是独立事件。

的真人在线斗地主 E[eq28]的 的可能性 F[eq29]的 的可能性 $ Ecap F $[eq30]EF 是独立的事件 因为[eq31]

练习2

一家公司承担两个项目, A$ B $. 取得成功的可能性是 $ frac {3} {4} $ 用于项目 A$ frac {1} {2} $ 用于项目 $ B $. 两个项目都将取得成功的可能性是 $ frac {7} {16} $. 两种结果是否独立?

表示为 E 事件“项目 A 成功”,由 F 事件“项目 $ B $ 成功”和 $ G $ 活动“两个项目都成功”。事件 $ G $ 可以表达 如 [eq32]如果 EF 是独立的,必须 那[eq33]因此, 这两个结果不是独立的。

练习3

一家公司承担两个项目, A$ B $. 取得成功的可能性是 $ frac {2} {3} $ 用于项目 A$ frac {4} {5} $ 用于项目 $ B $. 这两个项目都没有一个机会 成功的结果是否独立?

表示为 E 事件“项目 A 成功”,由 F 事件“项目 $ B $ 成功”和 $ G $ 事件“两个项目均未成功”。事件 $ G $ 可以表达 如:[eq34]哪里 $ E ^ {c} $$ F ^ {c} $ 是...的补充 EF. 使用德摩根定律 ([eq35]) 以及补数的真人在线斗地主公式, 获得[eq36]通过 使用结合真人在线斗地主的公式,我们 获得[eq37]最后, 以来 EF 是独立的,我们有 那[eq38]

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "独立活动", 列克特ures on 可能性 theory 和 mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/fundamentals-of-probability/independent-events.

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