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独立随机变量

通过 马可·塔波加(Marco Taboga)博士

如果两个随机变量没有传达有关每个变量的信息,则它们是独立的 其他,因此,接收有关两者之一的信息 不会改变我们对另一个概率分布的评估。

本讲座提供了对独立性的正式定义,并讨论了如何 验证两个或多个随机变量是否独立。

目录

定义

回想一下(请参阅标题为“ 独立 大事记)那两个事件 A$ B $ 是独立的,当且仅当 如果[eq1]

该定义如下扩展到随机变量。

定义 两个随机变量 XY 据说是 独立 当且仅 如果[eq2]对于 任何事件 [eq3][eq4], 哪里 $ Asubseteq $ R$ Bsubseteq $ R.

换句话说,当且仅当事件发生时,两个随机变量才是独立的 与那些随机变量有关的是独立事件。

两个随机变量之间的独立性也称为统计 独立。

独立标准

检查与两个事件有关的所有可能事件的独立性 随机变量可能非常困难。这就是上面的原因 很少使用定义来验证是否有两个随机变量 独立。代替使用以下标准。

主张 两个随机变量 XY 是独立的,当且仅当 如果[eq5]哪里 [eq6] 是他们的 联合 分配功能[eq7][eq8] 是他们的 边缘 分配功能/.

证明

通过使用测度理论中的一些事实(不是 在这里证明),有可能证明,在检查 健康)状况[eq9]它 足以将注意力集中在集合上 A$ B $ 以 形成[eq10]从而, 当且仅当两个随机变量是独立的 如果[eq11]使用 联合和边际分布函数的定义,这种情况 可以写 如 [eq12]

XY 是具有边际分布的两个随机变量 职能[eq13]和 联合分配 功能[eq14]XY 是独立的,当且仅当 [eq15]哪一个 很容易验证。什么时候 $x<0$ 要么 $y<0$, 然后 [eq16] 什么时候 $ xgeq 0 $$ ygeq 0 $, 然后:[eq17]

离散随机变量之间的独立性

当两个变量加在一起形成一个 离散随机向量, 也可以使用以下命题来验证独立性:

主张 两个随机变量 XY, 形成离散的随机向量,当且仅当是独立的 如果[eq18]哪里 [eq19] 是他们的 联合 概率质量函数[eq20][eq21] 是他们的 边缘 概率质量函数.

以下示例说明了如何使用此标准。

[eq22] 是具有支持的离散随机向量 [eq23]让 它的联合概率质量函数 是[eq24]在 为了验证是否 XY 是独立的,我们首先需要推导边际概率质量 的功能 XY. 的支持 X[eq25]和 的支持 Y[eq26]我们 需要计算支持的每个元素的概率 X:[eq27]从而, 的概率质量函数 X[eq28]我们 需要计算支持的每个元素的概率 Y:[eq29]从而, 的概率质量函数 Y[eq30]的 边际概率质量函数的乘积 是[eq31]哪一个 明显不同于 [eq32]. 因此, XY 不是独立的

连续随机变量之间的独立性

当两个变量加在一起形成一个 连续随机 向量,也可以通过以下方式验证独立性 主张。

主张 两个随机变量 XY, 形成一个连续的随机向量,当且仅当是独立的 如果[eq33]哪里 [eq34] 是他们的 联合 概率密度函数[eq35][eq36] 是他们的 边缘 概率密度函数.

以下示例说明了如何使用此标准。

让联合概率密度函数为 XY[eq37]它的 边际 是[eq38][eq39]验证中 那 [eq40] 很简单。什么时候 [eq41] 要么 [eq42], 然后 [eq43]. 什么时候 [eq44][eq45], 然后[eq46]

更多细节

以下小节包含有关统计独立性的更多详细信息。

相互独立的随机变量

相互独立的随机变量的定义扩展了定义 相互独立的事件对随机变量的影响。

定义 我们说 n 随机变量 X_1, ..., X_n相互独立 (或共同独立) 如果 [eq47]对于 的任何子集合 k 随机变量 $ X_ {i_ {1}} $, ..., $ X_ {i_ {k}} $ (哪里 $ kleq n $) 以及任何事件的集合 [eq48], 哪里 [eq49].

换一种说法, n 如果与事件相关的随机变量相互独立 随机变量是 相互独立 大事记.

表示为 X 一个随机向量,其成分为 X_1, ..., X_n. 上述相互独立的条件可以替代:

  1. 一般而言,受一个条件的联合分布函数 X:[eq50]

  2. 对于离散随机变量,取决于联合概率质量的条件 的功能 X:[eq51]

  3. 对于连续随机变量,取决于联合概率的条件 的密度函数 X:[eq52]

通过期望相互独立

可以证明 n 随机变量 X_1, ..., X_n 相互独立,当且仅当 如果[eq53]对于 任何 n 职能 $ g_ {1} $, ..., $ g_ {n} $ 因此,上述期望值存在且定义明确。

独立性和零协方差

如果两个随机变量 X_1X_2 是独立的,那么他们 协方差 是 零:[eq54]

证明

这是事实的直接后果 如果 X_1X_2 是独立的 然后[eq55](看到 的 通过期望相互独立 属性 以上)。什么时候 $ g_ {1} $$ g_ {2} $ 是身份功能 ([eq56][eq57]), 然后[eq58]因此, 由 协方差 式:[eq59]

反之则不成立:两个具有零协方差的随机变量是 不一定独立。

独立随机向量

上述概念很容易概括为以下情况: XY 是两个随机向量,具有维度 $ K_ {X} imes $ 1$ K_ {Y} imes $ 1 分别。表示他们的联合分配功能 [eq60][eq61] 和联合分布函数 XY 一起 [eq62]也, 如果两个向量是离散的或连续的,则替换 Fp 要么 $ f $ 表示相应的概率质量或密度函数。

定义 两个随机向量 XY 当且仅当以下等效条件之一为 满意:

  1. 健康)状况 1:[eq9]对于 任何事件 [eq3][eq4], 哪里 $ Asubseteq $ $ U {211d} ^ {K_ {X}} $$ Bsubseteq $ $ U {211d} ^ {K_ {Y}} $:

  2. 健康)状况 2:[eq66]对于 任何 [eq67]$ yin $ $ U {211d} ^ {K_ {Y}} $ (更换 Fp 要么 $ f $ 当分布分别是离散或连续时)

  3. 健康)状况 3:[eq68]对于 任何功能 $ g_ {1}:$ [eq69] R$ g_ {2}:$ [eq70] R 因此,上述期望值存在且定义明确。

相互独立的随机向量

相互独立的定义也以直接的方式扩展 随机向量。

定义 我们说 n 随机向量 X_1, ..., X_n相互独立 (或共同独立) 如果[eq71]对于 的任何子集合 k 随机向量 $ X_ {i_ {1}} $, ..., $ X_ {i_ {k}} $ (哪里 $ kleq n $) 以及任何事件的集合 [eq72].

所有等价条件为一组联合的联合独立性 变量(见上文)也经过明显修改后也适用于随机向量。

解决的练习

您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。

练习1

考虑两个随机变量 XY 有边际分布 职能[eq73]如果 XY 是独立的,它们的联合分配功能是什么?

对于 XY 为了独立,它们的联合分配函数必须等于 边际分布的乘积 职能:[eq74]

练习2

[eq75] 是具有的离散随机向量 支持:[eq76]让 它的联合概率质量函数 是[eq77]XY 独立?

为了验证是否 XY 是独立的,我们首先需要推导边际概率质量 的功能 XY. 的支持 X[eq78]和 的支持 Y[eq79]我们 需要计算支持的每个元素的概率 X:[eq80]从而, 的概率质量函数 X[eq81]我们 需要计算支持的每个元素的概率 Y:[eq82]从而, 的概率质量函数 Y[eq83]的 边际概率质量函数的乘积 是[eq84]哪一个 等于 [eq32]. 因此, XY 是独立的。

练习3

[eq86] 是具有支持的连续随机向量 [eq87]和 它的联合概率密度函数 是[eq88]XY 独立?

的支持 Y[eq89]什么时候 [eq90], 的边际概率密度函数 Y0, 当......的时候 [eq91], 的边际概率密度函数 Y[eq92]从而, 总结一下,边际概率密度函数 Y[eq93]的 支持 X[eq94]什么时候 [eq95], 的边际概率密度函数 X0, 当......的时候 [eq96], 的边际概率密度函数 X[eq97]从而, 的边际概率密度函数 X[eq98]验证中 那 [eq40] 很简单。什么时候 [eq95] 要么 [eq101], 然后 [eq43]. 什么时候 [eq103][eq104], 然后[eq105]从而, XY 是独立的。

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "独立随机变量", 列克特ures on probability 的ory 和 mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/fundamentals-of-probability/independent-random-variables.

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