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指标功能

通过 博士

事件的指标函数是一个取值为1的随机变量 当事件发生时为0,当事件未发生时为0。指示符 函数通常在概率论中用于简化表示法和 证明定理。

目录

定义

以下是正式定义。

定义欧米茄 成为 样本空间$ Esubseteq欧米茄$ 豆角,扁豆 事件。的 指示符 功能 (或指标随机变量) E, 表示为 $ 1_ {E} $, 是一个 随机变量 定义为 如下:[eq1]

而事件的指标 E 通常用 $ 1_ {E} $, 有时也表示为 通过[eq2]哪里 $ chi $ 是希腊字母Chi。

我们掷骰子,从1到6的六个数字之一可以面朝上出现。的 样本空间 是[eq3]定义 事件 [eq4]描述 句子“偶数朝上出现”。一个随机变量 当偶数数字朝上出现时为1,否则为0 事件指示 E. 该指标的个案定义 是[eq5]

从上面的定义可以很容易地看出 $ 1_ {E} $ 是一个 离散随机 变量 支持 [eq6] 概率质量 功能[eq7]

物产

指标函数具有以下属性。

权力

n-th 的力量 $ 1_ {E} $ 等于 $ 1_ {E} $:[eq8]因为 $ 1_ {E} $ 可以是 0 要么 1[eq9]

期望值

期望值$ 1_ {E} $ 等于 [eq10]:[eq11]

方差

方差$ 1_ {E} $ 等于 [eq12]. 由于平时 方差 式 以及上面的powers属性,我们 获得[eq13]

交叉口

如果 EF 有两个事件 然后[eq14]因为:

  1. 如果 Ecap F $中的$ 欧米茄, 然后 [eq15][eq16]

  2. 如果 [eq17], 然后[eq18][eq19]

零概率事件指标

E 成为 零概率事件X 一个 可积随机 变量. 然后,[eq20]而 对此事实的严格证明超出了本介绍的范围 博览会,此属性应直观。随机变量 [eq21] 对于所有采样点均等于零 欧米茄 除了可能的要点 $ 欧米茄中的E $. 期望值是这些值的加权平均值 $ X1_ {E} $ 可以假设,每个值都由其各自的概率加权。的 非零值 $ X1_ {E} $ 可以承受的概率为零 [eq22] 必须为零。

解决的练习

您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。

练习1

考虑一个随机变量 X 和另一个随机变量 Y 定义为 X.[eq23]

表现 Y 使用事件的指标功能 [eq24][eq25].

表示为 [eq26]的 事件指示 [eq27] 并用 [eq28]的 事件指示 [eq25]. 我们可以写 Y[eq30]

练习2

X 是一个正的随机变量,即可以取 只有正值。让 $ c $ 是一个常数。证明 [eq31]哪里 [eq32] 是事件的指示器 [eq33].

首先注意指标的总和 [eq32][eq35] 总是等于 1:[eq36]如 结果,我们可以 写[eq37]现在, 注意 [eq38] 是一个正随机变量,并且 正随机的期望值 变量 是 正:[eq39]从而,[eq40]

练习3

E 是一个事件,并通过以下方式指示其指标功能 $ 1_ {E} $. 让 $ E ^ {c} $ 作为...的补充 E 并通过以下方式表示其指标功能 $ 1_ {E ^ {c}} $. 你能表达 $ 1_ {E ^ {c}} $ 根据 $ 1_ {E} $?

这两个指标的总和总是 等于 1:[eq41]因此,[eq42]

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "指标功能", 列克特ures on 可能性 的ory 和 mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/fundamentals-of-probability/indicator-functions.

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