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联合特征函数

通过 博士

在演讲中 特征功能 我们 引入了特征函数（cf）的概念 随机变量。这次讲座是关于联合 cf，类似的概念，但适用于 随机 向量.

定义 让 X 成为 Kx1 随机 向量。的 联合特征函数 的 X 是一个功能 [eq1] 定义的 通过[eq2]哪里 $ i = sqrt {-1} $ 是假想单位。

观察一下 [eq3] 存在于任何 $锡U {211d} ^ {K} $ 因为[eq4]和 最后一行中出现的期望值是明确定义的，因为两者 正弦和余弦是有界的（它们取区间中的值 [eq5]）。

目录

目录

  1. 得出交叉矩

  2. 表征s

  3. 更多细节

    1. 线性变换的联合CF

    2. 具有独立条目的随机向量的联合cf

    3. 相互独立的随机向量之和的联合cf

  4. 解决的练习

    1. 练习1

    2. 练习2

    3. 练习3

  5. 参考文献

得出交叉矩

如 关节力矩产生功能 的 随机向量，联合cf可用于推导 交叉时刻 的 X, 如下所述。

主张 让 X 是随机向量， [eq6] 它的联合特征功能。让 $ nin U {2115} $. 定义订单的交叉时刻 n 如 如下：[eq7]哪里 [eq8] 和 [eq9]. 如果订单的所有交叉时刻 n 存在并且是有限的，那么所有的 n-th 的阶偏导数 [eq10] 存在并 [eq11]哪里 等式右侧的偏导数在处计算 重点 $ t_ {1} = 0 $, $ t_ {2} = 0 $, ...， $ t_ {K} = 0 $.

证明

看到 乌沙科夫 (1999).

当我们需要推导随机向量的交叉矩时， 该命题的用处有限，因为它很少 先验已知，是否存在给定顺序的跨矩。的 相反，遵循以下命题不需要这种先验知识。

主张 让 X 是随机向量， [eq12] 其联合参比。如果所有 n-th 的阶偏导数 [eq13] 存在，然后

  1. 如果 n 是 甚至，对于任何 [eq14] 所有 $ m $-th 的交叉时刻 X 存在并且是有限的；

  2. 如果 n 是 奇，对于任何 [eq15] 所有 $ m $-th 的交叉时刻 X 存在并且是有限的。

在这两种情况下，我们都有 那[eq16]哪里 上面等式右边的偏导数是 在该点评估 $ t_ {1} = 0 $, $ t_ {2} = 0 $, ...， $ t_ {K} = 0 $.

证明

再次，看到 乌沙科夫 (1999).

表征s

联合cf也可用于检查两个随机向量是否具有 相同的分布。

主张 让 X 和 Y 是两个 Kx1 随机向量。表示为 [eq17] 和 [eq18] 其 联合分配 职能 和 [eq19] 和 [eq20] 他们联合的cfs。 然后，[eq21]

证明

看到 乌沙科夫 (1999).

换句话说，当且仅当两个随机向量具有相同的分布 如果他们有相同的联合cf。此结果经常用于 应用程序，因为证明两个联合cfs的相等性通常很多 比证明两个函数相等更容易。

更多细节

以下各节包含有关关节特征的更多详细信息 功能。

线性变换的联合CF

让 X 成为 Kx1 具有特征函数的随机向量 [eq22]. 定义[eq23]哪里 A 是一个 $酸橙1 $ 常数向量和 $ B $ 是一个 $石灰K $ 常数矩阵。然后，联合cf Y 是[eq24]

证明

这证明为 如下：[eq25]

随机向量的联合cf与 independent entries

让 X 成为 Kx1 随机向量。让它的条目 X_1, ...， $ X_ {K} $ 是 K 相互独立的随机变量. 表示的cf $ j $-th 进入 X 通过 [eq26].

然后，联合cf X 是[eq27]

证明

这证明为 如下：[eq28]

相互相加的总和 独立随机向量

让 X_1, ...， X_n 是 n 相互独立的随机向量。让 Z 成为他们的 和：[eq29]然后， 的联合 Z 是联合cfs的乘积 X_1, ...， X_n:[eq30]

证明

与以前相似 证明：[eq31]

解决的练习

有关联合特征函数的一些已解决的练习可以在下面找到。

练习1

让 $ Z_ {1} $ 和 $ Z_ {2} $ 是两个独立的 标准正常随机 变数。让 X 成为 $ 2imes 1 $ 随机向量，其成分定义为 如下：[eq32]派生 的联合特征函数 X.

提示：利用事实 $ Z_ {1} ^ {2} $ 和 $ Z_ {2} ^ {2} $ 是两个独立的 卡方随机 变数 有特色 功能[eq33]

解

通过使用特征的定义 功能，我们 得到[eq34]

练习2

使用上一练习中找到的关节特征函数来推导 的期望值和协方差矩阵 X.

解

我们需要计算部分 联合特征的导数 功能：[eq35]所有 存在并精确定义了直到二阶的偏导数。作为一个 结果，直到第二阶的所有交叉矩都存在并且是有限的，并且 他们可以从上面的部分计算 衍生产品：[eq36]的 协方差推导为 如下：[eq37]所以， 总结一下，我们 得到[eq38]

练习3

阅读并尝试了解关节的联合特征功能 多项式分布在名为“ 多项式分布.

参考文献

乌沙科夫（1999） 中的选定主题 特征功能，VSP。

如何引用

请引用为：

Taboga, Marco (2017). "联合特征函数", 列克特ures on 可能性 theory 和 mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/fundamentals-of-probability/joint-characteristic-function.

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