在演讲中 特征功能 我们 引入了特征函数(cf)的概念 随机变量。这次讲座是关于联合 cf,类似的概念,但适用于 随机 向量.
定义
让
成为
随机
向量。的 联合特征函数 的
是一个功能
定义的
通过
哪里
是假想单位。
观察一下
存在于任何
因为
和
最后一行中出现的期望值是明确定义的,因为两者
正弦和余弦是有界的(它们取区间中的值
)。
如 关节力矩产生功能 的
随机向量,联合cf可用于推导
交叉时刻 的
,
如下所述。
主张
让
是随机向量,
它的联合特征功能。让
.
定义订单的交叉时刻
如
如下:
哪里
和
.
如果订单的所有交叉时刻
存在并且是有限的,那么所有的
-th
的阶偏导数
存在并
哪里
等式右侧的偏导数在处计算
重点
,
,
...,
.
看到 乌沙科夫 (1999).
当我们需要推导随机向量的交叉矩时, 该命题的用处有限,因为它很少 先验已知,是否存在给定顺序的跨矩。的 相反,遵循以下命题不需要这种先验知识。
主张
让
是随机向量,
其联合参比。如果所有
-th
的阶偏导数
存在,然后
如果
是 甚至,对于任何
所有
-th
的交叉时刻
存在并且是有限的;
如果
是 奇,对于任何
所有
-th
的交叉时刻
存在并且是有限的。
在这两种情况下,我们都有
那哪里
上面等式右边的偏导数是
在该点评估
,
,
...,
.
再次,看到 乌沙科夫 (1999).
联合cf也可用于检查两个随机向量是否具有 相同的分布。
主张
让
和
是两个
随机向量。表示为
和
其 联合分配
职能 和
和
他们联合的cfs。
然后,
看到 乌沙科夫 (1999).
换句话说,当且仅当两个随机向量具有相同的分布 如果他们有相同的联合cf。此结果经常用于 应用程序,因为证明两个联合cfs的相等性通常很多 比证明两个函数相等更容易。
以下各节包含有关关节特征的更多详细信息 功能。
让
成为
具有特征函数的随机向量
.
定义
哪里
是一个
常数向量和
是一个
常数矩阵。然后,联合cf
是
这证明为
如下:
让
成为
随机向量。让它的条目
,
...,
是
相互独立的随机变量.
表示的cf
-th
进入
通过
.
然后,联合cf
是
这证明为
如下:
让
,
...,
是
相互独立的随机向量。让
成为他们的
和:
然后,
的联合
是联合cfs的乘积
,
...,
:
与以前相似
证明:
有关联合特征函数的一些已解决的练习可以在下面找到。
让
和
是两个独立的 标准正常随机
变数。让
成为
随机向量,其成分定义为
如下:
派生
的联合特征函数
.
提示:利用事实
和
是两个独立的 卡方随机
变数 有特色
功能
通过使用特征的定义
功能,我们
得到
使用上一练习中找到的关节特征函数来推导
的期望值和协方差矩阵
.
我们需要计算部分
联合特征的导数
功能:所有
存在并精确定义了直到二阶的偏导数。作为一个
结果,直到第二阶的所有交叉矩都存在并且是有限的,并且
他们可以从上面的部分计算
衍生产品:
的
协方差推导为
如下:
所以,
总结一下,我们
得到
阅读并尝试了解关节的联合特征功能 多项式分布在名为“ 多项式分布.
乌沙科夫(1999) 中的选定主题 特征功能,VSP。
请引用为:
Taboga, Marco (2017). "联合特征函数", 列克特ures on 可能性 theory 和 mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/fundamentals-of-probability/joint-characteristic-function.