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关节力矩产生功能

通过 博士

关节力矩产生函数(关节mgf)的概念是一个多元变量 力矩产生函数概念的推广。类似于 在单变量情况下,联合mgf唯一确定其联合分布 相关的随机向量,它可以用来推导 交叉时刻 按部分分布 差异化。

如果您不熟悉单变量概念,建议您先 阅读有关的演讲 力矩产生函数.

目录

定义

让我们从一个正式的定义开始。

定义X 成为 Kx1 随机向量。如果 预期 值[eq1]存在 对所有人来说都是有限的 Kx1 实向量 $ t $ 属于一个封闭的矩形 H:[eq2]$ h_ {i}>0$ 对所有人 $ i = 1,ldots,K $, 那我们说 X 具有关节力矩产生功能 [eq3] 定义的 通过[eq4]是 叫做 关节力矩产生功能X.

例如,我们推导标准多元法线的联合mgf 随机向量。

X 成为 Kx1 标准多元正态随机向量。它的 支持 R_X[eq5]和 它的 联合 概率密度函数 [eq6][eq7]如 在题为“演讲”的讲义中进行了解释 多元正态 分配K 的组成部分 XK 相互独立 标准正常 随机变量,因为联合概率密度函数为 X 可以写 如 [eq8]哪里 $ x_ {i} $ 是个 i-th 进入 x[eq9] 是标准正态随机数的概率密度函数 变量:[eq10]因此, 的联合mgf X 可以导出为 如下:[eq11]以来 标准正态随机变量的mgf 是[eq12]然后[eq13][eq14] 为任何定义 $ t_ {i} in U {211d} $. 作为结果, [eq15] 为任何定义 $锡U {211d} ^ {K} $.

与交叉时刻的关系

下一个命题显示了联合mgf如何用于推导 交叉时刻 向量的向量。

主张 如果一个 Kx1 随机向量 X 拥有共同的mgf [eq16], 然后 X 具有有限的阶跃矩 n, 对于任何 $ nin U {2115} $. 此外,如果您定义订单的交叉时刻 n[eq17]哪里 [eq18][eq19], 然后[eq20]哪里 右边的导数是 n-th 的阶偏导数 [eq21] 在该点评估 [eq22].

证明

我们没有对此提供严格的证明 命题,但例如 菲佛(1978) 达斯·古普塔(2010)。但是,主要的直觉是 非常简单。微分是线性运算,期望值为 线性运算符。这使我们能够通过期望值来区分, 提供适当的技术条件(此处省略) 满意:[eq23]评估 此时的导数 [eq24], 我们 获得[eq25]

以下示例显示了如何应用此命题。

让我们继续前面的示例。 a的联合mgf $ 2imes 1 $ 标准正态随机向量 X[eq26]的 的第二个交叉时刻 X 可以通过取的二阶交叉偏导数来计算 [eq27]:[eq28]

联合分布的特征

关节mgf的最重要特性之一是它可以完全 表征随机向量的联合分布:

主张 XY 是两个 Kx1 具有联合mgfs的随机向量 [eq29][eq30]. 表示为 [eq31][eq32] 联合分配 职能. XY 当且仅当它们具有相同的关节时才具有相同的关节分布 mgfs:[eq33]

证明

读者可以参考 费勒(2008) 为严格的证明。非正式的 这里给出的证明几乎与单变量情况下给出的证明相同。我们 将我们的注意力局限于以下情况 XY 是仅采用有限多个值的离散随机向量。至于 就暗示的从左到右的方向而言,足够注意 如果 XY 具有相同的分布 然后[eq34]的 从右到左的含义被证明如下。表示为 R_X$ R_ {Y} $ 的支持 XY[eq35][eq36] 联合 概率质量函数。定义两者的并集 支持:[eq37]和 用以下方式表示其成员 [eq38]. 的联合mgf X 可以写 如 [eq39]通过 同样的道理, Y 可以写 如 [eq40]如果 XY 具有相同的关节mgf 然后[eq41]对于 任何 $ t $ 属于一个封闭的矩形,其中两个mgf定义明确, 和[eq42]重新排列 条款,我们 获得[eq43]这个 可以验证每个人的平等 $ t $ 只要 如果[eq44]对于 每一个 i. 结果,联合概率质量函数为 XY 相等,这意味着它们的联合分配函数也是 等于。

这个主张经常用在需要 证明两个联合分布相等。在此类应用中, 证明关节力矩产生函数的相等性通常要容易得多 比证明联合分配功能相等。

更多细节

以下各节包含有关关节mgf的更多详细信息。

联合力矩产生 线性变换的函数

X 成为 Kx1 具有联合mgf的随机向量 [eq45]. 定义[eq46]哪里 $ A $是 a $酸橙1 $ 常数向量和 $ B $是 一个 $石灰K $ 常数矩阵。然后, $酸橙1 $ 随机向量 Y 拥有共同的mgf [eq30][eq48]

证明

使用mgf的定义,我们 得到[eq49]如果 [eq50] 在封闭的矩形上定义 H, 然后 [eq51] 在另一个封闭矩形上定义,该矩形的形状和位置取决于 A$ B $.

联合力矩产生 具有独立条目的随机向量的函数

X 成为 Kx1 随机向量。让它的条目 X_1, ..., $ X_ {K} $K 具有mgf的相互独立的随机变量。表示的mgf i-th 进入 X 通过 [eq14].

然后,将 X[eq53]

证明

这个事实证明为 如下:[eq54]

相互之和的联合mgf 独立随机向量

X_1, ..., X_nn 相互独立的随机向量,所有维度 Kx1. 让 Z 成为他们的 和:[eq55]然后, 的联合mgf Z 是的联合mgfs的乘积 X_1, ..., X_n:[eq56]

证明

这个 事实源于相互独立的随机向量的性质, 从联合的定义 mgf:[eq57]

解决的练习

有关联合力矩生成功能的一些已解决的练习可以在下面找到。

练习1

X 成为 $ 2imes 1 $ 离散随机向量 和 用以下方式表示其组成部分 X_1X_2. 让支持 X[eq58]和 它的 联合概率 质量函数[eq59]派生 关节力矩产生函数 X, 如果存在。

根据力矩产生的定义 功能,我们 有[eq60]明显, 关节力矩产生函数存在且定义明确,因为 高于预期值存在任何 $锡U {211d} ^ {2} $.

练习2

[eq61]是 a $ 2imes 1 $ 具有联合力矩产生的随机向量 功能[eq62]派生 的期望值 X_1.

时刻 产生功能X_1[eq63]的 的期望值 X_1 通过取其矩生成的一阶导数获得 功能:[eq64]和 在评估它 $ t_ {1} = 0 $:[eq65]

练习3

[eq66] 成为 $ 2imes 1 $ 具有联合力矩产生的随机向量 功能[eq67]派生 的 协方差 之间 X_1X_2.

我们可以使用以下协方差 式:[eq68]的 力矩产生函数 X_1[eq69]的 的期望值 X_1 通过取其矩生成的一阶导数获得 功能:[eq70]和 在评估它 $ t_ {1} = 0 $:[eq71]的 力矩产生函数 X_2[eq72]至 计算的期望值 X_2 我们将其瞬间产生的一阶导数 功能:[eq73]和 在评估它 $ t_ {2} = 0 $:[eq74]的 第二 交叉时刻X 通过采取联合矩的二阶偏导数来计算 产生 功能:[eq75]和 在评估它 [eq76]:[eq77]因此,[eq78]

参考文献

DasGupta,A.(2010年) 的基本原理 概率:第一门课程,施普林格。

费勒·W(2008) 简介 概率论及其应用,第2卷,威利。

Pfeiffer,P.E.(1978年) 的概念 概率论,多佛尔出版物。

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "关节力矩产生功能", 列克特ures on 概率论 和 mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/fundamentals-of-probability/joint-moment-generating-function.

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