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合法概率密度函数

通过 博士

本讲座讨论表征概率密度的两个属性 功能（pdfs）。 pdf不仅满足这两个属性，而且还满足 满足这两个属性的任何函数都是合法的pdf。

目录

目录

  1. 概率密度函数的性质

  2. 确定合法的概率密度函数

  3. 解决的练习

    1. 练习1

    2. 练习2

    3. 练习3

概率密度函数的性质

以下命题正式描述了这两个属性。

主张 让 X 成为 连续 随机变量。 它的 概率密度 功能，表示为 [eq1], 满足以下两个属性：

  1. 非负性： [eq2] 对于任何 $ xin U {211d} $;

  2. 积分超过 R 等于 1: [eq3].

证明

请记住，根据pdf的定义， [eq4] 就是这样 那 [eq5] 对于 任何间隔 $ left [a，b 权] $. 因此，概率不能为负 [eq6] 和 [eq7] 对于 任何间隔 $ left [a，b 权] $. 但是上述积分在所有时间间隔内都可以为非负数 $ left [a，b 权] $ 仅当被积函数本身为非负数时，即 [eq2] 对所有人 x. 这证明了以上的性质1（非负性）。

此外，确定事物的概率必须等于 1. 以来 [eq9] 是肯定的事情 然后 [eq10]哪一个 证明以上属性2（ R 等于 1 ）。

确定合法的概率密度函数

任何pdf都必须满足上面的属性1和2。可以证明 相反，适用于这些属性的任何函数都是pdf。

主张 让 [eq4] 是满足以下两个属性的函数：

  1. 非负性： [eq2] 对于任何 $ xin U {211d} $;

  2. 积分超过 R 等于 1: [eq3].

然后，存在一个连续的随机变量 X pdf是 [eq14].

这个命题为我们提供了一种强大的概率构建方法 密度函数。采取任何非负函数 克（x） （非负表示 [eq15] 对于任何 $ xin U {211d} $ ）。 如果 积分[eq16]存在 并且是有限且严格为正的 定义[eq17]I 是严格肯定的，因此 [eq4] 是非负数，并且满足属性1。还满足属性2 因为[eq19] 从而， 任何非负函数 克（x） 如果它的积分超过 R 存在并且是有限的并且严格地是肯定的。

例 定义功能 克（x） 如 如下：[eq20] 怎么样 我们从中构造一个pdf 克（x） ? 首先，我们需要验证 克（x） 是非负的。但这是真的，因为 $ x ^ {2} $ 总是非负的。然后，我们需要验证 克（x） 过度 R 存在并且是有限且严格的 正：[eq21]有 验证了 I 存在并且是有限且严格为正的，我们可以 定义[eq22] 通过 上述主张， [eq4] 是合法的pdf。

解决的练习

您可以在下面找到一些练习，其中包含已说明的解决方案。

练习1

考虑以下 功能：[eq24]

哪里 [eq25]. 证明 [eq26] 是合法的概率密度函数。

解

以来 $ lambda>0$ 指数函数严格为正， [eq27] 对于任何 $ xin U {211d} $, 因此满足非负性积分属性也是 满意 因为[eq28]

练习2

考虑以下 功能：[eq29]

哪里 $ l，uin U {211d} $ 和 $l<u$. 证明 [eq4] 是合法的概率密度函数。

解

$l<u$ 暗示 $ frac {1} {u-l}>0$, 所以 [eq2] 对于任何 $ xin U {211d} $ 并且满足非负性。积分属性也是 满意 因为[eq32]

练习3

考虑以下 功能：[eq33] 哪里 $ nin U {2115} $ 和 [eq34] 是个 伽玛功能。证明 [eq4] 是合法的概率密度函数。

解

记住伽玛的定义 功能：[eq36][eq37] 显然对任何人都是严格肯定的 $ z $ , 以来 [eq38] 严格来说是积极的 $ x ^ {z-1} $ 在积分间隔上严格为正（除 0 在哪儿 0 ）。 因此， [eq4] 满足非负性，因为 产品[eq40] 是 所有非负的时间间隔 [eq41].

整体性也得到满足 因为[eq42]

如何引用

请引用为：

Taboga, Marco (2017). "合法概率密度函数", 列克特 ures on 可能性 theory 和 mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/fundamentals-of-probability/legitimate-probability-density-functions.

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