合法概率质量功能

经过 Marco Taboga.，博士学位

在本讲座中，我们分析了概率质量功能的两个性质。我们证明任何概率质量功能都不满足这两个属性，但也是满足这两个属性的任何功能都是一个合法概率质量功能。

概率质量函数的性质
识别合法概率质量功能
解决练习

练习1
练习2
练习3.

概率质量函数的性质

任何概率质量功能满足两个基本属性，如图所示 next proposition.

命题（概率质量的性质 function) 让 be a discrete random variable 和 let be its 可能性 mass function。概率质量功能满足以下两个属性：

非消极性： for any ;
总结支持等于 : , where is the support of .

证明

请记住，通过定义a 概率质量功能， is such that [eq6]

因此，概率不能为负面，因此而且，因此， . 这证明了上述财产1（非消极性）。

此外，肯定事物的概率必须等于 . 从那以来，通过支持的定义，事件 is a sure thing, then [eq10] 哪一个证明上述财产2（总和支持等于）。

识别合法概率质量功能

任何概率质量功能必须满足上面的财产1和2。使用一些测量理论的标准结果（这里省略），可以证明交谈也是如此，即任何功能满足上面的两个属性是概率质量功能。

命题（合法概率质量 function) 让是满足以下两个属性的函数：

非消极性： for any ;
总结支持等于 : , where is the support of .

然后，存在离散随机变量谁的概率质量功能是 .

这个命题为我们提供了一种强大的方法 构建概率质量功能。采取一组实数的子集 . Take any function 这是非负面的（非负面意味着 for any $xin r_ {x}$ ）。 If the sum [eq18] 是明确，有限，严格阳性，然后 define 是严格的积极，从而是非负的，它满足财产1.它还满足财产2 because [eq21] 所以， any function 这是非负面的 ( 任意选择的选定）可用于构造概率质量功能 its sum over 是明确的，有限，严格积极。

例子 Define和 a function as follows: [eq23] 能 we use 构建概率质量功能？首先，我们必须检查一下是非负面的。这显然是真的，因为 $x ^ {2}$ 总是非负面的。然后，我们必须检查一下的总和 over 存在，有限，严格 positive: [eq24] 自从存在，有限，严格阳性，我们可以 define [eq25] 经过上述主张，是一个合法的概率质量功能。

解决练习

下面可以找到一些练习解释的解决方案。

练习1

考虑以下 function: [eq27]

Prove that 是一个合法的概率质量功能。

解决方案

为了 we have尽管 for we have所以， for any 并且满足非消极性财产。其他必要的财产（支持支持等于 ) is also satisfied because [eq34]

练习2

考虑以下 function: [eq35]

Prove that 是一个合法的概率质量功能。

解决方案

为了 we have尽管 for we have所以， for any 并且满足非消极性财产。其他必要的财产（支持支持等于 ) is also satisfied because [eq42]

练习3.

考虑以下 function: [eq43]

Prove that 是一个合法的概率质量功能。

解决方案

为了 we have因为 $4 ^ {1-x}$ 严格积极。 we have所以， for any 并且满足非消极性财产。其他必要的财产（支持支持等于 ) is also satisfied because [eq48]

如何引用

请引用：

Taboga, Marco (2017). "合法概率质量功能", Lectures on probability theory and mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/fundamentals-of-probability/legitimate-probability-mass-function.