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合法概率质量函数

通过 博士

在本讲座中,我们分析了概率质量函数的两个属性。我们 证明不仅任何概率质量函数都满足这两个条件 属性,而且满足这两个属性的任何函数都是 合法概率质量函数。

目录

概率质量函数的性质

任何概率质量函数都满足两个基本属性,如 下一页命题。

命题(概率质量的性质 功能) X 成为 离散随机 变量 然后让 [eq1] 是它的 概率质量 功能。概率质量函数 [eq2] 满足以下两个属性:

  1. 非负性: [eq3] 对于任何 $ xin U {211d} $;

  2. 支持总和等于 1: [eq4], 哪里  R_X 是个 支持X.

证明

请记住,根据 概率质量函数 [eq5] 就是这样 那[eq6]

因此,概率不能为负 [eq7] 结果, [eq3]. 这证明了以上的性质1(非负性)。

此外,确定事物的概率必须等于 1. 因为根据支持的定义, [eq9] 是肯定的事情 然后[eq10]哪一个 证明属性2高于上述值(支持总和等于 1 )。

合法概率质量函数的识别

任何概率质量函数都必须满足上面的属性1和2。使用一些 测量理论的标准结果(此处省略),有可能证明 反之亦然,即任何函数 [eq11] 满足以上两个属性的是概率质量函数。

命题(合法概率质量 功能) [eq2] 是满足以下两个属性的函数:

  1. 非负性: [eq3] 对于任何 $ xin U {211d} $;

  2. 支持总和等于 1: [eq4], 哪里  R_X 是...的支持 X.

然后,存在一个离散的随机变量 X 其概率质量函数为 [eq2].

这个主张为我们提供了一种强有力的方法 构筑 概率质量函数。取实数集的子集 [eq16]. 承担任何职能 克(x) 那是非负的  R_X (非负表示 [eq17] 对于任何 $ xin R_ {X} $ )。 如果 和 [eq18] 是 定义明确,是有限且严格为正的 定义[eq19] $ S $ 是严格肯定的,因此 [eq2] 是非负数,并且满足属性1。还满足属性2 因为[eq21]因此, 任何功能 克(x) 那是非负的  R_X ( R_X 如果任意选择)可用于构造概率质量函数,如果 其总和  R_X 定义明确,有限且严格为正。

定义[eq22] 和 一个功能 克(x) 如 如下:[eq23]能够 我们用 克(x) 建立概率质量函数?首先,我们必须检查一下 克(x) 是非负的。这显然是正确的,因为 $ x ^ {2} $ 总是非负的。然后,我们必须检查 克(x) 过度  R_X 存在并且是有限且严格的 正:[eq24]以来  $ S $ 存在并且是有限且严格为正的,我们可以 定义[eq25] 通过 上述主张, [eq2] 是合法的概率质量函数。

解决的练习

您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。

练习1

考虑以下 功能:[eq27]

证明 [eq2] 是合法的概率质量函数。

对于 [eq29] 我们 有[eq30]而 对于 [eq31] 我们 有[eq32]因此, [eq3] 对于任何 $ xin U {211d} $ 并且满足非负性。其他必要的属性 (总和等于 1) 也很满意 因为[eq34]

练习2

考虑以下 功能:[eq35]

证明 [eq2] 是合法的概率质量函数。

对于 [eq37] 我们 有[eq38]而 对于 [eq39] 我们 有[eq32]因此, [eq3] 对于任何 $ xin U {211d} $ 并且满足非负性。其他必要的属性 (总和等于 1) 也很满意 因为[eq42]

练习3

考虑以下 功能:[eq43]

证明 [eq2] 是合法的概率质量函数。

对于 $ xin U {2115} $ 我们 有[eq45]因为 $ 4 ^ {1-x} $ 是严格肯定的。 $x
otin U{2115} $ 我们 有[eq32]因此, [eq3] 对于任何 $ xin U {211d} $ 并且满足非负性。其他必要的属性 (总和等于 1) 也很满意 因为[eq48]

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "合法概率质量函数", 列克特ures on 可能性 theory 和 mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/fundamentals-of-probability/legitimate-probability-mass-function.

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