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线性相关

通过 博士

线性相关性是两个随机变量之间依赖关系的量度 取值介于-1和1之间。它与协方差和 它的解释与协方差非常相似。

目录

目录

  1. 定义

  2. 解释

  3. 术语

  4. 例

  5. 更多细节

    1. 随机变量与自身的相关性

    2. 对称

  6. 解决的练习

    1. 练习1

    2. 练习2

    3. 练习3

定义

让 X 和 Y 是两个 随机变量 。 的 线性的 相关系数 （或皮尔逊相关系数） 之间 X 和 Y, 表示为 [eq1] 或 $ ho _ {XY} $ , 被定义为 如下： [eq2] 哪里 [eq3] 是之间的协方差 X 和 Y 和 [eq4] 和 [eq5] 是 标准偏差 的 X 和 Y.

线性相关系数只有在 [eq6], [eq7] 和 [eq8] 存在并且定义明确。

请注意，原则上，仅当 [eq9] 和 [eq5] 严格大于零。但是，通常认为 [eq11] 当两个标准偏差之一为零时。这相当于 假如说 [eq12] 因为 [eq13] 当两个标准偏差之一为零时。

解释

解释类似于协方差的解释： 之间的相关性 X 和 Y 提供了一个衡量标准与各自均值偏差的相似程度的度量 是（请参阅标题为“ 协方差 为一个 详细说明）。

线性相关具有被限制在 $-1$ 和 1:[eq14]

由于具有此属性，相关性可以轻松理解强度 随机变量之间的线性相关性：更紧密的相关性 是为了 1, 之间的正线性相关性越强 $ X $ 和 Y 是（并且离它越近 $-1$, 之间的负线性相关性越强 X 和 Y 是）。

术语

经常使用以下术语：

  1. 如果 [eq15] 然后 X 和 Y 据说是 正线性相关 （或简单地说 正相关 ）。

  2. 如果 [eq16] 然后 X 和 Y 据说是 负线性相关 （或简单地说 负相关 ）。

  3. 如果 [eq17] 然后 X 和 Y 据说是 线性相关 （或简单地说 相关的 ）。

  4. 如果 [eq18] 然后 X 和 Y 据说是 不相关的 。另请注意 [eq19] $=0$, 因此有两个随机变量 X 和 Y 每当不相关 [eq20].

例

以下示例显示了如何计算线性系数 两个离散随机变量之间的相关性。

例 让 X 成为 $2$ 尺寸 随机向量 并用 X_1 和 X_2. 让支持 X 是 [eq21] 和 它的 联合概率 质量函数 是 [eq22] 的 支持 的 X_1 是 [eq23] 和 它的 概率质量 功能 是 [eq24] 的 期望值 的 X_1 是 [eq25] 的 的期望值 $ X_ {1} ^ {2} $ 是 [eq26] 的 方差 的 X_1 是 [eq27] 的 的标准偏差 X_1 是： [eq28] 的 支持 X_2 是： [eq29] 和 它的概率质量函数 是 [eq30] 的 的期望值 X_2 是 [eq31] 的 的期望值 $ X_ {2} ^ {2} $ 是 [eq32] 的 的方差 X_2 是 [eq33] 的 的标准偏差 X_2 是 [eq34] 使用 的 转型 定理 ，我们可以计算出的期望值 $ X_ {1} X_ {2} $ :[eq35] 因此， 之间的协方差 X_1 和 X_2 是 [eq36] 和 线性相关系数 是： [eq37]

更多细节

以下各节包含有关线性相关的更多详细信息 系数。

随机变量与自身的相关性

让 X 是一个随机变量， 然后 [eq38]

证明

这证明为 如下： [eq39] 哪里 我们已经利用了事实 那 [eq40]

对称

线性相关系数为 对称的： [eq41]

证明

这证明为 如下： [eq42] 哪里 我们使用了协方差为 对称的： [eq43]

解决的练习

您可以在下面找到一些练习，其中包含已说明的解决方案。

练习1

让 X 成为 $ 2imes 1 $ 离散随机向量，并通过 X_1 和 X_2. 让支持 X 是 [eq44] 和 它的联合概率质量函数 是 [eq45]

计算之间的线性相关系数 X_1 和 X_2.

解

的支持 X_1 是 [eq46] 和 它的 边缘 概率质量函数 是 [eq47] 的 的期望值 X_1 是 [eq48] 的 的期望值 $ X_ {1} ^ {2} $ 是 [eq49] 的 的方差 X_1 是 [eq50] 的 的标准偏差 X_1 是 [eq51] 的 支持 X_2 是 [eq52] 和 其边际概率质量函数 是 [eq53] 的 的期望值 X_2 是 [eq54] 的 的期望值 $ X_ {2} ^ {2} $ 是 [eq55] 的 的方差 X_2 是 [eq56] 的 的标准偏差 X_1 是 [eq57] 使用 变换定理，我们可以计算出的期望值 $ X_ {1} X_ {2} $ :[eq58] 因此， 之间的协方差 X_1 和 X_2 是 [eq59] 和 两者之间的线性相关系数 X_1 和 X_2 是 [eq60]

练习2

让 X 成为 $ 2imes 1 $ 离散随机向量，并通过 X_1 和 X_2. 让支持 X 是 [eq61] 和 它的联合概率质量函数 是 [eq62]

计算之间的线性相关系数 X_1 和 X_2.

解

的支持 X_1 是 [eq63] 和 其边际概率质量函数 是 [eq64] 的 的平均值 X_1 是 [eq65] 的 的期望值 $ X_ {1} ^ {2} $ 是 [eq66] 的 的方差 X_1 是 [eq67] 的 的标准偏差 X_1 是 [eq68] 的 支持 X_2 是 [eq69] 和 它的概率质量函数 是 [eq70] 的 的平均值 X_2 是 [eq71] 的 的期望值 $ X_ {2} ^ {2} $ 是 [eq72] 的 的方差 X_2 是 [eq73] 的 的标准偏差 X_2 是 [eq74] 的 产品的期望值 $ X_ {1} X_ {2} $ 能够 使用转换得出 定理 [eq75] 因此， 放在一起，之间的协方差 X_1 和 $ X_ {2} $ 是 [eq76] 和 两者之间的线性相关系数 X_1 和 X_2 是 [eq77]

练习3

让 [eq78] 成为 连续 随机向量 在支持下 [eq79] 和 让其联合概率密度函数 是 [eq80] 计算 两者之间的线性相关系数 X 和 Y.

解

的支持 Y 是 [eq81] 什么时候 $y otin R_{Y}$, 的 边缘 概率密度函数 的 Y 是 0, 当......的时候 $ yin R_ {Y} $ , 的边际概率密度函数 Y 可以通过积分获得 x 联合概率密度为 如下： [eq82] 从而， 的边际概率密度函数 Y 是 [eq83] 的 的期望值 Y 是 [eq84] 的 的期望值 $ Y ^ {2} $ 是 [eq85] 的 的方差 Y 是 [eq86] 的 的标准偏差 Y 是 [eq87] 的 支持 X 是 [eq88] 什么时候 $x otin R_{X}$, 的边际概率密度函数 X 是 0, 当......的时候 $ xin R_ {X} $ , 的边际概率密度函数 X 可以通过积分获得 $ y $ 联合概率密度为 如下： [eq89] 我们 没有明确计算积分，但是我们写了边际概率 的密度函数 X 如 如下： [eq90] 的 的期望值 X 是 [eq91] 的 的期望值 $ X ^ {2} $ 是 [eq92] 的 的方差 X 是 [eq93] 的 的标准偏差 X 是 [eq94] 的 产品的期望值 $ XY $ 可以通过使用转换来计算 定理： [eq95] 因此， 通过协方差公式， X 和 Y 是 [eq96] 和 两者之间的线性相关系数 X 和 Y 是 [eq97]

如何引用

请引用为：

Taboga, Marco (2017). "线性相关", 列克特 ures on probability 的 ory 和 mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/fundamentals-of-probability/linear-correlation.

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