的真人在线斗地主 随机变量 经常 就其矩量生成函数(mgf)而言, 函数的导数为零等于 片刻 随机变量的时刻 生成函数具有很大的实际意义,不仅因为它们可以 可用于轻松导出矩,还因为概率真人在线斗地主 由其mgf唯一确定,这一事实加上 mgfs的易处理性,使其成为解决若干问题的便捷工具,例如 作为推导两个或多个随机变量之和的真人在线斗地主。
必须指出的是,并非所有随机变量都具有矩 功能。但是,所有随机变量都具有 特征函数,另一种转换 拥有与mgf相似的属性。
以下是正式定义。
定义
让
是一个随机变量。如果 期望值
存在并且对于所有实数都是有限的
属于一个封闭的间隔
,
与
,
那我们说
具有瞬间产生功能,
功能
是
叫做 力矩产生功能 的
.
下一个示例显示了 指数的 随机变量 计算。
矩生成函数的名字是因为它可以被使用
推导的时刻
,
如以下命题所述。
主张
如果是随机变量
拥有mgf
,
然后
-th
的时刻
,
表示为
,
存在并且对任何事物都是有限的
.
此外,
哪里
是个
-th
的导数
关于
,
在该点评估
.
证明上述主张相当
复杂,因为必须处理很多分析细节(请参见
例如 菲佛-2012)。然而,直觉是
直截了当。由于期望值是线性算子,因此
微分是线性运算,在适当条件下我们可以
通过预期与众不同
值:制造
替代
,
我们
获得
下一个示例显示了如何应用此命题。
例
在前面的示例中,我们证明了指数的mgf
随机变量
是的
的期望值
可以通过取
mgf:
和
在评估它
:
的
第二时刻
可以通过取
mgf:
和
在评估它
:
和
等更高的时刻。
mgf的最重要属性如下。
命题(平等
真人在线斗地主)
让
和
是两个随机变量。表示为
和
其 分配
职能 和
和
他们的mgfs。
和
具有相同的真人在线斗地主(即,
对于任何
)
当且仅当它们具有相同的mgfs(即,
对于任何
)。
对此有一个全面的证明
主张见例如 费勒(2008)。我们只是给
特殊情况的非正式证明,其中
和
是仅取有限多个值的离散随机变量。 “仅当”
部分是微不足道的。如果
和
具有相同的真人在线斗地主
然后
的
“如果”部分证明如下。表示为
和
的支持
和
和
和
其 概率质量
职能。表示为
两者的结合
支持:
和
通过
的要素
.
的mgf
可以写
如
通过
相同的标记,
可以写
如:
如果
和
具有相同的mgf,那么对于任何
属于一个封闭的社区
零
和
重新排列
条款,我们
获得
这个
可能对任何人都适用
仅属于零的封闭邻域
如果
对于
每一个
.
因此,概率质量函数为
和
相等。结果,它们的真人在线斗地主函数也相等。
必须强调的是,这一主张非常重要且相关
从实际角度来看:在许多情况下,我们需要证明两个
真人在线斗地主相等,证明当下相等就容易得多
生成函数比证明真人在线斗地主函数相等。
另请注意,真人在线斗地主函数的相等性可以在
通过概率质量函数相等的命题(如果
和
是 离散随机
变数)或相等的概率密度函数(如果
和
是 连续
随机变量)。
以下各节包含有关mgf的更多详细信息。
让
是拥有mgf的随机变量
.
定义
哪里
是两个常数,
.
然后,随机变量
拥有mgf
和
根据mgf的定义,我们
有明显,
如果
在封闭的间隔内定义
,
然后
在间隔上定义
.
让
,
...,
是
相互独立的随机变量.
让
成为他们的
和:
然后,
的mgf
是的mgfs的乘积
,
...,
:
通过使用
mgf的定义以及相互独立的属性
变量:
有关矩量生成功能的一些已解决的练习可以在下面找到。
让
是具有一个
伯努利真人在线斗地主。它的支持
是
和
它的 概率质量
功能
是
哪里
是一个常数。推导力矩产生函数
,
如果存在。
根据力矩产生的定义
功能,我们
有明显,
矩生成函数存在并且定义明确,因为上面
期望值存在于任何
.
让
是带有力矩产生的随机变量
功能
派生
的方差
.
我们可以使用以下公式
计算
方差:的
的期望值
通过采用产生矩的一阶导数来计算
功能:
和
在评估它
:
的
第二 时刻 的
通过采用产生矩的二阶导数来计算
功能:
和
在评估它
:
因此,
随机变量
据说有一个 卡方真人在线斗地主
与
自由度,如果其矩生成函数定义为任何
这是平等的
至
定义
哪里
和
是两个独立的随机变量,具有卡方真人在线斗地主
和
自由度分别。证明
具有卡方真人在线斗地主
自由程度。
瞬间产生功能
和
是
的
独立随机变量之和的矩生成函数为
他们瞬间产生的产物
职能:
因此,
是卡方随机变量的矩生成函数,其中
自由程度。作为结果,
具有卡方真人在线斗地主
自由程度。
费勒·W(2008) 一个介绍 概率论及其应用,第2卷,威利。
Pfeiffer,P.E.(1978年) 的概念 概率论,多佛尔出版物。
请引用为:
Taboga, Marco (2017). "瞬间产生功能", 列克特ures on 概率论 和 mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/fundamentals-of-probability/moment-generating-function.