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瞬间产生功能

通过 博士

的真人在线斗地主 随机变量 经常 就其矩量生成函数(mgf)而言, 函数的导数为零等于 片刻 随机变量的时刻 生成函数具有很大的实际意义,不仅因为它们可以 可用于轻松导出矩,还因为概率真人在线斗地主 由其mgf唯一确定,这一事实加上 mgfs的易处理性,使其成为解决若干问题的便捷工具,例如 作为推导两个或多个随机变量之和的真人在线斗地主。

必须指出的是,并非所有随机变量都具有矩 功能。但是,所有随机变量都具有 特征函数,另一种转换 拥有与mgf相似的属性。

目录

定义

以下是正式定义。

定义X 是一个随机变量。如果 期望值 [eq1] 存在并且对于所有实数都是有限的 $ t $ 属于一个封闭的间隔 [eq2], 与 $h>0$, 那我们说 X 具有瞬间产生功能, 功能[eq3]是 叫做 力矩产生功能X.

下一个示例显示了 指数的 随机变量 计算。

X 是一个连续的随机变量 支持[eq4] 概率密度 功能[eq5]哪里 $ lambda $ 是一个严格的正数。期望值 [eq6] 可以计算为 如下:[eq7]此外, 上述期望值存在,并且对于任何 [eq8], 提供 [eq9]. 作为结果, X 拥有 mgf:[eq10]

mgf衍生时刻

矩生成函数的名字是因为它可以被使用 推导的时刻 X, 如以下命题所述。

主张 如果是随机变量 X 拥有mgf [eq11], 然后 $ n $-th 的时刻 X, 表示为 [eq12], 存在并且对任何事物都是有限的 $ nin U {2115} $. 此外,[eq13]哪里 [eq14] 是个 n-th 的导数 [eq15] 关于 $ t $, 在该点评估 $t=0$.

证明

证明上述主张相当 复杂,因为必须处理很多分析细节(请参见 例如 菲佛-2012)。然而,直觉是 直截了当。由于期望值是线性算子,因此 微分是线性运算,在适当条件下我们可以 通过预期与众不同 值:[eq16]制造 替代 $t=0$, 我们 获得[eq17]

下一个示例显示了如何应用此命题。

在前面的示例中,我们证明了指数的mgf 随机变量 是[eq18]的 的期望值 X 可以通过取 mgf:[eq19]和 在评估它 $t=0$:[eq20]的 第二时刻 X 可以通过取 mgf:[eq21]和 在评估它 $t=0$:[eq22]和 等更高的时刻。

刻画真人在线斗地主特征 generating 功能

mgf的最重要属性如下。

命题(平等 真人在线斗地主) XY 是两个随机变量。表示为 [eq23][eq24] 分配 职能[eq25][eq26] 他们的mgfs。 XY 具有相同的真人在线斗地主(即, [eq27] 对于任何 x) 当且仅当它们具有相同的mgfs(即, [eq28] 对于任何 $ t $)。

证明

对此有一个全面的证明 主张见例如 费勒(2008)。我们只是给 特殊情况的非正式证明,其中 XY 是仅取有限多个值的离散随机变量。 “仅当” 部分是微不足道的。如果 XY 具有相同的真人在线斗地主 然后[eq29]的 “如果”部分证明如下。表示为 R_X$ R_ {Y} $ 的支持 XY[eq30][eq31] 概率质量 职能。表示为 A 两者的结合 支持:[eq32]和 通过 [eq33] 的要素 A. 的mgf X 可以写 如 [eq34]通过 相同的标记, Y 可以写 如:[eq35]如果 XY 具有相同的mgf,那么对于任何 $ t $ 属于一个封闭的社区 零[eq36][eq37]重新排列 条款,我们 获得[eq38]这个 可能对任何人都适用 $ t $ 仅属于零的封闭邻域 如果[eq39]对于 每一个 i. 因此,概率质量函数为 XY 相等。结果,它们的真人在线斗地主函数也相等。

必须强调的是,这一主张非常重要且相关 从实际角度来看:在许多情况下,我们需要证明两个 真人在线斗地主相等,证明当下相等就容易得多 生成函数比证明真人在线斗地主函数相等。 另请注意,真人在线斗地主函数的相等性可以在 通过概率质量函数相等的命题(如果 XY 离散随机 变数)或相等的概率密度函数(如果 XY 连续 随机变量)。

更多细节

以下各节包含有关mgf的更多详细信息。

矩的产生函数 线性变换

X 是拥有mgf的随机变量 [eq25]. 定义[eq41]哪里 $ a,bin U {211d} $ 是两个常数, $b
eq 0$. 然后,随机变量 Y 拥有mgf [eq26][eq43]

证明

根据mgf的定义,我们 有[eq44]明显, 如果 [eq25] 在封闭的间隔内定义 [eq46], 然后 [eq26] 在间隔上定义 [eq48].

矩的产生函数 相互独立的随机变量之和

X_1, ..., X_nn 相互独立的随机变量. 让 Z 成为他们的 和:[eq49]然后, 的mgf Z 是的mgfs的乘积 X_1, ..., X_n:[eq50]

证明

通过使用 mgf的定义以及相互独立的属性 变量:[eq51]

解决的练习

有关矩量生成功能的一些已解决的练习可以在下面找到。

练习1

X 是具有一个 伯努利真人在线斗地主。它的支持 R_X[eq52]和 它的 概率质量 功能 [eq53][eq54]哪里 [eq55] 是一个常数。推导力矩产生函数 X, 如果存在。

根据力矩产生的定义 功能,我们 有[eq56]明显, 矩生成函数存在并且定义明确,因为上面 期望值存在于任何 R中的t.

练习2

X 是带有力矩产生的随机变量 功能[eq57]派生 的方差 X.

我们可以使用以下公式 计算 方差:[eq58]的 的期望值 X 通过采用产生矩的一阶导数来计算 功能:[eq59]和 在评估它 $t=0$:[eq60]的 第二 时刻X 通过采用产生矩的二阶导数来计算 功能:[eq61]和 在评估它 $t=0$:[eq62]因此,[eq63]

练习3

随机变量 X 据说有一个 卡方真人在线斗地主n 自由度,如果其矩生成函数定义为任何 $ frac {1} {2} $ 这是平等的 至[eq64]定义 [eq65]哪里 X_1X_2 是两个独立的随机变量,具有卡方真人在线斗地主 $ n_ {1} $$ n_ {2} $ 自由度分别。证明 Y 具有卡方真人在线斗地主 $ n_ {1} + n_ {2} $ 自由程度。

瞬间产生功能 X_1X_2[eq66]的 独立随机变量之和的矩生成函数为 他们瞬间产生的产物 职能:[eq67]因此, [eq26] 是卡方随机变量的矩生成函数,其中 $ n_ {1} + n_ {2} $ 自由程度。作为结果, Y 具有卡方真人在线斗地主 $ n_ {1} + n_ {2} $ 自由程度。

参考文献

费勒·W(2008) 一个介绍 概率论及其应用,第2卷,威利。

Pfeiffer,P.E.(1978年) 的概念 概率论,多佛尔出版物。

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "瞬间产生功能", 列克特ures on 概率论 和 mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/fundamentals-of-probability/moment-generating-function.

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