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瞬间产生功能

通过 博士

的真人在线斗地主 随机变量 经常 就其矩量生成函数（mgf）而言， 函数的导数为零等于 片刻 随机变量的时刻 生成函数具有很大的实际意义，不仅因为它们可以 可用于轻松导出矩，还因为概率真人在线斗地主 由其mgf唯一确定，这一事实加上 mgfs的易处理性，使其成为解决若干问题的便捷工具，例如 作为推导两个或多个随机变量之和的真人在线斗地主。

必须指出的是，并非所有随机变量都具有矩 功能。但是，所有随机变量都具有 特征函数，另一种转换 拥有与mgf相似的属性。

目录

目录

  1. 定义

  2. mgf衍生时刻

  3. 通过力矩生成函数表征真人在线斗地主

  4. 更多细节

    1. 线性变换的矩产生函数

    2. 相互独立的随机变量之和的矩生成函数

  5. 解决的练习

    1. 练习1

    2. 练习2

    3. 练习3

  6. 参考文献

定义

以下是正式定义。

定义 让 X 是一个随机变量。如果 期望值 [eq1] 存在并且对于所有实数都是有限的 $ t $ 属于一个封闭的间隔 [eq2], 与 $h>0$, 那我们说 X 具有瞬间产生功能， 功能[eq3]是 叫做 力矩产生功能 的 X.

下一个示例显示了 指数的 随机变量 计算。

例 让 X 是一个连续的随机变量 支持[eq4]和 概率密度 功能[eq5]哪里 $ lambda $ 是一个严格的正数。期望值 [eq6] 可以计算为 如下：[eq7]此外， 上述期望值存在，并且对于任何 [eq8], 提供 [eq9]. 作为结果， X 拥有 mgf：[eq10]

mgf衍生时刻

矩生成函数的名字是因为它可以被使用 推导的时刻 X, 如以下命题所述。

主张 如果是随机变量 X 拥有mgf [eq11], 然后 $ n $-th 的时刻 X, 表示为 [eq12], 存在并且对任何事物都是有限的 $ nin U {2115} $. 此外，[eq13]哪里 [eq14] 是个 n-th 的导数 [eq15] 关于 $ t $, 在该点评估 $t=0$.

证明

证明上述主张相当 复杂，因为必须处理很多分析细节（请参见 例如 菲佛-2012）。然而，直觉是 直截了当。由于期望值是线性算子，因此 微分是线性运算，在适当条件下我们可以 通过预期与众不同 值：[eq16]制造 替代 $t=0$, 我们 获得[eq17]

下一个示例显示了如何应用此命题。

例 在前面的示例中，我们证明了指数的mgf 随机变量 是[eq18]的 的期望值 X 可以通过取 mgf：[eq19]和 在评估它 $t=0$:[eq20]的 第二时刻 X 可以通过取 mgf：[eq21]和 在评估它 $t=0$:[eq22]和 等更高的时刻。

刻画真人在线斗地主特征 generating 功能

mgf的最重要属性如下。

命题（平等 真人在线斗地主） 让 X 和 Y 是两个随机变量。表示为 [eq23] 和 [eq24] 其 分配 职能 和 [eq25] 和 [eq26] 他们的mgfs。 X 和 Y 具有相同的真人在线斗地主（即， [eq27] 对于任何 x) 当且仅当它们具有相同的mgfs（即， [eq28] 对于任何 $ t $）。

证明

对此有一个全面的证明 主张见例如 费勒（2008）。我们只是给 特殊情况的非正式证明，其中 X 和 Y 是仅取有限多个值的离散随机变量。 “仅当” 部分是微不足道的。如果 X 和 Y 具有相同的真人在线斗地主 然后[eq29]的 “如果”部分证明如下。表示为 R_X 和 $ R_ {Y} $ 的支持 X 和 Y 和 [eq30] 和 [eq31] 其 概率质量 职能。表示为 A 两者的结合 支持：[eq32]和 通过 [eq33] 的要素 A. 的mgf X 可以写 如 [eq34]通过 相同的标记， Y 可以写 如：[eq35]如果 X 和 Y 具有相同的mgf，那么对于任何 $ t $ 属于一个封闭的社区 零[eq36]和[eq37]重新排列 条款，我们 获得[eq38]这个 可能对任何人都适用 $ t $ 仅属于零的封闭邻域 如果[eq39]对于 每一个 i. 因此，概率质量函数为 X 和 Y 相等。结果，它们的真人在线斗地主函数也相等。

必须强调的是，这一主张非常重要且相关 从实际角度来看：在许多情况下，我们需要证明两个 真人在线斗地主相等，证明当下相等就容易得多 生成函数比证明真人在线斗地主函数相等。 另请注意，真人在线斗地主函数的相等性可以在 通过概率质量函数相等的命题（如果 X 和 Y 是 离散随机 变数）或相等的概率密度函数（如果 X 和 Y 是 连续 随机变量）。

更多细节

以下各节包含有关mgf的更多详细信息。

矩的产生函数 线性变换

让 X 是拥有mgf的随机变量 [eq25]. 定义[eq41]哪里 $ a，bin U {211d} $ 是两个常数， $b eq 0$. 然后，随机变量 Y 拥有mgf [eq26] 和[eq43]

证明

根据mgf的定义，我们 有[eq44]明显， 如果 [eq25] 在封闭的间隔内定义 [eq46], 然后 [eq26] 在间隔上定义 [eq48].

矩的产生函数 相互独立的随机变量之和

让 X_1, ...， X_n 是 n 相互独立的随机变量. 让 Z 成为他们的 和：[eq49]然后， 的mgf Z 是的mgfs的乘积 X_1, ...， X_n:[eq50]

证明

通过使用 mgf的定义以及相互独立的属性 变量：[eq51]

解决的练习

有关矩量生成功能的一些已解决的练习可以在下面找到。

练习1

让 X 是具有一个 伯努利真人在线斗地主。它的支持 R_X 是[eq52]和 它的 概率质量 功能 [eq53] 是[eq54]哪里 [eq55] 是一个常数。推导力矩产生函数 X, 如果存在。

解

根据力矩产生的定义 功能，我们 有[eq56]明显， 矩生成函数存在并且定义明确，因为上面 期望值存在于任何 R中的t.

练习2

让 X 是带有力矩产生的随机变量 功能[eq57]派生 的方差 X.

解

我们可以使用以下公式 计算 方差：[eq58]的 的期望值 X 通过采用产生矩的一阶导数来计算 功能：[eq59]和 在评估它 $t=0$:[eq60]的 第二 时刻 的 X 通过采用产生矩的二阶导数来计算 功能：[eq61]和 在评估它 $t=0$:[eq62]因此，[eq63]

练习3

随机变量 X 据说有一个 卡方真人在线斗地主 与 n 自由度，如果其矩生成函数定义为任何 $ frac {1} {2} $ 这是平等的 至[eq64]定义 [eq65]哪里 X_1 和 X_2 是两个独立的随机变量，具有卡方真人在线斗地主 $ n_ {1} $ 和 $ n_ {2} $ 自由度分别。证明 Y 具有卡方真人在线斗地主 $ n_ {1} + n_ {2} $ 自由程度。

解

瞬间产生功能 X_1 和 X_2 是[eq66]的 独立随机变量之和的矩生成函数为 他们瞬间产生的产物 职能：[eq67]因此， [eq26] 是卡方随机变量的矩生成函数，其中 $ n_ {1} + n_ {2} $ 自由程度。作为结果， Y 具有卡方真人在线斗地主 $ n_ {1} + n_ {2} $ 自由程度。

参考文献

费勒·W（2008） 一个介绍 概率论及其应用，第2卷，威利。

Pfeiffer，P.E.（1978年） 的概念 概率论，多佛尔出版物。

如何引用

请引用为：

Taboga, Marco (2017). "瞬间产生功能", 列克特ures on 概率论 和 mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/fundamentals-of-probability/moment-generating-function.

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