在Statlect上搜索真人在线斗地主和统计术语
统计列克特
指数 > 的基本原理 可能性

可能性

通过 博士

本讲座定义了真人在线斗地主的概念并介绍了其主要概念 属性。

目录

真人在线斗地主的定义

简明扼要地开始真人在线斗地主论课程, 简单而直观但严格的真人在线斗地主定义。不幸, 这是不可能的。

一方面,对真人在线斗地主的严格定义需要复杂的 数学仪器,并且非常不直观。

另一方面,简单的定义常常会误导人们,或者充其量是, 重言式的。

例如,我们可以说真人在线斗地主是一个量化 当尚不知道事件是否会发生时给定事件的可能性 发生与否。此定义是循环的,因为它使用了 可能性,是真人在线斗地主的同义词。尽管如此,我们可以将其用作 一个起点。它强调了两个重要事实:

通过阐述这两个事实,我们将(几乎完全)给出严格的 真人在线斗地主的定义。为此,我们将介绍事件的概念 在下一节中。然后,我们将真人在线斗地主定义为 将数字附加到事件上并满足某些“直观”属性。

在本教程中,我们将假定您熟悉基础知识 集理论。如果不是,则可以修改基础知识 这里.

样本空间,样本点和事件

当我们开始思考时,我们要做的第一件事 事件的可能性是列出一些可能 发生。此列表中的内容构成一个集合,我们用 欧米茄. 我们需要 欧米茄 满足以下两个属性:

  1. 互斥结果。里面只有一件事 欧米茄 可以发生。也就是说,如果 [eq1] 发生,那么集合中的所有东西都没有 [eq2] 可以发生。

  2. 详尽的结果。至少其中一件事 欧米茄 将会发生。

如果 欧米茄 满足这两个属性称为 样本空间, 或所有可能结果的空间。此外,

这是示例空间的示例。

假设我们掷骰子。六个数字(从1到6)可以面朝上出现,但是 我们尚不知道会出现其中之一。样本空间 是[eq4]每 这六个数字中的一个是样本点。结果是互斥的 因为一次只能出现一个数字。结果也是 详尽无遗,因为六个数字中至少有一个在出现后会面朝上 我们扔死。 定义[eq5]E 是一个事件( 欧米茄)。 可以说是“奇数朝上出现”。现在 定义[eq6]F 是一个事件,可以描述为“数字6朝上出现”。

注意样本空间 欧米茄 本身是一个事件,因为每个集合都是其自身的子集。它被称为 确定事件。

还有空集 $ emptyset $ 是一个事件,因为它可以被认为是 欧米茄. 它被称为 不可能的事件.

活动空间

现在我们已经定义了事件的概念,我们可以想到 事件的可能性 E 作为附加的数字 E 告诉我们那有多大可能 E 将会发生。不幸的是,这还不是真正的定义,因为“可能” 是“可能”的同义词。我们又在循环!但是我们离 比以前的定义。为了更加接近,我们需要引入另一个 概念,事件空间。

A 活动空间,我们用 $ ciFourier $, 是一组的子集 欧米茄. 换句话说, $ ciFourier $ 是一个事件。

考虑上一个示例中介绍的相同样本空间( 死):[eq7]定义 的 大事记[eq8]的 组[eq9]是 事件空间(请记住, 欧米茄$ emptyset $ 是事件)。

在严格的真人在线斗地主论中,事件的空间需要满足 某些特性(必须是sigma代数)。目前,我们 没有讨论这些属性,但我们将简要介绍它们 下面,在定义了真人在线斗地主之后。

真人在线斗地主由三个属性定义

现在我们准备定义真人在线斗地主。

定义 表示为 $ QTR {rm} {P} $ 事件空间中的功能 $ ciFourier $ 实数集,即分配数字的函数 [eq10] 每个事件 $ Ein ciFourier $. 功能 $ QTR {rm} {P} $ 是一个 真人在线斗地主测度 当且仅当它满足 以下三个属性:

  1. 范围: [eq11]对于 任何事件 E.

  2. 当然可以: [eq12]

  3. Sigma可加性 (或可加性): [eq13]对于 任何 顺序 [eq14] 互斥事件(例如, [eq15] 如果 $i
eq j$)。

当真人在线斗地主测度 $ QTR {rm} {P} $ 分配一个数字 [eq16] 参加一个活动 E, 然后 [eq17] 称为 E.

我们终于完成了!我们已经定义了真人在线斗地主!现在我们需要确保 我们完全理解该定义。

让我们回顾一下到目前为止已完成的主要步骤:

最后一点需要解释。但是在尝试了解为什么 上面的三个属性用于定义真人在线斗地主,让我们对其进行分析 更多详情。

范围属性是不言自明的。这只是意味着 一个事件是一个介于0和1之间的实数。可以将其视为一个 约定:我们认为真人在线斗地主必须为正数,并且 事件最多可能具有1。

确保事物属性表示最高可能真人在线斗地主需要为 分配给肯定事件(请记住样本空间 欧米茄 需要详尽无遗,所以肯定是其中的一件事 欧米茄 会发生)。

Sigma可加性属性比较麻烦。可以证明(请参见 下面)如果sigma-additivity成立,那么 以下 持有:[eq18]

后一种属性称为 有限可加性,虽然非常 类似于sigma-additivity,更易于解释。它说,如果两个 事件是不相交的,那么一个或另一个发生的真人在线斗地主 等于他们各自的真人在线斗地主之和。

为了具体起见,我们现在举一个简单的例子来说明这些属性 的真人在线斗地主。

假设我们掷硬币。可能的结果要么是尾巴 ($ T $) 或头 (H), 那 是的[eq19]考虑 的空间 大事记[eq20] 以下真人在线斗地主分配满足列举的属性 以上:[eq21]所有 这些真人在线斗地主在0到1之间,因此可以满足range属性。 [eq22], 因此确定事物属性得到满足。也满足sigma可加性 因为[eq23]和 四对夫妇 $ left(T,H
权)$, [eq24], [eq25], [eq26] 是仅有的四对不相交的集合。

既然我们已经熟悉了真人在线斗地主的三个属性, 基本的问题尚待回答:为什么这些特性被 选择定义真人在线斗地主?基本上,这是出于历史原因。之前 著名的俄罗斯数学家Andrey Kolmogorov提出了这一点 定义,统计学家提出了其他定义(请参阅下一个 部分)。这些定义都有缺陷,但是它们都可以证明 真人在线斗地主需要满足上述三个属性。柯尔莫哥洛夫提议 放弃先前的定义,而是将这三个属性用作 定义。这种方法已经在以下方面证明是成功的 数学称为测度理论。实际上,Kolmogorov意识到 真人在线斗地主是一种特殊的度量(以1为界),并适应了 测量,与上面给出的真人在线斗地主定义非常相似。

在下一部分中,我们报告一些旧的真人在线斗地主定义。 尽管存在缺陷,但它们可以帮助提高我们对概念的理解 的真人在线斗地主。

真人在线斗地主的旧定义

本节简要讨论了真人在线斗地主的一些旧定义。虽然 它们都不是完全严格和连贯的,本身也不足以 阐明真人在线斗地主的含义,它们都涉及重要方面。

真人在线斗地主的经典定义

根据经典定义,当所有可能的结果 实验同样有可能发生,事件发生的真人在线斗地主就是比率 在有利于事件的结果数量与总数之间 可能的结果数。虽然直观,但此定义有两个主要方面 缺点:

  1. 它是循环的,因为它使用真人在线斗地主的概念来定义 真人在线斗地主:基于“均等”结果的假设,其中 同样可能意味着“具有相同的真人在线斗地主”;

  2. 它的范围受到限制,因为它不允许在以下情况下定义真人在线斗地主: 可能的结果并非都一样。

真人在线斗地主论的频率定义

根据常客的定义,事件的真人在线斗地主为 事件本身的相对频率,在大量 同一实验的重复。换句话说,这是限制 的 比:[eq27]收敛 当实验的重复次数趋于无穷大时。尽管 它的直观吸引力,也有一些重要的缺点:

  1. 假设所有真人在线斗地主实验可以重复多次, 这是错误的;

  2. 它也有点循环,因为它隐式依赖于 大数定律,只能导出 在确定真人在线斗地主之后。

真人在线斗地主的主观定义

根据主观主义者的定义,事件的真人在线斗地主为 与个人接受该事件下注的意愿有关。 假设彩票在事件发生时还清了1美元,而在 如果事件没有发生。要求个人为此设定价格 彩票,无论是购买者还是购买者,她都必须保持冷漠 票的卖家。事件的主观真人在线斗地主定义为 等于个人设定的价格。这个定义也有一些 缺点:

  1. 不同的人可以设置不同的价格,因此可以防止 客观评估真人在线斗地主;

  2. 个人愿意参加彩票的价格可以是 受其他与真人在线斗地主无关的因素的影响;对于 例如,一个人的投注行为可能会受到其影响 优先。

真人在线斗地主的其他性质

以下各节讨论了按真人在线斗地主享有的其他属性。

空集的真人在线斗地主为0

在这里我们证明 [eq28].

证明

定义一个 顺序 事件如下: [eq29]的 顺序是不相交事件的序列,因为空集不相交 从任何其他集合。然后, [eq30]哪一个 暗示[eq31][eq28].

sigma加法函数是加法

sigma-additive函数也是 添加剂:[eq33]

证明

定义一系列事件,如下所示: [eq34]的 顺序是不相交事件的序列,因为空集不相交 从任何其他集合。 然后,[eq35]

补数的真人在线斗地主

E 成为一个事件 $ E ^ {c} $ 它的补码(即, 欧米茄 不属于 E)。 然后,[eq36]

证明

注意 那[eq37]和 那 E$ E ^ {c} $ 是不相交的集合。然后,使用确定事物属性和有限 可加性,我们 获得[eq38]哪一个 暗示[eq39]

换句话说,事件未发生的真人在线斗地主等于1 减去发生的可能性。

工会的真人在线斗地主

我们已经看到了如何计算 [eq40] 在特殊情况下 EF 是两个不相交的事件。在更一般的情况下,它们不是 必然脱节,公式 是[eq41]

证明

证明如下。初音 那[eq42]所以 那[eq43]此外 事件 $杯F $ 可以写成 如下:[eq44]和 右侧的三个事件是不相交的。 从而,[eq45]

真人在线斗地主单调性

如果有两个事件 EF 如此 $ Esubseteq F $, 然后[eq46]

证明

这很容易通过使用证明 可加性:[eq47]哪里 后一个不平等是以下事实的结果: [eq48] (通过真人在线斗地主的range属性)。

换句话说,如果 E 发生的频率比 F, 因为后者考虑了更多的事件,所以 E 必须小于 F.

严格的定义

在本节中,我们提供事件和事件的完全严格的定义。 可能性。

对事件的更严格定义

上面给出的事件定义并不十分严格。经常, 统计人员使用真人在线斗地主模型,其中样本的某些子集 空间不视为事件。这种情况主要发生在以下两个方面 原因:

  1. 有时,样本空间是一个非常复杂的集合;做东西 更简单地说,注意力只限于样本空间的某些子集;

  2. 有时,可能只将一些真人在线斗地主连贯地分配给某些真人在线斗地主 样本空间的子集;在这些情况下,只有 可以分配的真人在线斗地主被视为事件。

表示为 $ ciFourier $ 事件的空间,即 欧米茄 被认为是事件。在严格的真人在线斗地主论中, 事件必须是 西格玛代数。

定义 $ ciFourier $ 是 a 西格玛代数欧米茄 如果是一组子集 欧米茄 满足以下三个属性:

  1. 整套。 [eq49].

  2. 互补下的封闭。如果 $ Ein ciFourier $ 然后也 [eq50] (补码 $ E ^ {c} $ 是的所有元素的集合 欧米茄 不属于 E)。

  3. 在可数的工会下实行封闭。如果 [eq51] 是...的子集序列 欧米茄 属于 $ ciFourier $, 然后[eq52]

为什么需要一定数量的事件来满足这些属性?除了一个 许多数学原因,似乎很直观 满意(的确是第一个接近sigma代数的最佳方法 时间是要记住他们的财产并说服自己 合理)。让我们看看为什么。

属性1)表示事件空间必须包含事件 "会有事情发生”,这是一个微不足道的要求!

属性2)表示,如果“集合中的一件事 E 将 发生“被认为是事件,那么也”没有任何一个 集合中的东西 E 将 发生“被视为事件。这很自然:如果您 考虑事件发生的可能性,那么,根据需要,您 还必须同时考虑同一事件的可能性 不会发生。

属性3)有点复杂。但是,以下属性暗示 3),可能更容易 解释:[eq53]它 表示如果“其中的一件事 E 将 发生“和”其中的一件事 F 将 发生“被认为是两个事件,那么也”之一 里面的东西 E 要么 其中的一件事 F 将 发生”必须视为一个事件。这只是意味着,如果您 能够分别评估发生两个事件的可能性,那么您 必须能够评估其中至少一项发生的可能性。 属性3)将此直观属性扩展到 可数的 事件集合: 由于数学原因需要扩展,以得出一定的连续性 真人在线斗地主测度的性质。

让我们对术语作最后的评论:

更严格的真人在线斗地主定义

上面给出的真人在线斗地主定义并不完全严格。现在 我们已经定义了西格玛代数和事件空间,我们可以使其完全 严格。

定义$ ciFourier $ 在样本空间上成为sigma代数 欧米茄. 功能 [eq54] 是一个 真人在线斗地主测度 当且仅当它满足 以下两个属性:

  1. 当然可以 [eq22].

  2. Sigma可加性。让 [eq56] 是的任何元素序列 $ ciFourier $ 这样 $i
eq j$ 暗示 [eq15]. 然后,[eq13]

没有新的内容添加到真人在线斗地主的定义中 前几节。这个更严格的定义只是澄清了 真人在线斗地主测度是在事件的西格玛代数上定义的函数。因此, 不可能正确说出样本子集的真人在线斗地主 空间 欧米茄 不属于sigma代数的 $ ciFourier $ (即,针对不可测量的子集)。

三重 [eq59] 被称为 真人在线斗地主空间.

解决的练习

您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。

练习1

从装有彩色球的an中随机抽出一个球。球罐 可以是红色或蓝色(无法使用其他颜色)。的真人在线斗地主 画一个蓝色的球是 $1/3$. 开红球的真人在线斗地主是多少?

样本空间 欧米茄 可以表示为两个不相交事件的并集 EF:[eq60]哪里 事件 E 可以说是“画了一个红球” F 可以说是“画了一个蓝色的球”。注意 E 是...的补充 F:[eq61]

我们知道 [eq62], 画蓝色的真人在线斗地主 球:[eq63]

我们需要找到 [eq64], 画一个红色球的真人在线斗地主。使用公式计算真人在线斗地主 的 补充:[eq65]

练习2

考虑一个样本空间 欧米茄 包括三个可能 结果:[eq66]

假设分配给三个可能结果的真人在线斗地主 是[eq67]

你能找到一个真人在线斗地主为 $3/4$?

有两个事件的真人在线斗地主为 $3/4$.

第一个 是[eq68]

通过使用不相交事件并集真人在线斗地主的公式,我们 得到[eq69]

第二个 是[eq70]

通过再次使用不连续事件并集的真人在线斗地主公式, 我们 获得[eq71]

练习3

考虑一个样本空间 欧米茄 包括四个可能 结果:[eq72]

考虑三个事件 E, F$ G $ 定义为 如下:[eq73]

假设他们的真人在线斗地主 是[eq74]

现在,考虑第四件事 H 定义为 如下:[eq75]

[eq76].

首先请注意, 可加性:[eq77]

因此,为了计算 [eq76], 我们需要计算 [eq79][eq80].

[eq79] 通过使用加性找到 F:[eq82]所以 那[eq83]

[eq84] 通过以下事实发现:一减去事件的真人在线斗地主等于 其补码的真人在线斗地主以及 [eq85]:[eq86]

作为一个 后果,[eq87]

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "可能性", 列克特ures 上 可能性 的ory 和 mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/fundamentals-of-probability/probability.

这本书

该网站上提供的大多数学习材料现在都以传统教科书格式提供。