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分位数

通过 博士

本讲座介绍并讨论了分位数的概念 随机变量的概率分布。我们先给出一个正式的 分位数的定义,然后我们讨论其含义。

目录

定义

为了理解分位数的定义,您需要记住 的 分配功能 [eq1] 随机变量 X 是 定义:[eq2]

分位数定义如下。

定义X 是具有分布函数的随机变量 [eq3]. 让 [eq4]. 的 p分位数 的 X, 表示为 [eq5][eq6]

当分配函数是连续的并且严格增加时 R, 然后最小的 x 那 满足[eq7]是 独特的 x 那 满足[eq8]

此外,分布函数具有反函数 $ F_ {X} ^ {-1} $ 我们可以 写[eq9]

如果是随机变量 X 有一个标准的柯西分布,那么它的分布函数 是[eq10]哪一个 是连续且严格增加的功能。的 p分位数 的 X[eq11]

但是,在许多情况下,分布函数不连续或不连续 可逆(或两者皆可),我们需要应用上面的定义才能 得出随机变量的分位数。以下示例说明 一种这样的情况。

X 成为 离散随机 变量 支持[eq12] 概率质量 功能[eq13]的 的分布函数 X[eq14]哪一个 显然是不可逆的。现在,假设我们要计算 p分位数 对于 $ p = 0.2 $. 没有 x 这样 那[eq15]然而, 最小的 x 这样 [eq16]$x=0$ 因为 [eq17] 对于 $x<0$[eq18] 对于 $x=0$. 因此,我们 有[eq19]

解释

当有一个 x 这样 [eq20], 分位数 [eq21] 可以解释为一个临界点:具有概率 p, 随机变量的实现将小于或等于 [eq22]; 很有可能 $1-p$, 它会大于 [eq23].

分位数函数

什么时候 [eq24] 被认为是 p, 那是, [eq25], 它被称为 分位数功能.

分位数函数通常表示为 通过[eq26]

如上所示,当分布函数是连续的时 并严格增加 R, 然后分位数函数与分布的逆函数重合 功能。

更多细节

有关分位数的更多详细信息,请参见以下小节。

特殊分位数

一些分位数具有特殊名称:

其他定义

尽管上面给出的分位数的定义通常是 应用于概率论和数理统计中, 可以给出其他略有不同的定义。要查看评论,请参阅 http://mathworld.wolfram.com/Quantile.html.

终点

请注意,在分位数的定义中, [eq35]. 这是因为 $p=0$, 我们有 [eq36]随你 的分布 X. 相反,对于 $p=1$, 我们有 [eq37] 通常没有很好的定义:例如,如果 X 有一个 正态分布, 然后[eq38]是 定义不明确是因为 组[eq39]是 空的。

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "分位数", 列克特ures on 可能性 的ory 和 mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/fundamentals-of-probability/quantile.

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