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随机变量

经过 ，博士学位

随机变量是一个变量，其值取决于a的结果 概率实验。它的价值是一个先知未知，但它已知 一旦实现了实验的结果。

目录

目录

  1. 定义

  2. 符号

  3. 例子

  4. 离散随机变量

  5. 连续随机变量

  6. 一般随机变量

  7. 更多细节

    1. 连续变量的分布函数的衍生

    2. 连续随机变量和零概率事件

    3. 一个更严格的随机变量定义

  8. 解决练习

    1. 练习1

    2. 练习2

    3. 练习3.

    4. 练习4.

    5. 练习5.

    6. 练习6.

定义

Denote by 欧米茄 the sample space (the set of all 实验可能的结果）。一个随机变量会员一个真实的 每个元素的数字 欧米茄, 如以下定义所述。

定义 A 随机变量 X 是来自样本空间的功能 欧米茄 到了一组实数 R:[eq1]

严谨（测量定理）概率理论，功能 X 也需要可衡量（见 a more rigorous 随机变量的定义）。

The real number [eq2] associated to a sample point 欧米茄在欧米茄 is called a 实现 随机变量。这套 所有可能的实现都被称为 支持 和 is denoted by r_x..

符号

关于符号的一些评论是有序的：

  1. The dependence of X on 欧米茄 经常省略，即我们只写的 X instead of [eq3].

  2. If [eq4], 表示法的确切含义 [eq5] is the following:[eq6]

  3. If [eq4], 我们有时会使用符号 [eq8] with the following meaning:[eq9]在 this case, $ qtr {rm} {p} _ {x} $ 将被解释为对真实数字集的概率措施， 随机变量引起 X. 通常，统计学家构造了随机变量的概率模型 X 通过直接指定来定义 $ qtr {rm} {p} _ {x} $, 不指定示例空间 欧米茄.

例子

以下示例说明了如何实现随机变量的方法 与概率实验的结果有关。

例子 假设我们翻转一枚硬币。可能的结果是尾巴 ($ t $) or head (H）， that is,[eq10]这 两个结果分配相等 probabilities:[eq11]如果 tail ($ t $) 是结果，我们赢得一美元，如果是 (H) 结果是我们失去一美元的结果。数量 X 我们赢了（或丢失）是一个随机变量，定义为 follows:[eq12]这 赢得一美元的概率 is[eq13]这 失去一美元的可能性 is[eq14]这 失去两美元的可能性 is[eq15]

离散随机变量

大多数时候，统计学家处理两种特殊的随机 variables:

  1. 离散随机变量;

  2. 连续随机变量。

本节定义了第一种，而下一部分介绍了第一种 second kind.

定义 A random variable X is 离散的 if

  1. its support r_x. is a countable set;

  2. there is a function [eq16], called the 概率质量功能 （或PMF或概率 function) of X, such that, for any $ xin u {211d} $:[eq17]

以下是离散随机变量的示例。

例子 A 伯努利随机变量 是 an 离散随机变量的示例。它只需两个值： 1 with probability $ q $ and 0 with probability $1-q$, where [eq18]. Its support is [eq19]. 其概率质量功能 is[eq20]

更详细地讨论了概率质量功能的性质 the lecture entitled 合法概率质量 functions。我们预计在这里，概率质量功能是 以两个基本属性为特征。

  1. 非消极性： [eq21] for any $ xin u {211d} $;

  2. 总结支持等于 1: [eq22].

事实证明，任何概率质量功能都必须满足这些问题 两个属性，也是满足这两个属性的任何功能都是 合法概率质量功能。你可以找到详细的讨论 在上述讲座中的这一事实。

连续随机变量

连续变量定义如下。

定义 A random variable X is continuous (or 绝对地 连续）如果且仅当

  1. its support r_x. is not countable;

  2. there is a function [eq23], called the 概率密度函数 （或者 pdf or density function) of X, 这样，任何间隔 [eq24]:[eq25]

我们现在用一个例子说明定义。

例子 A 均匀随机变量 (on the interval $ left [0,1 Ight] $) 是连续变量的一个例子。它可以在间隔中取得任何值 $ left [0,1 Ight] $. 相同长度的所有子间隔同样可能。它的支持是 [eq26]. 其概率密度函数 is[eq27]这 实现的概率 X 例如，属于间隔 [eq28] is[eq29]

更详细地讨论了概率密度函数的性质 在讲座中题为 合法概率密度 functions。我们预计在这里，概率密度函数是 以两个基本属性为特征：

  1. 非消极性： [eq30] for any $ xin u {211d} $;

  2. 积分 R equals 1: [eq31].

事实证明，任何概率密度函数都必须满足这些功能 两个属性，也是满足这两个属性的任何功能都是 合法概率密度函数。你可以找到详细的讨论 在上述讲座中的这一事实。

一般随机变量

随机变量，也是离散也不连续的那些 通常在其分发功能方面表征。

定义 让 X 是一个随机变量。这 分配功能 (or 累积分布函数或CDF） X is a function [eq32] such that[eq33]

如果我们知道随机变量的分发函数 X, 然后我们可以轻松计算概率 X 属于一个间隔 [eq34] as[eq35]

证明

笔记 that[eq36]在哪里 右侧的两组是不相交的。因此，由 additivity:[eq37]经过 重新排列条款，我们 get[eq35]

更多细节

在以下小节中，您可以在随机变量和随机变量中找到更多详细信息 单变量概率分布。

分布的衍生 连续变量的功能

Note that, if X is continuous, then[eq39]

因此，通过对衍生物相对于 x 我们的两侧的两侧，我们 obtain[eq40]

连续随机变量 和零概率事件

Note that, if X 是一个连续的随机变量，概率 X 承担任何特定价值 $ xin r_ {x} $ is equal to zero:[eq41]

Thus, the event [eq42] 是任何零概率事件 $ xin r_ {x} $.

The lecture entitled 零概率事件 含有对此明显矛盾的事实的彻底讨论：虽然 it can happen that [eq43], the event [eq44] 有零发生的可能性。

更严格的定义 random variable

随机变量可以通过使用更严格的方式来定义 措施理论术语，特别是概念 Σ-algebra，可测量的集合和概率空间在结束时引入 the lecture on probability.

定义 Let [eq45] be a 可能性 space， 在哪里 欧米茄 is a sample space, [eq46] 是一个事件的Sigma-algbra（子集 欧米茄) and $ qtr {rm} {p} $ 是一个概率措施 [eq47]. Let [eq48] 成为真实数字集的Borel Sigma-alagebra R （即，包含所有开放子集的最小Sigma-algabra R）。 A function [eq49] such that [eq50]为了 any [eq51] 据说是一个随机变量 欧米茄.

此定义定义可确保实现的概率 随机变量 X will belong to a set [eq51] can be defined as [eq53]在哪里 右侧的概率很好地定义，因为集合 [eq54] is measurable.

一个问题仍有待解答：为什么我们介绍了异国情调的概念 博尔西格玛 - 代数？显然，如果我们想将概率分配给子集 of R （随机变量的实现 X 可能属于），然后我们需要定义一个子集的Sigma-algebra R （请记住，我们需要一个Sigma-algebra来定义概率 严格地）。但为什么我们不能考虑更简单了解所有的集合 possible subsets of R, 哪个是sigma-algebra？简短的答案是我们无法定义一个 Sigma-algebras较大的概率测量（即，包含更多子集的 R) 比Borel Sigma-algebra：每当我们尝试这样做时，我们最终找到了一些 概率的Sigma-Addity属性的不可数集合 不持有（即，它们的概率与之不同 它们的概率）或者它们的概率不等于 一个减去它们的补充概率。

解决练习

下面可以找到一些练习解释的解决方案。

练习1

Let X 是一个离散的随机变量。让它的支持 r_x. be[eq55]

让它的概率质量功能 [eq56] be[eq57]

计算以下内容 probability:[eq58]

解决方案

通过概率的增加，我们有 that[eq59]

练习2

Let X 是一个离散的随机变量。让它的支持 r_x. 是第一个的集 $20$ natural numbers:[eq60]

让它的概率质量功能 [eq56] be[eq62]

Compute the probability[eq63]

解决方案

通过使用概率的增加性， we obtain[eq64]

练习3.

Let X 是一个离散的随机变量。让它的支持 r_x. be[eq65]

让它的概率质量功能 [eq56] be[eq67]在哪里 [eq68] is the binomial coefficient.

Calculate the probability[eq69]

解决方案

首先注意，通过 additivity:[eq70]

因此，为了计算 [eq71], 我们需要在三个点评估概率质量功能 $x=0,$, $x=1$ and $x=2$:[eq72]

Finally,[eq73]

练习4.

Let X 是一个连续的随机变量。让它的支持 r_x. be[eq74]

让它的概率密度函数 [eq75] be[eq76]

Compute[eq77]

解决方案

连续的概率 变量在给定的时间间隔中取值等于 概率密度函数 interval:[eq78]

练习5.

Let X 是一个连续的变量。让它的支持 r_x. be[eq79]

让它的概率密度函数 [eq75] be[eq81]

Compute[eq82]

解决方案

如上前的练习， probability that X 在给定的时间间隔中取值等于其密度的积分 function over that interval:[eq83]

练习6.

Let X 是一个连续的变量。让它的支持 r_x. be[eq84]

让它的概率密度函数 [eq75] be[eq86]在哪里 $ lambda.>0$.

Compute[eq87]

解决方案

如上一项练习，我们需要 compute an integral:[eq88]

如何引用

请引用：

Taboga, Marco (2017). "随机变量", Lectures on probability theory and mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/fundamentals-of-probability/random-variables.

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