随机变量是其值取决于变量a的结果的变量 概率实验。它的值是先验未知的,但是它变得已知 一旦实验结果实现。
表示为
的 样本空间 (全部
实验的可能结果)。随机变量将实数关联
每个元素的编号
,
如以下定义所述。
在严格的(测度论)概率论中,函数
也必须是可测量的(请参见 更严格
随机变量的定义)。
实数
关联到 采样点
被称为 实现 随机变量的一套
所有可能的实现都称为 支持 并由表示
.
关于符号的一些说明是按顺序进行的:
的依赖
上
通常被省略,也就是说,我们只写
代替
.
如果
,
符号的确切含义
是个
以下:
如果
,
我们有时会使用符号
与以下
含义:
在
这个案例,
被解释为实数集上的概率测度,
由随机变量引起
.
通常,统计学家会在概率模型中建立一个随机变量
通过直接指定来定义
,
没有指定样本空间
.
以下示例说明了随机变量的实现方式 与概率实验的结果有关。
例
假设我们掷硬币。可能的结果要么是尾巴
()
或头
(
),
那
是的
的
两个结果分配相等
概率:
如果
尾巴
(
)
是结果,如果赢了,我们赢一美元
(
)
是我们损失一美元的结果。数量
我们赢(或输)是一个随机变量,定义为
如下:
的
赢得一美元的可能性
是
的
损失一美元的可能性
是
的
损失两美元的可能性
是
大多数时候,统计学家会处理两种特殊的随机 变量:
离散随机变量;
连续随机变量。
本节定义第一种,下一部分介绍 第二种。
它的支持
是一个 可数集;
有一个功能
,
叫做 概率质量函数 (或pmf或概率
功能)
,
这样,对于任何
:
以下是离散随机变量的示例。
例
A 伯努利随机变量 是一个
离散随机变量的示例。它只能采用两个值:
很有可能
和
很有可能
,
哪里
.
它的支持是
.
其概率质量函数
是
概率质量函数的性质在下面更详细地讨论 演讲题目 正当概率质量 职能。我们在这里预期概率质量函数为 具有两个基本特性。
非负性:
对于任何
;
支持总和等于
:
.
事实证明,不仅任何概率质量函数都必须满足这些条件 两个属性,但是满足这两个属性的任何函数是 合法的概率质量函数。您可以找到有关的详细讨论 这个事实在前面的讲座中。
连续变量定义如下。
现在我们用一个例子来说明定义。
例
A 统一随机变量 (间隔
)
是连续变量的一个例子。在间隔内可以取任何值
.
相等长度的所有子间隔均可能。它的支持是
.
其概率密度函数
是
的
实现的概率
例如属于
是
对概率密度函数的性质进行了更详细的讨论 在题为 合法概率密度 职能。我们在这里预计概率密度函数为 具有两个基本属性:
非负性:
对于任何
;
积分超过
等于
:
.
事实证明,不仅任何概率密度函数都必须满足这些要求 两个属性,但是满足这两个属性的任何函数是 合法的概率密度函数。您可以找到详细的讨论 在前面的讲座中对此事实进行了介绍。
随机变量,既不是离散变量也不是连续变量,是 通常根据其分配功能来表征。
如果我们知道随机变量的分布函数
,
然后我们可以轻松地计算出
属于区间
如
在以下小节中,您可以找到有关随机变量和 单变量概率分布。
请注意,如果
是连续的
然后
因此,通过对
上面等式的两边,我们
获得
请注意,如果
是一个连续的随机变量,
具有任何特定值
等于
零:
因此,事件
对任何人来说都是零概率事件
.
演讲题为 零概率事件
包含对这个看似矛盾的事实的详尽讨论:
可能会发生
,
事件
发生的可能性为零。
随机变量可以通过使用 量度理论的术语,尤其是 sigma代数,可测集和概率空间在末尾引入 讲座 可能性.
定义
让
成为 概率空间,在哪里
是一个样本空间
是事件的西格玛代数(
)
和
是在
.
让
是实数集的Borel sigma-代数
(即包含所有开放子集的最小sigma-代数
)。
功能
这样
对于
任何
据说是一个随机变量
.
这个定义定义确保了实现的可能性
随机变量的
将属于一个集合
可以定义为
哪里
右边的概率得到了很好的定义,因为
是可以测量的。
有一个问题有待回答:为什么我们引入异国情调的概念
Borel sigma代数?显然,如果我们想将概率分配给子集
的
(随机变量的实现
可能属于),那么我们需要定义的子集的sigma-algebra
(请记住,我们需要一个sigma-algebra来定义概率
严格地)。但是为什么我们不能考虑更简单易懂的所有集合
的可能子集
,
哪个是西格玛代数?简短的答案是,我们无法定义
较大的sigma-代数上的概率测度(即包含更多子集
)
比Borel sigma-algebra:每次尝试这样做时,我们最终都会发现一些
概率的sigma-additability属性所针对的不可数集
不成立(即,它们的概率不同于
的概率)或不等于
一减去补码的概率。
您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。
让
是离散的随机变量。让它支持
是
让其概率质量函数
是
计算以下
可能性:
通过概率的加和,我们有
那
让
是离散的随机变量。让它支持
成为第一个
自然
数字:
让其概率质量函数
是
计算
可能性
通过概率的可加性,
我们
获得
让
是离散的随机变量。让它支持
是
让其概率质量函数
是
哪里
是个 二项式系数.
计算
可能性
首先请注意,
可加性:
因此,为了计算
,
我们需要评估这三个点的概率质量函数
,
和
:
最后,
让
是连续随机变量。让它支持
是
让其概率密度函数
是
计算
连续的概率
变量在给定间隔中取一个值,该值等于
概率密度函数
间隔:
让
是一个连续变量。让它支持
是
让其概率密度函数
是
计算
与上一练习一样,
的可能性
在给定间隔中取一个值等于其密度的整数
在那之上起作用
间隔:
让
是一个连续变量。让它支持
是
让其概率密度函数
是
哪里
.
计算
与上一练习一样,我们需要
计算一个
积分:
请引用为:
Taboga, Marco (2017). "随机变量", 列克特ures 上 可能性 的ory 和 mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/fundamentals-of-probability/random-variables.