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随机真人在线斗地主

通过 博士

随机真人在线斗地主的概念是对真人在线斗地主的多维概括 的概念 随机变量.

目录

定义

假设我们进行了一个概率实验,并且可能 实验的结果描述为 样本空间 欧米茄.

随机真人在线斗地主是一个值取决于真人在线斗地主结果的真人在线斗地主 实验定义如下。

定义欧米茄 成为样本空间。一种 随机真人在线斗地主 X 是样本空间中的函数 欧米茄K尺寸 实真人在线斗地主 $ U {211d} ^ {K} $:[eq1]

在严格的概率论中,函数 X 也必须是可测量的(度量理论中的概念-参见 更多 随机真人在线斗地主的严格定义)。

真正的真人在线斗地主 [eq2] 关联到 采样点 欧米茄中的欧米茄 被称为 实现 真人在线斗地主的真人在线斗地主。

所有可能的实现的集合称为 支持 并且是 表示为 R_X.

符号

表示为 [eq3] 可能性 事件的 $ Esubseteq欧米茄$. 处理随机真人在线斗地主时,使用以下约定:

以下示例说明如何在样本上定义随机真人在线斗地主 空间。

扔了两枚硬币。每次抛的可能结果可能是尾巴 ($ T $) 或头 (H)。 样本空间 是[eq11]的 四个可能的结果分配为相等 概率:[eq12]如果 尾巴 ($ T $) 是结果,如果赢了,我们赢一美元 (H) 是我们损失一美元的结果。二维随机真人在线斗地主 X 表示我们在每笔交易中赢(或输)的金额 折腾:[eq13]的 两次掷中赢得一美元的概率 是[eq14]的 第二次抛丢一美元的可能性 是[eq15]

离散随机真人在线斗地主

本节和下一节讨论离散和连续真人在线斗地主,其中两个 具有特殊性质的随机真人在线斗地主,通常在 应用程序。

离散真人在线斗地主定义如下。

定义 随机真人在线斗地主 X离散的 当且仅当

  1. 它的支持 R_X 是一个 可数的 组;

  2. 有一个功能 [eq16], 叫做 联合概率质量 功能 (或联合pmf或联合概率函数) X, 这样,对于任何 $ xin U {211d} ^ {K} $:[eq17]

以下符号可互​​换使用来表示关节 概率质量 功能:[eq18]

在第二和第三种表示法中 K 的组成部分 X 明确指出。

假设 X 是一个 $2$尺寸 随机真人在线斗地主的成分 (X_1X_2) 只能采用两个值: 1 要么 0. 此外,以下四种可能的组合 01 可能性都一样。 X 是离散真人在线斗地主的示例。它的支持是 [eq19]它的 概率质量函数 是[eq20]

连续随机真人在线斗地主

连续真人在线斗地主定义如下。

定义 随机真人在线斗地主 X连续 (要么 绝对 连续的),如果 并且只有在

  1. 它的支持 R_X 不可数;

  2. 有一个功能 [eq21], 叫做 联合概率密度 功能 (或联合pdf或联合密度函数)的 X, 这样,对于任何一组 [eq7] 哪里[eq23]的 的可能性 X 属于 A 可以计算为 如下:[eq24]提供 以上多重积分定义明确。

以下符号可互​​换使用来表示关节 概率密度 功能:[eq25]

在第二和第三种表示法中 K 随机真人在线斗地主的分量 X 是 明确指出。

假设 X 是一个 $2$尺寸 随机真人在线斗地主的成分 (X_1X_2) 是独立的 统一随机变量 (在 间隔 $left[ 0,1
ight] $)。 然后, X 是连续真人在线斗地主的一个例子。它的支持 是[eq26]它的 联合概率密度函数 是[eq27]的 实现的概率 X 落在矩形 [eq28][eq29]

一般随机真人在线斗地主

随机真人在线斗地主,既不是离散的也不是连续的,通常是 用他们的联合分布函数描述。

定义 X 是随机真人在线斗地主。的 联合分配函数 (或联合 df,或联合累积分布函数,或联合cdf) X 是一个功能 [eq30] 这样 那[eq31]哪里 的组成部分 Xx 用表示 $ X_ {k} $$ x_ {k} $ 分别为 $ k = 1,ldots,K $.

以下符号可互​​换使用来表示关节 分配 功能:[eq32]

在第二和第三种表示法中 K 随机真人在线斗地主的分量 X 是 明确指出。

联合经销

有时,我们谈论 联合分配 随机的 真人在线斗地主,而不指定我们是否要引用

这种歧义是合理的,因为

  1. 联合pmf完全确定(并完全取决于) 离散真人在线斗地主的联合分布函数;

  2. 联合pdf完全确定(并完全由其决定) 连续真人在线斗地主的联合分布函数。

在本讲座的其余部分中,当我们使用 正在做出既适用于分布函数又适用于 随机真人在线斗地主的概率质量(或密度)函数。

更多细节

以下小节包含有关随机真人在线斗地主的更多详细信息。

随机矩阵

随机矩阵是其条目是随机变量的矩阵。

不必为随机矩阵开发单独的理论,因为 随机矩阵始终可以写为随机真人在线斗地主。

给定一个 $ Kimes L $ 随机矩阵 A, 其真人在线斗地主化,表示为 [eq33], 是个 $ KLimes 1 $ 通过堆叠的列获得的随机真人在线斗地主 A 在彼此之上。

A 如下 2元2元 随机 矩阵:[eq34]的 真人在线斗地主化 A 以下是 $ 4imes 1 $ 随机 真人在线斗地主:[eq35]

什么时候 [eq36] 是离散真人在线斗地主,那么我们说 $ A $ 是一个离散随机矩阵, A 只是的联合pmf [eq36].

同样,当 [eq36] 是一个连续真人在线斗地主,那么我们说 A 是一个连续的随机矩阵,并且联合pdf A 只是的联合pdf [eq36].

的 随机真人在线斗地主的边际分布

X_i 成为 i-th 一个的组成部分 K尺寸 随机真人在线斗地主 X.

分配功能 [eq40]X_i 叫做 边际分布函数 X_i.

如果 X 是离散的 X_i 是一个 离散随机 变量 及其 概率质量 功能 [eq41] 叫做 边际概率质量函数 X_i.

如果 X 是连续的,然后 X_i 是一个 连续 随机变量 及其 概率密度 功能 [eq42] 叫做 边际概率密度函数 X_i.

联合分配的边际化

推导组件分布的过程 X_i 随机真人在线斗地主 X 从联合分配 X 被称为 边缘化.

边缘化也可以有更广泛的含义:它可以指的是 推导一组组件的子集的联合分布 X 从联合分配 X.

例如,如果 X 是具有三个分量的随机真人在线斗地主 (X_1, X_2$ X_ {3} $), 我们可以边缘化的联合分布 X_1, X_2$ X_ {3} $ 找出联合分布 X_1X_2 (在这种情况下,我们说 $ X_ {3} $ 在联合分配中被边缘化 X_1, X_2$ X_ {3} $)。

的 离散真人在线斗地主的边际分布

X_i 成为 i-th 一个的组成部分 K尺寸 离散随机真人在线斗地主 X. 的 边际概率质量函数 X_i 可以从的联合概率质量函数得出 X 如 如下:[eq43]哪里 总和超过 组[eq44]

换句话说, $ X_ {i} = x $ 作为的所有真人在线斗地主的概率之和而获得 R_X 这样他们 i-th 分量等于 x.

离散分布的边际化

X_i 成为 i-th 离散随机真人在线斗地主的分量 X. 通过边缘化 X_i 脱离联合分配 X, 我们获得了剩余成分的联合分布 X, 也就是说,我们获得随机真人在线斗地主的联合分布 $ X _ {-i} $ 定义为 如下:[eq45]

的联合概率质量函数 $ X _ {-i} $ 计算为 如下:[eq46]哪里 总和超过 组[eq47]

换句话说,联合概率质量函数为 $ X _ {-i} $ 可以通过对的联合概率质量函数求和来计算 X 超过的所有值 $ x_ {i} $ 属于 X_i.

边际分布 a 连续 vector

X_i 成为 i-th 一个的组成部分 K尺寸 连续随机真人在线斗地主 X. 的 边际概率密度函数 X_i 可以从的联合概率密度函数得出 X 如 如下:[eq48]

换句话说,联合概率密度函数在 $ x_ {i} = x $, 关于除以下以外的所有变量进行积分 $ x_ {i} $ (因此,它总共集成了 $K-1$ 次)。

连续分布的边际化

X_i 成为 i-th 连续随机真人在线斗地主的分量 X. 通过边缘化 X_i 脱离联合分配 X, 我们获得了剩余成分的联合分布 X, 也就是说,我们得到随机真人在线斗地主的联合分布 $ X _ {-i} $ 定义为 如下:[eq49]

的联合概率密度函数 $ X _ {-i} $ 计算为 如下:[eq50]

换句话说,联合概率密度函数为 $ X _ {-i} $ 可以通过积分的联合概率密度函数来计算 X 关于 $ x_ {i} $.

分布函数的偏导数 连续真人在线斗地主

请注意,如果 X 是连续的 然后[eq51]

因此,通过 K-th 关于的阶偏偏导数 [eq52] 上面等式的两边,我们 获得[eq53]

更严格的定义 random vector

我们在这里报告了更严格的随机真人在线斗地主定义,方法是使用 度量理论的形式主义。此定义类似于 讲座中给出的测量理论定义 随机变量, 您应该参考以获得更详细的解释。

定义[eq54] 成为 概率空间。让 [eq55] 是Borel的Sigma代数 $ U {211d} ^ {K} $ (即,最小的sigma代数,其中包含所有开放的超矩形 $ U {211d} ^ {K} $)。 功能 [eq56] 这样 [eq57]对于 任何 [eq58] 据说是一个随机真人在线斗地主 欧米茄.

这个定义确保了实现的可能性 随机真人在线斗地主 X 将属于一个集合 [eq58] 可以定义为 [eq60]因为 集合 [eq61] 属于sigma-algebra [eq62] 因此,它的概率是明确定义的。

解决的练习

下面可以找到一些关于随机真人在线斗地主的已解决练习。

练习1

X 成为 $ 2imes 1 $ 离散随机真人在线斗地主,并通过 X_1X_2.

让支持 X 成为所有人的集合 $ 2imes 1 $ 真人在线斗地主,使其条目属于前三个自然数的集合 数字,即 [eq63]哪里[eq64]

让联合概率质量函数为 X[eq65]

[eq66].

琐碎地,我们需要评估联合 该点的概率质量函数 $left( 2,3
ight) $, 那 是的[eq67]

练习2

X 成为 $ 2imes 1 $ 离散随机真人在线斗地主,并通过 X_1X_2.

让支持 X 成为所有人的集合 $ 2imes 1 $ 真人在线斗地主,使其条目属于前三个自然数的集合 数字,那个 是的[eq68]哪里[eq64]

让联合概率质量函数为 X[eq70]

[eq71].

只有两种可能的情况 引起发生 $ X_ {1} + X_ {2} = 3 $. 这些情况 是[eq72][eq73]因此, 由于这两种情况是不相交的事件,我们可以使用 可能性:[eq74]

练习3

X 成为 $ 2imes 1 $ 离散随机真人在线斗地主,并通过 X_1X_2.

让支持 X[eq75]和 它的联合概率质量函数 是[eq76]

推导的边际概率质量函数 X_1X_2.

的支持 X_1[eq77]我们 需要计算支持的每个元素的概率 X_1:[eq78]从而, 的概率质量函数 X_1[eq79]的 支持 X_2[eq80]我们 需要计算支持的每个元素的概率 X_2:[eq81]从而, 的概率质量函数 X_2[eq82]

练习4

X 成为 $ 2imes 1 $ 连续随机真人在线斗地主,并通过 X_1X_2.

让支持 X[eq83]那 是,所有的集合 $ 2imes 1 $ 使得第一个分量属于区间的真人在线斗地主 $left[ 0,2
ight] $ 第二个成分属于区间 $left[ 0,3
ight] $.

让联合概率密度函数为 X[eq84]

计算 [eq85].

通过联合概率密度的定义 功能:[eq86]

练习5

X 成为 $ 2imes 1 $ 连续随机真人在线斗地主,并通过 X_1X_2.

让支持 X[eq87]那 是,所有的集合 $ 2imes 1 $ 使得第一个分量属于区间的真人在线斗地主 [eq88] 第二个成分属于区间 $left[ 0,2
ight] $.

让联合概率密度函数为 X[eq89]

计算 [eq90].

首先请注意 $ X_ {1} + X_ {2} leq 3 $ 当且仅当 $ X_ {2} leq 3-X_ {1} $. 通过使用联合概率密度函数的定义,我们 获得[eq91]现在, 注意,当 [eq92], 内部积分 是[eq93]因此,[eq94]

练习6

X 成为 $ 2imes 1 $ 连续随机真人在线斗地主,并通过 X_1X_2.

让支持 X[eq95] (即,所有 $2$尺寸 具有正项的真人在线斗地主)及其联合概率密度函数 是[eq96]

推导的边际概率密度函数 X_1X_2.

的支持 X_1[eq97](召回 那 [eq98][eq99])。 我们可以通过结合关节密度找到边际密度 至 $ x_ {2} $:[eq100]什么时候 $x<0$, 然后 [eq101] 上面的积分等于 0. 因此,当 $x<0$, 然后 [eq102]. 什么时候 $x>0$, 然后[eq103]但 两个积分中的第一个是零,因为 [eq104] 什么时候 $ x_ {2}<0$; 作为一个 后果,[eq105]所以, 通过将块放在一起,我们得到了边际密度函数 X_1:[eq106]通过 对称性,边际密度函数 X_2[eq107]

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "随机真人在线斗地主", 列克特ures on 可能性 的ory 和 mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/fundamentals-of-probability/random-vectors.

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