本讲座讨论如何得出两个和的分布 独立随机变量。我们先解释一下 得出 分配 功能 然后求和 概率质量 功能 (如果求和是离散的)或其 概率密度 功能 (如果相加是连续的)。
以下命题描述了和的分布函数 就两个被加数的分布函数而言。
第一个公式推导为
如下: 的
第二个公式与第一个公式对称。
例
让
成为 统一随机变量 与
支持
和概率密度
功能
和
另一个统一的随机变量,独立于
,
在支持下
和概率密度
功能
的
的分布函数
是
的
的分布函数
是
那里
有四种情况需要考虑:
如果
,
然后
如果
,
然后
如果
,
然后
如果
,
然后
通过结合这四种可能的情况,我们
获得
当两个加数是离散随机变量时,概率质量 它们的和的函数可以推导如下。
第一个公式推导为
如下: 的
第二个公式与第一个公式对称。
上面的两个总和称为 卷积 (两个) 概率质量函数)。
例
让
是具有支持的离散随机变量
和概率质量
功能
和
另一个离散的随机变量,独立于
,
在支持下
和概率质量
功能
定义
它的
支持是
的
的概率质量函数
,
在评估
是
已评估
在
,
它
是
已评估
在
,
它
是
因此,
的概率质量函数
是
当两个被加数是连续随机变量时,概率密度 它们的和的函数可以推导如下。
的 分配功能
自变量之和
是 差异化
双方,并利用密度函数是
分布函数,我们
获得
的
第二个公式与第一个公式对称。
上面的两个积分称为 卷积 (两个) 概率密度函数)。
例
让
豆角,扁豆 指数随机变量 在支持下
和概率密度
功能
和
另一个指数随机变量,独立于
,
在支持下
和概率密度
功能
定义
的
支持
是
什么时候
,
的概率密度函数
是
因此,
的概率密度函数
是
上面我们讨论了如何导出两个和的分布
独立随机变量。我们如何得出总和的分布
超过两个 相互独立的随机
变数?假设
,
,
...,
是
相互独立的随机变量,让
成为他们的
和:
的
的分布
可以使用两个随机变量之和的结果递归导出
上面给出:
第一,
定义 和
计算的分布
;
然后,
定义 和
计算的分布
;
以此类推,直到分配
可以计算
从
您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。
让
在支持下成为统一随机变量
和概率密度
功能
和
指数随机变量,独立于
,
在支持下
和概率密度
功能
派生
和的概率密度函数
的支持
是
什么时候
,
的概率密度函数
是
因此,
的概率密度函数
是
让
是具有支持的离散随机变量
和概率质量
功能
和
另一个离散的随机变量,独立于
,
在支持下
和概率质量
功能
派生
的概率质量函数
和
的支持
是
的
的概率质量函数
,
在评估
是
已评估
在
,
它
是
已评估
在
,
它
是
已评估
在
,
它
是
因此,
的概率质量函数
是
请引用为:
Taboga, Marco (2017). "独立随机变量之和", 列克特 ures on probability theory 和 mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/fundamentals-of-probability/sums-of-independent-random-variables.