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独立随机变量之和

通过 马可·塔波加(Marco Taboga) 博士

本讲座讨论如何得出两个和的分布 独立随机变量。我们先解释一下 得出 分配 功能 然后求和 概率质量 功能 (如果求和是离散的)或其 概率密度 功能 (如果相加是连续的)。

目录

和的分布函数

以下命题描述了和的分布函数 就两个被加数的分布函数而言。

主张 XY 是两个独立的随机变量,并用 [eq1][eq2] 它们的分配功能。 让 [eq3] 和 表示...的分布函数 Z 通过 [eq4]. 以下 持有: [eq5] 要么 [eq6]

证明

第一个公式推导为 如下:[eq7] 的 第二个公式与第一个公式对称。

X 成为 统一随机变量 支持 [eq8] 和概率密度 功能[eq9]Y 另一个统一的随机变量,独立于 X, 在支持下 [eq10] 和概率密度 功能[eq11] 的 的分布函数 X[eq12] 的 的分布函数 $ Z = X + Y $ [eq13] 那里 有四种情况需要考虑:

  1. 如果 [eq14], 然后 [eq15]

  2. 如果 [eq16], 然后 [eq17]

  3. 如果 [eq18], 然后 [eq19]

  4. 如果 $z>2$, 然后 [eq20]

通过结合这四种可能的情况,我们 获得 [eq21]

和的概率质量函数

当两个加数是离散随机变量时,概率质量 它们的和的函数可以推导如下。

主张 XY 是两个独立的离散随机变量,并用 [eq22][eq23] 它们各自的概率质量函数  R_X $ R_ {Y} $ 他们的支持。 让 [eq3] 和 表示的概率质量函数 Z 通过 [eq25]. 以下 持有: [eq26] 要么 [eq27]

证明

第一个公式推导为 如下:[eq28] 的 第二个公式与第一个公式对称。

上面的两个总和称为 卷积 (两个) 概率质量函数)。

X 是具有支持的离散随机变量 [eq29] 和概率质量 功能[eq30]Y 另一个离散的随机变量,独立于 X, 在支持下 [eq31] 和概率质量 功能[eq32] 定义 [eq3] 它的 支持是 [eq34] 的 的概率质量函数 Z, 在评估 $z=0$[eq35]已评估 在 $z=1$, 它 是 [eq36]已评估 在 $z=2$, 它 是 [eq37]因此, 的概率质量函数 Z[eq38]

和的概率密度函数

当两个被加数是连续随机变量时,概率密度 它们的和的函数可以推导如下。

主张 XY 是两个独立的连续随机变量,并用 [eq39][eq40] 它们各自的概率密度函数。 让: [eq41] 和 表示的概率密度函数 Z 通过 [eq42]. 以下 持有: [eq43] 要么 [eq44]

证明

分配功能 自变量之和[eq5]差异化 双方,并利用密度函数是 分布函数,我们 获得 [eq46] 的 第二个公式与第一个公式对称。

上面的两个积分称为 卷积 (两个) 概率密度函数)。

X 豆角,扁豆 指数随机变量 在支持下 [eq47] 和概率密度 功能[eq48]Y 另一个指数随机变量,独立于 X, 在支持下 [eq49] 和概率密度 功能[eq50] 定义 [eq3] 的 支持 Z[eq52] 什么时候 $ zin R_ {Z} $, 的概率密度函数 Z[eq53]因此, 的概率密度函数 Z[eq54]

更多细节

n个独立随机变量的总和

上面我们讨论了如何导出两个和的分布 独立随机变量。我们如何得出总和的分布 超过两个 相互独立的随机 变数?假设 X_1, X_2, ...,  X_n n 相互独立的随机变量,让 Z 成为他们的 和: [eq55] 的 的分布 Z 可以使用两个随机变量之和的结果递归导出 上面给出:

  1. 第一, 定义 [eq56] 和 计算的分布 $ Y_ {2} $;

  2. 然后, 定义 [eq57] 和 计算的分布 $ Y_ {3} $;

  3. 以此类推,直到分配 Z 可以计算 从 [eq58]

解决的练习

您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。

练习1

X 在支持下成为统一随机变量 [eq59] 和概率密度 功能[eq9]Y 指数随机变量,独立于 X, 在支持下 [eq61] 和概率密度 功能[eq50] 派生 和的概率密度函数 [eq3]

的支持 Z[eq64] 什么时候 $ zin R_ {Z} $, 的概率密度函数 Z[eq65]因此, 的概率密度函数 Z[eq66]

练习2

X 是具有支持的离散随机变量 [eq67] 和概率质量 功能[eq68]Y 另一个离散的随机变量,独立于 X, 在支持下 [eq69] 和概率质量 功能[eq70] 派生 的概率质量函数 和 [eq3]

的支持 Z[eq72] 的 的概率质量函数 Z, 在评估 $z=1$[eq73]已评估 在 $z=2$, 它 是 [eq74]已评估 在 $z=3$, 它 是 [eq75]已评估 在 $z=4$, 它 是 [eq76]因此, 的概率质量函数 Z[eq77]

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "独立随机变量之和", 列克特 ures on probability theory 和 mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/fundamentals-of-probability/sums-of-independent-random-variables.

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