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方差

经过 ,博士学位

方差是分散的量度。它测量了多远 随机的实现 variable平均而言,是其预期价值。

目录

定义

遵循正式的方差定义。

定义 Let X be a random variable 。 表示 [eq1] the expected value operator. The 方差 of X, denoted by [eq2], is defined as follows:[eq3] 假如 上述预期值存在并定义明确。

了解定义

要更好地了解方差的定义,可以分解公式 用于在几个步骤中定义它:

  1. 计算预期的值 X, denoted by[eq4]

  2. 构建一个新的随机变量 [eq5] 平等的 to the deviation of X 从预期的价值;

  3. take the square[eq6] 这是距离的距离 X 从预期的价值(进一步  $ x $ is from [eq7], the larger  $ y ^ {2} $ );

  4. 最后,计算平方偏差的预期值  $ y ^ {2} $ to know how far X, 平均而言,来自预期 value:[eq8]

从这些步骤可以轻松看出:

同等的定义

方差也可以通过以下重要定义 formula:[eq11]

证明

那 该定义等同于上面给出的那个可以被视为 follows:[eq12]

该公式还可以清楚地存在差异,并且仅定义 long as [eq13] and [eq14] 存在并明确定义。

我们将经常使用此配票,我们将引用它,因为简洁起来 sake, as 方差公式.

例子

以下示例显示了如何计算随机的离散的方差 使用上面的定义和方差公式的变量。

例子 Let X be a discrete random variable with support [eq15] and probability mass function[eq16] 在哪里 [eq17]. Its expected value is[eq18] 这 其广场的预期价值 is[eq19] 它的 variance is[eq20]或者, 我们可以计算差异 X 使用定义。定义一个新的随机变量,平方偏差 X from [eq21], as[eq22] 这 support of Z is [eq23] 及其概率质量功能 is[eq24] 这 variance of X 等于预期的价值 Z:[eq25]

The exercises 在此页面的底部提供更多 计算方差的例子。

更多细节

以下小节包含有关方差的更多详细信息。

方差和标准偏差

调用方差的平方根 标准偏差 。 这 随机变量的标准偏差 X 通常表示 [eq26] or by [eq27]:[eq28]

加到常数

Let $ ain u {211d} $ 是一个不变的,让 X 是一个随机变量。 Then,[eq29]

感谢这一事实 [eq30] (通过预期价值的线性),我们 have[eq31]

乘以常量

Let $ bin u {211d} $ 是一个不变的,让 X 是一个随机变量。 Then,[eq32]

感谢这一事实 [eq33] (通过预期价值的线性),我们 obtain[eq34]

线性变换

Let $ a,bin u {211d} $ 是两个常数并让 X 是一个随机变量。然后,组合上面的两个属性,一个 obtains[eq35]

方形可积

If [eq14] 存在并且是有限的,我们这么说 X is a 方形可集成随机变量,或只是那个 X is 方形可集成。它很容易证明,如果 X 那么是正方形的 X is also integrable, that is, [eq37] 存在并且是有限的。因此,如果 X 是方形可集成,那么,显然,也是它的方差 [eq38] 存在并且是有限的。

解决练习

下面可以找到一些练习解释的解决方案。

练习1

Let X 是一个离散随机变量,支持 [eq39] and probability mass function[eq40] 计算 its variance.

解决方案

预期的价值 X is[eq41] 这 expected value of  $ x ^ {2} $ is[eq42] 这 variance of X is[eq43]

练习2

Let X 是一个离散随机变量,支持 [eq44] and probability mass function[eq45] 计算 its variance.

解决方案

预期的价值 X is[eq46] 这 expected value of  $ x ^ {2} $ is[eq47] 这 variance of X is[eq48]

练习3.

阅读并尝试了解泊松随机变量的方差是如何 派对题为题 Poisson distribution.

练习4.

Let X 通过支持是一个连续的随机变量 [eq49] probability density function[eq50] 计算 its variance.

解决方案

预期的价值 X is[eq51] 这 expected value of  $ x ^ {2} $ is[eq52] 这 variance of X is[eq53]

练习5.

Let X 通过支持是一个连续的随机变量 [eq49] 和 probability density function[eq55] 计算 its variance.

解决方案

预期的价值 X is[eq56] 这 expected value of  $ x ^ {2} $ is[eq57] 这 variance of X is[eq58]

练习6.

阅读并尝试了解Chi-Square随机变量的方差是如何 派对题为题 Chi-square distribution.

如何引用

请引用:

Taboga, Marco (2017). " 方差 ", Lectures on probability theory and mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/fundamentals-of-probability/variance.

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