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方差

通过 博士

方差是分散度的度量。它测量了 随机的实现 真人在线斗地主 ,平均而言,来自其预期值。

目录

定义

下面是方差的正式定义。

定义 X 成为 随机真人在线斗地主 。 表示为 [eq1] 期望值 操作员。的 方差 X, 表示为 [eq2], 被定义为 如下: [eq3] 提供 以上期望值存在且定义明确。

了解定义

为了更好地理解方差的定义,可以分解公式 用于定义它的几个步骤:

  1. 计算的期望值 X, 表示的 通过 [eq4]

  2. 构造一个新的随机真人在线斗地主 [eq5] 等于 偏离 X 从其预期值;

  3. 拿 广场 [eq6] 这是距离的度量 X 与其预期值(进一步  $ X $ 来自 [eq7], 较大的  $ Y ^ {2} $ );

  4. 最后,计算平方差的期望值  $ Y ^ {2} $ 知道多远 X, 平均而言,超出预期 值: [eq8]

从这些步骤中,我们可以轻松地看到:

等效定义

方差也可以等效地由以下重要定义 式: [eq11]

证明

那 这个定义等同于上面给出的定义,可以看作是 如下: [eq12]

该公式还清楚表明存在方差,并且仅将方差定义为 一样长 [eq13][eq14] 存在并且定义明确。

为简便起见,我们将经常使用此公式,并将其引用。 缘故 方差公式.

以下示例显示了如何计算离散随机真人在线斗地主的方差 真人在线斗地主,同时使用上面的定义和方差公式。

X 成为 离散随机 真人在线斗地主 支持 [eq15] 概率质量 功能 [eq16] 哪里 [eq17]. 其期望值 是 [eq18] 的 平方的期望值 是 [eq19] 它的 方差 是 [eq20]或者, 我们可以计算出 X 使用定义。定义一个新的随机真人在线斗地主,即 X[eq21], 如 [eq22] 的 支持 Z[eq23] 及其概率质量函数 是 [eq24] 的 的方差 X 等于的期望值 Z:[eq25]

演习 在此页面底部提供更多 如何计算方差的示例。

更多细节

以下小节包含有关方差的更多详细信息。

方差和标准差

方差的平方根称为 标准偏差 。 的 随机真人在线斗地主的标准差 X 通常用 [eq26][eq27]:[eq28]

除常数外

$ ain U {211d} $ 保持不变,让 X 是一个随机真人在线斗地主。 然后, [eq29]

由于事实 [eq30] (通过期望值的线性度),我们 有 [eq31]

乘以常数

$ bin U {211d} $ 保持不变,让 X 是一个随机真人在线斗地主。 然后, [eq32]

由于事实 [eq33] (通过期望值的线性度),我们 获得 [eq34]

线性变换

$ a,bin U {211d} $ 是两个常数,让 X 是一个随机真人在线斗地主。然后,结合以上两个属性,一个 获得 [eq35]

平方可积

如果 [eq14] 存在并且是有限的,我们说 X 是一个 平方可积随机真人在线斗地主,或者只是那个 X平方可积。可以很容易地证明,如果 X 是平方可积的 X 也是 可整合 , 那是, [eq37] 存在并且是有限的。因此,如果 X 是平方可积的,那么显然它的方差也是 [eq38] 存在并且是有限的。

解决的练习

您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。

练习1

X 是具有支持的离散随机真人在线斗地主 [eq39] 和概率质量 功能 [eq40] 计算 它的方差。

的期望值 X[eq41] 的 的期望值  $ X ^ {2} $ [eq42] 的 的方差 X[eq43]

练习2

X 是具有支持的离散随机真人在线斗地主 [eq44] 和概率质量 功能 [eq45] 计算 它的方差。

的期望值 X[eq46] 的 的期望值  $ X ^ {2} $ [eq47] 的 的方差 X[eq48]

练习3

阅读并尝试了解泊松随机真人在线斗地主的方差如何 衍生自演讲 泊松 分配 .

练习4

X 在支持下成为连续随机真人在线斗地主 [eq49] 概率密度 功能 [eq50] 计算 它的方差。

的期望值 X[eq51] 的 的期望值  $ X ^ {2} $ [eq52] 的 的方差 X[eq53]

练习5

X 在支持下成为连续随机真人在线斗地主 [eq49] 和 概率密度 功能 [eq55] 计算 它的方差。

的期望值 X[eq56] 的 的期望值  $ X ^ {2} $ [eq57] 的 的方差 X[eq58]

练习6

阅读并尝试了解卡方随机真人在线斗地主的方差如何 衍生自演讲 卡方 分配 .

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). " 方差 ", 列克特 ures on probability 的 ory 和 mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/fundamentals-of-probability/variance.

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