零概率事件的概念在概率中起特殊作用 理论和统计学,因为它支撑了几乎 确定属性和几乎确定的事件。
本讲座定义了零概率事件,并讨论了一些 它们看似简单的定义的违反直觉的方面,尤其是 零概率事件不是永远不会发生的事件: 在零概率事件中确实有一些常见的概率设置 一直发生!讨论了这个问题之后,几乎可以肯定的概念 属性和几乎确定的事件被引入。
在重言式上,零概率事件是概率相等的事件 归零。
定义
让
豆角,扁豆 事件 并表示其
概率
.
我们说
是一个 零概率事件 当且仅
如果
尽管此定义很简单,但仍有一些功能 零概率事件可能看起来很矛盾。我们说明这些 下面的示例。
例
考虑一个概率实验,其可能的结果集称为
样本空间 并由
,
是单位
间隔:
它
可以以每个子间隔具有的方式分配概率
等于其概率
长度:
的
证明可以一致地执行这样的概率分配
超出了本示例的范围,但是您可以在任何基本示例中找到它
测量理论书(例如 威廉姆斯-1991)。作为一个
分配的直接结果,所有可能的结果
零
可能性:
已陈述
不同的是,每个可能的结果都是零概率事件。这有可能
似乎违反直觉。在日常语言中,零概率事件是
永远不会发生的事件。但是,此示例说明了
零概率事件确实可以发生。由于样本空间提供了
详尽描述可能的结果,其中只有一项
样本点
将是 实现的结果。但是我们有
刚刚证明所有样本点都是零概率事件:
结果,实现的结果只能是零概率事件。
该概率模型的另一个显然自相矛盾的方面是
样本空间
可以得到不相交零概率的并集
事件:
哪里
每
是零概率事件,并且联合中的所有事件都不相交。要是我们
忘记了概率的可加性仅适用于可数
子集的集合,我们会错误地推断出
那
和
我们会产生矛盾:
,
什么时候 概率性质,
应该
.
当然,这种论点的谬误是
是不可计数的集合,因此不能使用可加性。
该示例中的主要教训是零概率事件 不是永远不会发生的事件(也称为 不可能的事件):有些 样本空间不可数的概率模型,零概率 事件确实总是在发生!
零概率事件在概率和 统计。通常,我们想证明某些财产几乎总是 满意,或者几乎总是发生某些事情。 “几乎总是”表示 所有采样点均满足属性,但可能忽略不计 样本点集。零概率事件的概念用于 确定哪些集合可以忽略不计:如果集合中包含 零概率事件,则可以忽略不计。
定义
让
作为样本点的一些属性
可以满足或不满足。让
是满足以下条件的所有采样点的集合
属性
表示
它的补码(所有不满足属性的点的集合
)
通过
.
属性
据说是 几乎可以肯定 如果存在零概率
事件
这样
.
据说几乎可以确定的财产 几乎 一定 (通常缩写为 如。)。有时候, 几乎可以肯定,财产也可以保留 很有可能 一 (缩写 w.p.1)。
记住(请参阅标题为“ 可能性)
样本空间的某些子集可能不被视为事件。以上
几乎可以确定的属性的定义使我们可以考虑设置
从严格意义上讲,这不是事件。但是,在这种情况下
是一个事件
被称为 几乎可以肯定的事件 我们说
几乎肯定会发生。此外,由于存在事件
这样
和
,
我们可以应用 的单调性
可能性:
哪一个
反过来意味着
.
最后,回顾一下
的概率
补充:
从而,
几乎可以肯定的事件是概率发生的事件
.
例
考虑样本空间
以及在前面的示例中引入的概率分配:
我们
想要证明
事件
是
零概率事件。自组
有理数
是 可数的 和
是有理数集合的子集,
是可数的。这意味着
可以安排成一个
顺序:
此外,
可以写成可数的
联盟:
正在申请
的 可数加性
属性 概率,我们
获得
以来
每一个
.
因此,
是零概率事件。这似乎令人惊讶:以这种可能性
模型中也存在零概率事件,其中包括无限多个样本
点!也可以很容易地证明
事件
是
几乎可以肯定的事件。在
事实,
和
通过应用补数概率的公式,我们
得到
您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。
让
和
是两个事件。让
成为零概率事件,
.
计算
.
是零概率事件,这意味着
那
此外,
使用公式作为补数的概率,我们
获得
以来
,
通过单调性
获得
以来
并且概率不能大于
,
这意味着
让
和
是两个事件。让
成为零概率事件,
.
计算
.
是零概率事件,这意味着
那
此外,
使用公式作为补数的概率,我们
获得
它
也是如此
那
以来
,
通过单调性,我们
获得
以来
并且概率不能大于
,
这意味着
从而,
放在一起,我们
得到
威廉姆斯(1991) 的概率 ting,剑桥大学出版社。
请引用为:
Taboga, Marco (2017). "零概率事件", 列克特ures on 可能性 的ory 和 mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/fundamentals-of-probability/zero-probability-events.