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零概率事件

通过 博士

零概率事件的概念在概率中起特殊作用 理论和统计学,因为它支撑了几乎 确定属性和几乎确定的事件。

本讲座定义了零概率事件,并讨论了一些 它们看似简单的定义的违反直觉的方面,尤其是 零概率事件不是永远不会发生的事件: 在零概率事件中确实有一些常见的概率设​​置 一直发生!讨论了这个问题之后,几乎可以肯定的概念 属性和几乎确定的事件被引入。

目录

定义与讨论

在重言式上,零概率事件是概率相等的事件 归零。

定义E 豆角,扁豆 事件 并表示其 概率 [eq1]. 我们说 E 是一个 零概率事件 当且仅 如果[eq2]

尽管此定义很简单,但仍有一些功能 零概率事件可能看起来很矛盾。我们说明这些 下面的示例。

考虑一个概率实验,其可能的结果集称为 样本空间 并由 欧米茄, 是单位 间隔:[eq3]它 可以以每个子间隔具有的方式分配概率 等于其概率 长度:[eq4]的 证明可以一致地执行这样的概率分配 超出了本示例的范围,但是您可以在任何基本示例中找到它 测量理论书(例如 威廉姆斯-1991)。作为一个 分配的直接结果,所有可能的结果 欧米茄中的欧米茄 零 可能性:[eq5]已陈述 不同的是,每个可能的结果都是零概率事件。这有可能 似乎违反直觉。在日常语言中,零概率事件是 永远不会发生的事件。但是,此示例说明了 零概率事件确实可以发生。由于样本空间提供了 详尽描述可能的结果,其中只有一项 样本点 欧米茄中的欧米茄 将是 实现的结果。但是我们有 刚刚证明所有样本点都是零概率事件: 结果,实现的结果只能是零概率事件。 该概率模型的另一个显然自相矛盾的方面是 样本空间 欧米茄 可以得到不相交零概率的并集 事件:[eq6]哪里 每 欧米茄中的欧米茄 是零概率事件,并且联合中的所有事件都不相交。要是我们 忘记了概率的可加性仅适用于可数 子集的集合,我们会错误地推断出 那[eq7]和 我们会产生矛盾: [eq8], 什么时候 概率性质, 应该 [eq9]. 当然,这种论点的谬误是 欧米茄 是不可计数的集合,因此不能使用可加性。

该示例中的主要教训是零概率事件 不是永远不会发生的事件(也称为 不可能的事件):有些 样本空间不可数的概率模型,零概率 事件确实总是在发生!

几乎可以肯定,也可以肯定地

零概率事件在概率和 统计。通常,我们想证明某些财产几乎总是 满意,或者几乎总是发生某些事情。 “几乎总是”表示 所有采样点均满足属性,但可能忽略不计 样本点集。零概率事件的概念用于 确定哪些集合可以忽略不计:如果集合中包含 零概率事件,则可以忽略不计。

定义$菲$ 作为样本点的一些属性 欧米茄中的欧米茄 可以满足或不满足。让 F 是满足以下条件的所有采样点的集合 属性[eq10]表示 它的补码(所有不满足属性的点的集合 $菲$) 通过 $ F ^ {c} $. 属性 $菲$ 据说是 几乎可以肯定 如果存在零概率 事件 E 这样 $ F ^ {c} subseteq E $.

据说几乎可以确定的财产 几乎 一定 (通常缩写为 如。)。有时候, 几乎可以肯定,财产也可以保留 很有可能 一 (缩写 w.p.1)。

几乎可以肯定的事件

记住(请参阅标题为“ 可能性) 样本空间的某些子集可能不被视为事件。以上 几乎可以确定的属性的定义使我们可以考虑设置 F 从严格意义上讲,这不是事件。但是,在这种情况下 F 是一个事件 F 被称为 几乎可以肯定的事件 我们说 F 几乎肯定会发生。此外,由于存在事件 E 这样 $ F ^ {c} subseteq E $[eq11], 我们可以应用 的单调性 可能性:[eq12]哪一个 反过来意味着 [eq13]. 最后,回顾一下 的概率 补充:[eq14]从而, 几乎可以肯定的事件是概率发生的事件 1.

考虑样本空间 [eq15] 以及在前面的示例中引入的概率分配: [eq4]我们 想要证明 事件[eq17]是 零概率事件。自组 有理数 可数的E 是有理数集合的子集, E 是可数的。这意味着 E 可以安排成一个 顺序:[eq18]此外, E 可以写成可数的 联盟:[eq19]正在申请 的 可数加性 属性 概率,我们 获得[eq20]以来 [eq21] 每一个 n. 因此, E 是零概率事件。这似乎令人惊讶:以这种可能性 模型中也存在零概率事件,其中包括无限多个样本 点!也可以很容易地证明 事件[eq22]是 几乎可以肯定的事件。在 事实,[eq23]和 通过应用补数概率的公式,我们 得到[eq24]

解决的练习

您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。

练习1

EF 是两个事件。让 $ E ^ {c} $ 成为零概率事件, [eq25]. 计算 [eq26].

$ E ^ {c} $ 是零概率事件,这意味着 那[eq27]此外, 使用公式作为补数的概率,我们 获得[eq28]以来 [eq29], 通过单调性 获得[eq30]以来 [eq31] 并且概率不能大于 1, 这意味着 [eq32]

练习2

EF 是两个事件。让 $ E ^ {c} $ 成为零概率事件, [eq33]. 计算 [eq34].

$ E ^ {c} $ 是零概率事件,这意味着 那[eq27]此外, 使用公式作为补数的概率,我们 获得[eq28]它 也是如此 那[eq37]以来 [eq29], 通过单调性,我们 获得[eq30]以来 [eq31] 并且概率不能大于 1, 这意味着 [eq32]从而, 放在一起,我们 得到[eq42]

参考文献

威廉姆斯(1991) 的概率 ting,剑桥大学出版社。

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "零概率事件", 列克特ures on 可能性 的ory 和 mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/fundamentals-of-probability/zero-probability-events.

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