泊松分布 - 最大似然估计

经过 Marco Taboga.，博士学位

本讲座解释了如何派生最大似然估计（MLE）泊松分布的参数。在阅读这段讲座之前，你可能想要修改讲座最大可能性估计 and about the Poisson distribution.

假设
可能性功能
日志似然函数
最大可能性估计器
渐近方差

假设

We assume to observe 依赖于泊松分布。在更正式的条款中，我们观察 the first terms of an IID sequence 泊松随机变量。就这样 probability mass function 序列的术语 $x_ {j}$ is [eq2] 在哪里 is the support of the distribution and $lambda _ {0}$ 是感兴趣的参数（我们想要派生MLE）。记住泊松分布的支持是非负面的一组 integer numbers:

为了保持简单的事情，我们没有表现出来，但我们宁愿假设一致性和渐近常态所需的规律条件最大似然估计器 $lambda _ {0}$ are satisfied.

可能性功能

可能性功能 is [eq4]

证明

这 observations are independent。因此，似然函数等于其概率质量的乘积 functions: [eq5] 此外， the observed values 必然属于支持 . So, we have [eq7]

日志似然函数

日志似然函数是 [eq8]

证明

通过采取自然对数的似然函数衍生在上面，我们得到了 log-likelihood: [eq9]

最大可能性估计器

最大似然估计器 is [eq10]

证明

Mle是以下解决方案 maximization problem 这最大订单条件是这对参数的日志可能性的第一个衍生 is [eq13] 强加第一个衍生物等于零，并且 get [eq14]

因此，估计师 is just the sample mean 的 the 在样品中的观察。这是因为预期的预期而直观的感觉泊松随机变量的值等于其参数 $lambda _ {0}$ , 并且样本是指预期值的无偏估计。

渐近方差

The estimator 渐近正常是正常的，渐近意味着等于 $lambda _ {0}$ 和渐近方差相等 to [eq17]

证明

分数 is [eq18] 这 Hessian is [eq19] 这信息平等意味着 that [eq20] 在哪里我们已经使用了泊松随机变量的预期价值 with parameter $lambda _ {0}$ is equal to $lambda _ {0}$ . 最后，渐近方差 is [eq21]

因此，最大似然估计器的分布可以用平均分布近似 $lambda _ {0}$ and variance $lambda _ {0} / n$ .

如何引用

请引用：

Taboga, Marco (2017). "泊松分布 - 最大似然估计", Lectures on probability theory and mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/fundamentals-of-statistics/Poisson-distribution-maximum-likelihood.

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