搜索Statlect上的概率和统计信息
统计章程
指数 > Fundamentals of statistics > Maximum likelihood

泊松分布 - 最大似然估计

经过 ,博士学位

本讲座解释了如何派生最大似然估计(MLE) 泊松分布的参数。在阅读这段讲座之前,你 可能想要修改讲座 最大可能性估计 and about the Poisson distribution.

目录

假设

We assume to observe n 依赖于泊松分布。在更正式的条款中,我们观察 the first n terms of an IID sequence [eq1] 泊松随机变量。就这样 probability mass function 序列的术语 $ x_ {j} $ is[eq2]在哪里 r_x. is the support of the distribution and $ lambda _ {0} $ 是感兴趣的参数(我们想要派生MLE)。记住 泊松分布的支持是非负面的一组 integer numbers:[eq3]

为了保持简单的事情,我们没有表现出来,但我们宁愿假设 一致性和渐近常态所需的规律条件 最大似然估计器 $ lambda _ {0} $ are satisfied.

可能性功能

可能性功能 is[eq4]

证明

n observations are independent。因此, 似然函数等于其概率质量的乘积 functions:[eq5]此外, the observed values [eq6] 必然属于支持 r_x.. So, we have[eq7]

日志似然函数

日志似然函数是 [eq8]

证明

通过采取自然对数的 似然函数衍生在上面,我们得到了 log-likelihood:[eq9]

最大可能性估计器

最大似然估计器 $ lambda $ is[eq10]

证明

Mle是以下解决方案 maximization problem [eq11]这 最大订单条件是 [eq12]这 对参数的日志可能性的第一个衍生 $ lambda $ is[eq13]强加 第一个衍生物等于零,并且 get[eq14]

因此,估计师 [eq15] is just the sample mean 的 the n 在样品中的观察。这是因为预期的预期而直观的感觉 泊松随机变量的值等于其参数 $ lambda _ {0} $, 并且样本是指预期值的无偏估计。

渐近方差

The estimator [eq16] 渐近正常是正常的,渐近意味着等于 $ lambda _ {0} $ 和渐近方差相等 to[eq17]

证明

分数 is[eq18]这 Hessian is[eq19]这 信息平等意味着 that[eq20]在哪里 我们已经使用了泊松随机变量的预期价值 with parameter $ lambda _ {0} $ is equal to $ lambda _ {0} $. 最后,渐近方差 is[eq21]

因此,最大似然估计器的分布 [eq22] 可以用平均分布近似 $ lambda _ {0} $ and variance $ lambda _ {0} / n $.

如何引用

请引用:

Taboga, Marco (2017). "泊松分布 - 最大似然估计", Lectures on probability theory and mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/fundamentals-of-statistics/Poisson-distribution-maximum-likelihood.

这本书

本网站上发现的大多数学习材料现在都以传统的教科书格式提供。