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泊松分布-最大似然估计

通过 博士

本讲座说明如何推导最大似然估计(MLE) 泊松分布的真人在线斗地主。在阅读本讲座之前,您 可能想修改有关 最大似然估计 和关于 的 泊松 分配.

目录

假设条件

我们假设要观察 n 独立性来自泊松分布。更正式地说,我们观察到 首先 n 条款 IID序列 [eq1] 泊松随机变量。就这样 概率质量 功能 序列项的 $ X_ {j} $[eq2]哪里 R_X 是个 支持 的 分布和 $ lambda _ {0} $ 是感兴趣的真人在线斗地主(我们要为其导出MLE)。记得 泊松分布的支持是非负的集合 整数 数字:[eq3]

为简单起见,我们没有展示,而是假设 连续性和渐近正态性所需的正则条件 的最大似然估计 $ lambda _ {0} $ 很满意。

似然函数

似然函数 是[eq4]

证明

n 观察是 独立。结果, 似然函数等于其概率质量的乘积 职能:[eq5]此外, 观测值 [eq6] 一定属于支持 R_X. 所以,我们 有[eq7]

对数似然函数

对数似然函数是 [eq8]

证明

通过取自然对数 上面得出的似然函数,我们得到 对数似然:[eq9]

最大似然估计

的最大似然估计 $ lambda $[eq10]

证明

MLE是以下解决方案 最大化问题 [eq11]的 一阶条件的最大值为 [eq12]的 关于真人在线斗地主的对数似然的一阶导数 $ lambda $[eq13]强加 一阶导数等于零,并且 得到[eq14]

因此,估算器 [eq15] 只是 样本平均值n 样本中的观察结果。这很直观,因为预期 泊松随机变量的值等于其真人在线斗地主 $ lambda _ {0} $, 样本均值是期望值的无偏估计量。

渐近方差

估计量 [eq16] 是渐近正态的,渐近均值等于 $ lambda _ {0} $ 和渐近方差相等 至 [eq17]

证明

分数 是[eq18]的 黑森州 是[eq19]的 信息平等意味着 那[eq20]哪里 我们利用了泊松随机变量的期望值这一事实 带真人在线斗地主 $ lambda _ {0} $ 等于 $ lambda _ {0} $. 最后,渐近方差 是[eq21]

因此,最大似然估计器的分布 [eq22] 可以用均值的正态分布来近似 $ lambda _ {0} $ 和方差 $ lambda _ {0} / n $.

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "泊松分布-最大似然估计", 列克特ures on probability 的ory and mathematical 统计, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/fundamentals-of-statistics/Poisson-distribution-maximum-likelihood.

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