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沃尔德测试

通过 博士

Wald检验是 假设检验 通常对已经由 最大似然.

在阅读本讲座之前,强烈建议读者阅读以下内容: 演讲题目 最大 可能性-假设检验,介绍了假设的基础 在最大可能性(ML)框架中进行测试。

目录

零假设

接下来,我们将假设一个未知参数 $ heta _ {0} $ 由ML估计,它属于参数空间 [eq1], 并且我们要测试 空值 假设[eq2]哪里 [eq3] 是向量值函数,具有 $ rleq p $. 前面关于假设检验的讲座给出了一些常见的例子 可以用这种形式写的原假设。

假设条件

我们将假定满足以下技术条件:

沃尔德统计

[eq5] 估计 $ pimes 1 $ 参数 $ heta _ {0} $ 通过在整个参数空间上最大化对数似然来获得 $ 的ta $:[eq6]哪里 [eq7] 是似然函数,并且 $ xi _ {n} $ 是样本。

让我们假设样本和似然函数满足一组 足以保证一致性和渐近性的条件 正态性 [eq8] (请参阅有关 最大似然 对于一组这样的条件)。

Wald检验中使用的检验统计量 是[eq9]哪里 n 是个 样本量$ widehat {V} _ {n} $ 是的渐近协方差矩阵的一致估计 [eq10] (请参阅标题为“ 最大 似然-协方差矩阵估计)。

检验统计量的渐近分布

渐近地,检验统计量具有卡方分布,如 以下命题。

主张 在零假设下 [eq11], Wald统计 $ W_ {n} $ 分布趋同 到一个 卡方分布$ r $ 自由程度。

证明

我们假设 [eq12] 是一致且渐近正常的,这意味着 [eq13] 收敛到一个 多元正态 随机变量 刻薄 $ heta _ {0} $ 和渐近协方差矩阵 V, 那 是的[eq14]现在, 由 增量法, 我们有 那[eq15][eq16], 所以 那[eq17]我们 假设 [eq18]$ widehat {V} _ {n} $ 是一致的估计量 是的[eq19]哪里 [eq20] 表示 概率收敛。因此, 的 连续映射 定理,我们有 那[eq21]从而 我们可以将Wald统计量写成一系列二次形式 [eq22]哪里[eq23]收敛 分布到正常随机向量 $ G $ 均值为零,并且 [eq24]收敛 可能 [eq25]. 根据标准结果(请参阅关于 斯卢茨基定理),例如 二次形式的序列在分布上收敛到卡方随机 自由度等于的变量 [eq26].

考试

在Wald检验中,原假设被拒绝 如果[eq27]哪里 $ z $ 是预定的 临界值.

测试的大小 可 由其渐近近似 值[eq28]

哪里 $ Fleft(z
权)$ 是个 分配 功能 卡方随机变量的 $ r $ 自由程度。

临界值 $ z $ 可以选择以获得预定的尺寸,如 如下:[eq29]

以下示例显示了如何使用Wald检验来测试简单的线性 限制。

令参数空间为所有的集合 $2$尺寸 向量,即 [eq30]. 假设我们获得了参数和 渐近协方差 矩阵:[eq31]哪里 $90$ 是样本量。我们要测试限制 [eq32]哪里 $ heta _ {0,1} $$ heta _ {0,2} $ 表示的第一和第二部分 $ heta _ {0} $. 然后,功能 [eq33] 是一个功能 [eq34] 定义的 通过[eq35]在 这个案例, $r=1$. 的雅可比 $ g $[eq36]哪一个 有等级 $r=1$. 另请注意,它不依赖于 $ heta $. 我们有 那[eq37]如 结果,Wald统计量 是[eq38]我们的 检验统计量的卡方分布为 $r=1$ 自由程度。假设我们希望测试的大小 $ lpha = 5%$. 然后,我们的关键价值 $ z $[eq39]哪里 $ Fleft(z
权)$ 是具有以下项的卡方随机变量的分布函数: 1 自由度和价值 [eq40] 可以使用任何统计软件进行计算(例如,在MATLAB中使用 的 command chi2inv(0.95,1))。 的refore, 的 test 统计不超过关键 值[eq41]和 我们不拒绝原假设。

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "沃尔德测试", 列克特ures on probability 的ory 和 mathematical 统计, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/fundamentals-of-statistics/Wald-test.

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