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指数分布 - 最大可能性估计

经过 ,博士学位

在这篇讲座中,我们得出了参数的最大似然估计器 of an 指数分布。理论需要 了解这次讲座是在题为题为题为的讲座中解释 Maximum likelihood.

目录

假设

We observe the first n terms of an IID sequence [eq1] 具有指数分布的随机变量。通用术语 sequence $ x_ {j} $ has probability density function[eq2]在哪里 [eq3] is the support of 分布和速率参数 $ lambda _ {0} $ 是需要估计的参数。

我们假设一致性和份额所需的规律条件 满足最大似然估计的渐近常态。

可能性功能

可能性功能 is[eq4]

证明

由于序列的条款是 independent,可能性函数等于 the product of their densities:[eq5]因为 the observed values [eq6] 只能属于分布的支持,我们可以 write[eq7]

日志似然函数

日志似然函数是 [eq8]

证明

这是通过采取自然的 可能性的对数 function:[eq9]

最大可能性估计器

最大似然估计器 $ lambda $ is[eq10]

证明

获得估计器作为解决方案 最大化问题 [eq11]这 最大订单条件是 [eq12]这 衍生的日志可能性 is[eq13]经过 设置它等于零,我们 obtain[eq14]笔记 that the division by [eq15] 是合法的,因为指数分布式随机变量可以接受 只有正值(并且严格概率 1).

因此,估计师 [eq16] 只是倒数 sample mean[eq17]

渐近方差

The estimator [eq18] 渐近正常是正常的,渐近意味着等于 $ lambda _ {0} $ 和渐近方差相等 to[eq19]

证明

分数 is[eq20]这 Hessian is[eq21]经过 信息平等,我们有 that[eq22]最后, 渐近方差 is[eq23]

这意味着最大可能性估计器的分布 [eq24] 可以用平均分布近似 $ lambda _ {0} $ and variance $ lambda _ {0} ^ {2} / n $.

如何引用

请引用:

Taboga, Marco (2017). "指数分布 - 最大可能性估计", Lectures on probability theory and mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/fundamentals-of-statistics/exponential-distribution-maximum-likelihood.

这本书

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