本讲座介绍了一些示例 假设检验, 专注于 关于均值的假设检验,即使用样本 进行关于未知分布平均值的假设检验。
在此示例中,我们做出与set示例相同的假设 估计均值 组 均值估计-正常IID样本。读者强烈 建议在阅读此示例之前先阅读该示例。
在此示例中,示例
由..制作
从一个独立抽签 正态分布 有
均值未知
和已知方差
.
具体来说,我们观察
实现
,
...,
的
独立随机变量
,
...,
,
全部具有正态分布,均值未知
和已知方差
.
样本是
尺寸
向量
,
这是实现 随机向量
.
我们测试 零假设 那
均值
等于特定值
:
我们假设 参数
空间 是整个真实的线,即
.
因此, 另类
假设
是
构造一个 测试统计 ,我们
使用样本
意思
测试统计
是 这个
测试统计量通常称为 统计量 要么 正常
统计量 基于这个统计量的假设检验是
叫 Z检验 要么 正常Z检验.
让
.
我们拒绝原假设
如果
或者如果
.
换句话说, 危急
地区
是
从而,
的 临界值 测试的
是
和
.
的 幂函数 测试的
是 哪里
是一个 标准正态随机变量 和
符号
是
用于表示以下事实:拒绝null的概率
假设是在真实均值等于
.
幂函数可以写
如 哪里
我们有
定义的
如
在名为“ 点
均值估计,样本均值
具有均值的正态分布
和方差
,
给定样本的假设
我们在上面做了。从中减去正常随机变量的均值
随机变量本身,然后将其除以其方差的平方根,
获得标准的正常随机变量。因此,变量
具有标准正态分布。
当时评估
,
幂函数等于提交a的概率
类型I错误,即概率
在原假设为真时拒绝原假设的过程。这个
概率称为 的大小
测试 它等于
哪里
是标准的正常随机变量(通过
替代
与
在上面的幂函数的公式中)。
此示例与上一个示例相似。唯一的区别是我们 现在放宽关于分布方差已知的假设。
在此示例中,示例
由..制作
从均值未知的正态分布中独立提取
和未知方差
.
具体来说,我们观察
实现
,
...,
的
独立随机变量
,
...,
,
全部具有正态分布,均值未知
和未知方差
.
样本是
尺寸
向量
,
这是随机向量的实现
.
我们检验零假设,即均值
等于特定值
:
我们假设参数空间是整个实线,即
.
因此,替代假设
是
通过使用样本,我们构造了两个检验统计量
意思 和
要么 未经调整
样品
方差
要么
的 调整样本
方差
两次测试统计
是 哪里
上标
和
指示测试统计是基于未调整还是已调整
样本方差。这两个测试统计数据通常称为
统计量 要么 学生的t统计 和
基于这些统计数据的假设检验称为
t检验 要么 学生的t检验.
让
.
我们拒绝原假设
如果
或者如果
(对于
要么
)。
换句话说, 危急
地区
是
从而,
测试的关键值是
和
.
基于未经调整的样本方差的检验的功效函数
是 哪里
符号
是
用于表示以下事实:拒绝null的概率
假设是在真实均值等于
和
是一个 非中央标准学生
分配 与
自由度和非中心参数相等
至
基于调整后的样本方差的检验功效函数
是 哪里
符号
是
用于表示以下事实:拒绝null的概率
假设是在真实均值等于
和
是非中央标准学生t分布
自由度和非中心参数相等
至
注意,对于固定
,
基于未经调整的样本方差的检验比
根据调整后的样本方差进行检验
即
因为
和,
作为一个
后果
基于未经调整的样本方差的检验大小等于
哪里
是一个 标准学生t分布 与
自由程度。
当时评估
,
幂函数等于测试的大小,即
发生I型错误。功效评估为
是
哪里
是非中央标准学生t分布
自由度和非中心参数相等
至
因此,
什么时候
,
非中心参数等于
和
只是标准的学生t分布。
基于调整后的样本方差的检验大小等于
哪里
是标准的学生t分布
自由程度。
当时评估
,
幂函数等于测试的大小,即
发生I型错误。功效评估为
是
哪里
是非中央标准学生t分布
自由度和非中心参数相等
至
因此,
什么时候
,
非中心参数等于
和
只是标准的学生t分布。
注意,对于固定
,
基于未经调整的样本方差的检验的大小大于
根据调整后的样本方差进行检验,因为如上所述,
对于真值的任何值,前者也具有比后者更大的力量
参数
.
您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。
表示为
的 分配功能
的非中央标准学生t分布
自由度和非中心度参数等于
.
假设统计学家观察
正常随机变量的独立实现。均值和
统计人员不知道的随机变量的方差是
等于
和
分别。是什么 可能性,以
条件
,
统计员会拒绝
零假设 意思是
如果她根据
她观察到的实现
作为临界值,她使用调整后的样本方差来计算
t统计量?
拒绝空值的可能性
假设
通过评估测试的幂函数获得
:
哪里
符号
是
用于表示以下事实:拒绝null的概率
假设是在真实均值等于
,
和
是非中央标准学生t分布
自由度和非中心度
参数
从而,
否定原假设的概率相等
至
表示为
标准学生t分布的分布函数
自由度
相反。假设统计学家遵守
随机变量的独立实现,她执行
变量均值等于零的零假设的t检验,
根据
观察到的实现,并使用未经调整的样本方差来计算
t统计量。她应该使用什么临界值才能产生类型
我有10%的概率出错吗?用以下方式表达
.
当null时,将发生I型错误
假设是正确的,但被拒绝了。拒绝空值的可能性
假设
是
哪里
是关键值,并且
是标准的学生t分布
自由程度。这个概率可以表示
如
哪里:
在步
我们使用了一个事实,即标准学生t分布的密度
围绕零对称。因此,我们需要设置
以这样的方式
那
这个
完成
通过
请引用为:
Taboga, Marco (2017). "关于均值的假设检验", 列克特 ures on 可能性 的 要么 y 和 mathematical 统计, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/fundamentals-of-statistics/hypothesis-testing-mean.