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关于方差的假设检验

通过 博士

本讲座介绍了一些示例 假设检验, 专注于 关于方差的假设检验,即使用 样本以执行关于 方差 未知分布。

目录

正常的IID样本-已知平均值

在此示例中,我们做出与set示例相同的假设 估计方差的估计 普通IID样本-已知 意思。强烈建议读者在阅读之前先阅读该示例 这个。

例子

例子 $ xi _ {n} $ 由..制作 n 从一个独立抽签 正态分布 知道平均值 亩 和未知方差 sigma ^ 2. 具体来说,我们观察 n 实现 $ x_ {1} $, ..., $ x_ {n} $n 独立随机变量 X_1, ..., X_n, 全部具有已知均值的正态分布 亩 和未知方差 sigma ^ 2. 样本是 n尺寸 向量 [eq1], 这是实现 随机向量 [eq2].

零假设

我们测试 零假设 那 方差 sigma ^ 2 等于特定值 $ sigma _ {0} ^ {2}>0$:[eq3]

替代假设

我们假设 参数 空间 是一组严格的正实数,即 [eq4]. 因此, 另类 假设[eq5]

测试统计

构造一个 测试统计,我们 使用以下的点估计量 方差:[eq6]

测试统计 是[eq7]这个 测试统计量通常称为 卡方统计 (也 写为 [eq8]-统计) 基于这个统计量的假设检验称为 卡方 测试 (也写为 [eq9]-测试)。

关键区域

[eq10]$ z_ {1}<z_{2}$. 我们拒绝原假设 $ H_ {0} $ 如果 [eq11] 或者如果 [eq12]. 换句话说, 危急 地区[eq13]从而, 的 临界值 测试的 是 $ z_ {1}$$ z_ {2} $.

幂函数

幂函数 测试的 是[eq14]哪里 $ kappa _ {n} $ 是一个 卡方随机变量n 自由度和符号 [eq15] 是 用于表示以下事实:拒绝null的概率 假设是在真实方差等于 sigma ^ 2.

证明

幂函数可以写 如 [eq16]哪里 我们有 定义的[eq17]如 在名为“ 点 方差估计,估算器 [eq18] 有一个 伽玛分布 带参数 nsigma ^ 2, 给定样本的假设 $ xi _ {n} $ 我们在上面做了。将Gamma随机变量与参数相乘 nsigma ^ 2 通过 $ n / sigma ^ {2} $ 一个获得卡方随机变量 n 自由程度。因此,变量 $ kappa _ {n} $ 具有卡方分布 n 自由程度。

测试的大小

当时评估 [eq19], 幂函数等于提交a的概率 类型I错误,即概率 在原假设为真时拒绝原假设的过程。这个 概率称为 的大小 测试 它等于 [eq20]哪里 $ kappa _ {n} $ 是具有以下项的卡方随机变量: n 自由度(这可以通过代入 sigma ^ 2$ sigma _ {0} ^ {2} $ 在上面的幂函数的公式中)。

正常的IID样本-未知平均值

此示例与上一个示例相似。唯一的区别是我们 现在放宽关于分布均值已知的假设。

例子

在此示例中,示例 $ xi _ {n} $ 由..制作 n 从均值未知的正态分布中独立提取 亩 和未知方差 sigma ^ 2. 具体来说,我们观察 n 实现 $ x_ {1} $, ..., $ x_ {n} $n 独立随机变量 X_1, ..., X_n, 全部具有正态分布,均值未知 亩 和未知方差 sigma ^ 2. 样本是 n尺寸 向量 [eq21], 这是随机向量的实现 [eq2].

零假设

我们检验零假设,即方差 sigma ^ 2 等于特定值 $ sigma _ {0} ^ {2}>0$:[eq23]

替代假设

我们假设参数空间是严格正实数的集合 数字,即 [eq4]. 因此,替代假设 是[eq5]

测试统计

我们使用样本构造一个检验统计量 意思[eq26]和 要么 未经调整 样品 方差[eq27]要么 的 调整样本 方差[eq28]

测试统计 是[eq29]这个 测试统计量通常称为 卡方统计 (也 写为 [eq8]-统计) 基于这个统计量的假设检验称为 卡方 测试 (也写为 [eq9]-测试)。

关键区域

[eq10]$ z_ {1}<z_{2}$. 我们拒绝原假设 $ H_ {0} $ 如果 [eq11] 或者如果 [eq12]. 换句话说,关键区域 是[eq13]从而, 测试的关键值是 $ z_ {1}$$ z_ {2} $.

幂函数

测试的功效 是[eq36]哪里 符号 [eq37] 是 用于表示以下事实:拒绝null的概率 假设是在真实方差等于 sigma ^ 2$ kappa _ {n} $ 具有卡方分布 $n-1$ 自由程度。

证明

幂函数可以写 如 [eq38]哪里 我们有 定义的[eq39]给定 样本上的假设 $ xi _ {n} $ 我们在上面做了,未调整的样本方差 $ S_ {n} ^ {2} $ 具有带有参数的Gamma分布 $n-1$[eq40] (看到 的点估计 方差),这样随机 变量[eq41]具有 卡方分布 $n-1$ 自由程度。

测试的大小

测试的大小等于 [eq20]哪里 $ kappa _ {n} $ 具有卡方分布 $n-1$ 自由度(这可以通过代入 sigma ^ 2$ sigma _ {0} ^ {2} $ 在上面的幂函数的公式中)。

解决的练习

您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。

练习1

表示为 [eq43] 分配功能 卡方随机变量的 n 自由程度。假设您观察 $40$ 正常随机变量的独立实现。是什么 可能性,用 [eq44], 你会犯一个 类型I错误 如果您对方差相等的原假设进行卡方检验 至 1, 根据 $40$ 观察到的实现,并选择 $ z_ {1}=15 $$ z_ {2} = 65 $ 作为临界值?

犯I型的可能性 误差等于 测试:[eq45]哪里 $ kappa _ {40} $ 具有卡方分布 $39$ 自由程度。 但[eq46]从而,[eq47]如果 您可以使用一些统计软件来计算 分布函数。例如,使用MATLAB命令 chi2cdf(65,39)chi2cdf(15,39) 我们 获得[eq48]如 结果,测试的大小 是[eq49]

练习2

对上一个练习进行相同的假设,并用 [eq50] 与之相反 [eq51]. 改变临界值 $ z_ {1}$ 以使测试的大小完全等于 $5%$.

更换 $15$$ z_ {1}$ 在公式的大小 测试:[eq52]您 需要设置 $ z_ {1}$ 以这种方式 [eq53]. 换句话说,您需要 解决[eq54]哪一个 等价的 至[eq55]提供 等式的右边是正数,这可以解决 通过[eq56]如果 您希望,您可以计算 $ z_ {1}$ 数值上。从上一练习中我们知道 那[eq57]因此, 我们要 计算[eq58]在 MATLAB,这是通过命令完成的 chi2inv(0.0444,39),作为 结果[eq59]

练习3

进行与练习1相同的假设。如果未经调整的样品 方差等于0.9,原假设是否被拒绝?

为了进行测试,我们需要 计算测试 统计[eq60]哪里 n 是样本量 $ sigma _ {0} ^ {2} $ 是原假设下方差的值,并且 $ S_ {n} ^ {2} $ 是未经调整的样本方差。

因此,检验统计量的值 是[eq61]以来 $ z_ {1}=15$$ z_ {2} = 65 $, 我们有 那[eq62]在 换句话说,测试统计量不会超过 测试。结果,原假设不被拒绝。

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "关于方差的假设检验", 列克特ures on 可能性 的ory 和 mathematical 统计, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/fundamentals-of-statistics/hypothesis-testing-variance.

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