本讲座介绍了一些示例 假设检验, 专注于 关于方差的假设检验,即使用 样本以执行关于 方差 未知分布。
在此示例中,我们做出与set示例相同的假设 估计方差的估计 普通IID样本-已知 意思。强烈建议读者在阅读之前先阅读该示例 这个。
例子
由..制作
从一个独立抽签 正态分布
知道平均值
和未知方差
.
具体来说,我们观察
实现
,
...,
的
独立随机变量
,
...,
,
全部具有已知均值的正态分布
和未知方差
.
样本是
尺寸
向量
,
这是实现 随机向量
.
我们测试 零假设 那
方差
等于特定值
:
我们假设 参数
空间 是一组严格的正实数,即
.
因此, 另类
假设
是
构造一个 测试统计,我们
使用以下的点估计量
方差:
测试统计
是这个
测试统计量通常称为 卡方统计 (也
写为
-统计)
基于这个统计量的假设检验称为 卡方
测试 (也写为
-测试)。
让
和
.
我们拒绝原假设
如果
或者如果
.
换句话说, 危急
地区
是
从而,
的 临界值 测试的
是
和
.
的 幂函数 测试的
是哪里
是一个 卡方随机变量 与
自由度和符号
是
用于表示以下事实:拒绝null的概率
假设是在真实方差等于
.
当时评估
,
幂函数等于提交a的概率
类型I错误,即概率
在原假设为真时拒绝原假设的过程。这个
概率称为 的大小
测试 它等于
哪里
是具有以下项的卡方随机变量:
自由度(这可以通过代入
与
在上面的幂函数的公式中)。
此示例与上一个示例相似。唯一的区别是我们 现在放宽关于分布均值已知的假设。
在此示例中,示例
由..制作
从均值未知的正态分布中独立提取
和未知方差
.
具体来说,我们观察
实现
,
...,
的
独立随机变量
,
...,
,
全部具有正态分布,均值未知
和未知方差
.
样本是
尺寸
向量
,
这是随机向量的实现
.
我们检验零假设,即方差
等于特定值
:
我们假设参数空间是严格正实数的集合
数字,即
.
因此,替代假设
是
我们使用样本构造一个检验统计量
意思和
要么 未经调整
样品
方差
要么
的 调整样本
方差
测试统计
是这个
测试统计量通常称为 卡方统计 (也
写为
-统计)
基于这个统计量的假设检验称为 卡方
测试 (也写为
-测试)。
让
和
.
我们拒绝原假设
如果
或者如果
.
换句话说,关键区域
是
从而,
测试的关键值是
和
.
测试的功效
是哪里
符号
是
用于表示以下事实:拒绝null的概率
假设是在真实方差等于
和
具有卡方分布
自由程度。
幂函数可以写
如 哪里
我们有
定义的
给定
样本上的假设
我们在上面做了,未调整的样本方差
具有带有参数的Gamma分布
和
(看到 的点估计
方差),这样随机
变量
具有
卡方分布
自由程度。
测试的大小等于
哪里
具有卡方分布
自由度(这可以通过代入
与
在上面的幂函数的公式中)。
您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。
表示为
的 分配功能
卡方随机变量的
自由程度。假设您观察
正常随机变量的独立实现。是什么
可能性,用
,
你会犯一个 类型I错误
如果您对方差相等的原假设进行卡方检验
至
,
根据
观察到的实现,并选择
和
作为临界值?
犯I型的可能性
误差等于
测试:哪里
具有卡方分布
自由程度。
但
从而,
如果
您可以使用一些统计软件来计算
分布函数。例如,使用MATLAB命令
chi2cdf(65,39)
和
chi2cdf(15,39)
我们
获得如
结果,测试的大小
是
对上一个练习进行相同的假设,并用
与之相反
.
改变临界值
以使测试的大小完全等于
.
更换
与
在公式的大小
测试:
您
需要设置
以这种方式
.
换句话说,您需要
解决
哪一个
等价的
至
提供
等式的右边是正数,这可以解决
通过
如果
您希望,您可以计算
数值上。从上一练习中我们知道
那
因此,
我们要
计算
在
MATLAB,这是通过命令完成的
chi2inv(0.0444,39)
,作为
结果
进行与练习1相同的假设。如果未经调整的样品 方差等于0.9,原假设是否被拒绝?
为了进行测试,我们需要
计算测试
统计哪里
是样本量
是原假设下方差的值,并且
是未经调整的样本方差。
因此,检验统计量的值
是以来
和
,
我们有
那
在
换句话说,测试统计量不会超过
测试。结果,原假设不被拒绝。
请引用为:
Taboga, Marco (2017). "关于方差的假设检验", 列克特ures on 可能性 的ory 和 mathematical 统计, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/fundamentals-of-statistics/hypothesis-testing-variance.