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关于方差的假设测试

经过,博士学位

这次讲座呈现了一些例子 假设检验, 专注于 关于方差的假设测试,即使用a 样品执行关于假设的测试 方差一个未知的分配。

目录

正常的IID样品 - 已知的平均值

在此示例中,我们在集合示例中进行了相同的假设 估算有权的差异 正常的IID样品 - 已知 mean。在阅读之前,强烈建议读者阅读该示例 this one.

样品

The sample $ xi _ {n} $ is made of n 独立于一个独立的抽奖正常分布 有名的意思 亩 和未知的方差 西格玛^ 2.. 具体来说,我们观察 n realizations $ x_ {1} $, ..., $ x_ {n} $ of n 独立随机变量 X_1, ..., X_N., 所有具有已知平均值的正态分布 亩 和未知的方差 西格玛^ 2.. 样本是 n - 一维 vector [eq1], 这是一个实现的随机矢量 [eq2].

零假设

We test the 零假设那 the variance 西格玛^ 2. 等于特定值 $ sigma _ {0} ^ {2}>0$:[eq3]

替代假设

我们假设范围 space是严格正面的实数,即, [eq4]. Therefore, the 选择 hypothesis is[eq5]

测试统计信息

To construct a 测试统计信息, 我们 使用以下点估计 variance:[eq6]

测试统计信息 is[eq7]这 经常调用测试统计Chi-Square统计(还 written as [eq8]-统计) 并称为基于这种统计数据的假设的测试Chi-Square test(也写为 [eq9]-测试)。

关键地区

Let [eq10] and $ z_ {1}<z_{2}$. 我们拒绝零假设 $ h_ {0} $ if [eq11] or if [eq12]. 换句话说,危急 region is[eq13]因此, the 临界价值测试 are $ z_ {1}$ and $ z_ {2} $.

功率功能

The 功率功能测试 is[eq14]在哪里 $ kappa _ {n} $ is a Chi-Square随机变量n 自由度和符号 [eq15]是 用来表示拒绝零的概率 假设在真正的假设下计算了真实方差等于 西格玛^ 2..

证明

可以写入功率函数 as[eq16]在哪里 we have defined[eq17]作为 在题为题为题为的讲座中展示观点 估计方差,估算者 [eq18] has a 伽玛分布参数 n and 西格玛^ 2., 鉴于样本上的假设 $ xi _ {n} $ 我们上面制作。将伽玛随机变量乘以参数 n and 西格玛^ 2. by $ n / sigma ^ {2} $ 一个人获得了一个Chi-Square随机变量 n 自由程度。因此,变量 $ kappa _ {n} $ 有一个Chi-Square分布 n 自由程度。

测试的大小

在此时评估时 [eq19], 功率函数等于提交a的概率 I型错误,即,概率 当零假设是真的时拒绝零假设。这 概率被称为大小的 test它等于 [eq20]在哪里 $ kappa _ {n} $ 是一个chi-square随机变量 n 自由度(这是通过代替而获得的 西格玛^ 2. with $ sigma _ {0} ^ {2} $ 在上面发现的功率功能的公式中)。

正常的IID样本 - 未知平均值

此示例类似于前一个。唯一的区别是我们 现在放宽假设分布的平均值是已知的。

样品

在此示例中,样本 $ xi _ {n} $ is made of n 独立于具有未知平均值的正态分布 亩 和未知的方差 西格玛^ 2.. 具体来说,我们观察 n realizations $ x_ {1} $, ..., $ x_ {n} $ of n 独立随机变量 X_1, ..., X_N., 所有都有正常分布,平均值 亩 和未知的方差 西格玛^ 2.. 样本是 n - 一维 vector [eq21], 这是随机载体的实现 [eq2].

零假设

我们测试缺点的缺点 西格玛^ 2. 等于特定值 $ sigma _ {0} ^ {2}>0$:[eq23]

替代假设

我们假设参数空间是严格正面真实的集合 numbers, i.e., [eq4]. 因此,替代假设 is[eq5]

测试统计信息

我们使用样本构建一个测试统计信息 mean[eq26]和 either the 不调整 sample variance[eq27]或者 the 调整样本 variance[eq28]

测试统计信息 is[eq29]这 经常调用测试统计Chi-Square统计(还 written as [eq8]-统计) 并称为基于这种统计数据的假设的测试Chi-Square test(也写为 [eq9]-测试)。

关键地区

Let [eq10] and $ z_ {1}<z_{2}$. 我们拒绝零假设 $ h_ {0} $ if [eq11] or if [eq12]. 换句话说,关键区域 is[eq13]因此, 测试的临界值是 $ z_ {1}$ and $ z_ {2} $.

功率功能

测试的功率功能 is[eq36]在哪里 the notation [eq37]是 用来表示拒绝零的概率 假设在真正的假设下计算了真实方差等于 西格玛^ 2. and $ kappa _ {n} $ 有一个Chi-Square分布 $n-1$ 自由程度。

证明

可以写入功率函数 as[eq38]在哪里 we have defined[eq39]给予 样本上的假设 $ xi _ {n} $ 我们上面制作,不调整的样本方差 $ s_ {n} ^ {2} $ 具有参数的伽玛分布 $n-1$ and [eq40] (see 点估计 variance),所以随机 variable[eq41]具有 奇方分布 $n-1$ 自由程度。

测试的大小

测试的大小等于 [eq20]在哪里 $ kappa _ {n} $ 有一个Chi-Square分布 $n-1$ 自由度(这是通过代替而获得的 西格玛^ 2. with $ sigma _ {0} ^ {2} $ 在上面发现的功率功能的公式中)。

解决练习

下面可以找到一些练习解释的解决方案。

练习1

Denote by [eq43] the 分配功能 奇方随机变量与 n 自由程度。假设你观察到 $40$ 正常随机变量的独立实现。是什么 可能性以来的表达 [eq44], 你会提交一个I型错误 如果您运行零假设的Chi-Square测试,则方差是相等的 to 1, based on the $40$ 观察到的实现,选择 $ z_ {1}=15 $ and $ z_ {2} = 65 $ 作为临界价值?

解决方案

提交I类型的概率 错误等于 test:[eq45]在哪里 $ kappa _ {40} $ 有一个Chi-Square分布 $39$ 自由程度。 But[eq46]因此,[eq47]如果 您希望,您可以使用一些统计软件来计算值 分发功能。例如,使用MATLAB命令 chi2cdf(65,39) and chi2cdf(15,39) we obtain[eq48]作为 后果,测试的大小 is[eq49]

练习2

做出前一项运动的相同假设,并表示 [eq50] the inverse of [eq51]. 改变临界值 $ z_ {1}$ 以这样的方式,测试的大小完全等于 $5%$.

解决方案

代替 $15$ with $ z_ {1}$ 在公式中为大小的 test:[eq52]你 need to set $ z_ {1}$ 以这样的方式 [eq53]. 换句话说,你需要 solve[eq54]哪一个 is equivalent to[eq55]假如 方程的右侧是积极的,这是肯定的 by[eq56]如果 你希望,你可以计算 $ z_ {1}$ 数值。从之前的练习中我们知道 that[eq57]所以, we need to compute[eq58]在 Matlab,这是通过命令完成的 chi2inv(0.0444,39), which gives as a result[eq59]

练习3.

制定上面的运动1的相同假设。如果是未经调整的样本 方差等于0.9,是零假设是否被拒绝?

解决方案

为了进行测试,我们需要 计算测试 statistic[eq60]在哪里 n 是样本大小, $ sigma _ {0} ^ {2} $ 是零假设下的差异的值 $ s_ {n} ^ {2} $ 是不调整的样本方差。

因此,测试统计的价值 is[eq61]自从 $ z_ {1}=15$ and $ z_ {2} = 65 $, we have that[eq62]在 其他单词,测试统计数据不超过临界值 测试。结果,没有拒绝零假设。

如何引用

请引用:

Taboga, Marco (2017). "关于方差的假设测试", Lectures on probability theory and mathematical statistics, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/fundamentals-of-statistics/hypothesis-testing-variance.

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