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均值点估计

通过 博士

本讲座介绍了一些示例 点 估算 问题,专注于 均值估计, 是,使用样本产生未知数平均值的点估计 分配。

目录

普通IID样本

在这个例子中,这可能是历史上最重要的 统计,样本 $ xi _ {n} $ 由..制作 n 从一个独立抽签 正态真人在线斗地主 有 均值未知 亩 和方差 sigma ^ 2. 具体来说,我们观察 n 实现 $ x_ {1} $, ..., $ x_ {n} $n 独立随机变量 X_1, ..., X_n, 全部具有均值的正态真人在线斗地主 亩 和方差 sigma ^ 2. 样本是 n尺寸 向量 [eq1]哪一个 是实现 随机向量 [eq2]

估计量

作为均值的估计量 亩, 我们使用样本 意思[eq3]

估计量的期望值

期望值 估计量 Xbar_n 等于真实的平均值 亩. 这可以用期望的线性来证明 值:[eq4]因此, 估计量 Xbar_n 无偏见的.

估计量的方差

方差 估计量 Xbar_n 等于 $ sigma ^ {2} / n $. 可以使用公式来证明独立变量的方差 和:[eq5]因此, 随着样本量的增加,估计量的方差趋于零 n 趋于无穷大。

估计量的真人在线斗地主

估计量 Xbar_n 正常 分配:[eq6]

证明

注意样本均值 Xbar_n 是正常和独立随机变量的线性组合 [eq7] (线性组合的所有系数都等于 $ frac {1} {n} $)。 因此, Xbar_n 之所以正常是因为 的线性组合 独立正态随机变量是正态。均值和方差 的真人在线斗地主已经得出 以上。

估计量的风险

均方误差 的 估计量 是[eq8]

估计量的一致性

序列 [eq9] 满足条件 柯尔莫哥洛夫的 强数定律 ([eq9] 是一个 IID序列 与有限 意思)。因此,样本均值 Xbar_n 几乎肯定会收敛 真实地 亩:[eq11]那 是,估算器 Xbar_n 高度一致。的 当然,估计量也是 弱一致性 因为 几乎可以肯定,收敛意味着收敛 可能性:[eq12]

IID样本

在此示例中,示例 $ xi _ {n} $ 由..制作 n 从均值未知的概率真人在线斗地主中独立得出 亩 和方差 sigma ^ 2. 具体来说,我们观察 n 实现 $ x_ {1} $, ..., $ x_ {n} $n 独立随机变量 X_1, ..., X_n, 全部具有相同的均值真人在线斗地主 亩 和方差 sigma ^ 2. 样本是 n尺寸 向量 [eq13]哪一个 是随机向量的实现 [eq2]的 与前面的示例不同的是,现在我们不再 假设样本点来自正态真人在线斗地主。

估计量

同样,均值的估计量 亩 是样品 意思:[eq15]

估计量的期望值

估计量的期望值 Xbar_n 等于真实的平均值 亩 因此 公正的:[eq16]

证明与前面的示例相同。

估计量的方差

估计量的方差 Xbar_n[eq17]

同样在这种情况下,证明与前面的示例相同。

估计量的真人在线斗地主

与前面的示例不同,估算器 Xbar_n 不一定具有正态真人在线斗地主(其真人在线斗地主取决于 序列项的真人在线斗地主 [eq9])。 但是,我们将在下面看到 Xbar_n 渐近具有正态真人在线斗地主(即收敛到正态 何时分配 n 变大)。

估计量的风险

估计量的均方误差 是[eq19]

证明与前面的示例相同。

估计量的一致性

序列 [eq9] 满足柯尔莫哥洛夫强数定律的条件 ([eq9] 是具有有限均值的IID序列)。因此,估算器 Xbar_n 同时具有强一致性和弱一致性(请参见上面的示例)。

渐近正态性

序列 [eq9] 满足条件 林德伯格évy Central 极限定理 ([eq9] 是具有有限均值和方差的IID序列)。因此,样本均值 Xbar_n 渐近正常: [eq24]哪里 Z 是标准的正常随机变量,并且 [eq25] 表示真人在线斗地主趋同。换句话说,样本均值 Xbar_n 真人在线斗地主趋同 正常随机 均值变量 亩 和方差 [eq26].

解决的练习

您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。

练习1

考虑一个只有两个结果的实验​​:要么成功,要么 可能性 p, 或失败的可能性 $1-p$. 成功的可能性未知,但我们知道 那[eq27]假设 我们可以根据需要独立多次重复实验并使用 的 比[eq28] 作为...的估计 p. 为了确保实验所需的最少实验次数是多少 估算器的标准偏差小于 $ 1/100 $?

表示为 $ widehat {p} $ 的 的估计量 p. 可以写 如 [eq29]哪里 n 是实验的重复次数, [eq30]n 独立随机变量具有 伯努利真人在线斗地主 与 参数 p. 因此, $ widehat {p} $ 是的样本均值 n 具有期望值的独立伯努利随机变量 p[eq31]从而[eq32]我们 需要确保 那[eq33]要么[eq34]哪一个 肯定经过验证 如果[eq35]要么[eq36]

练习2

假设您观察到一个 $100$ 从均值未知的真人在线斗地主中独立抽取 亩 和已知方差 $ sigma ^ {2} = 1 $. 您如何估算其样本均值的真人在线斗地主?

我们可以估算出 样本均值及其渐近真人在线斗地主。因此, 样本均值可以通过均值的正态真人在线斗地主来近似 亩 和方差 [eq37]

如何引用

请引用为:

Taboga, Marco (2017). "均值点估计", 列克特ures on 可能性 的ory 和 mathematical 统计, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/fundamentals-of-statistics/mean-estimation.

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