集合估计

通过 马可·塔波加（Marco Taboga）博士

在统计推断中，采用样本对 从中生成样本的概率分布（请参见 演讲题目 统计 推理）。例子 可以看作是一个 随机向量 , 谁的 联合分配 功能，表示为 , 未知，但是假定它属于一组分布函数 , 称为统计模型。

在参数模型中， 与一套对应 的 尺寸 实向量。 称为参数空间，其元素称为参数。表示 通过 真实参数，即与未知参数关联的参数 分配功能 从哪个样本 实际上是生成的。为了具体， 假定是唯一的。本讲座讨论了有关 称为集合估计。

置信集

大致说来， 集合估计 是选择一个 子集 参数空间 () 以这种方式 包含真实（和未知）参数的可能性很高 . 选择的子集 被称为 设定估计 的 或一个 置信度 对于 .

当参数空间 是实数集的子集 和子集 从以下间隔中选择 （例如，此类间隔 ）， 我们谈论 区间估计 （而不是集合 估计）， 区间估计 （而不是设定的估算值）和 置信区间 （而不是置信度）。

何时设定估算 使用关联一组的预定义规则（函数）生成 估计 每一个 在里面 支持 的 , 我们可以 写

功能 被称为 组 估计量。通常，符号 用于表示集合估计和集合估计。意思是 通常从上下文中清除。

覆盖概率和 置信系数

正如我们已经说过的，集合估计是选择子集的行为 参数空间的方式 包含真实参数的可能性很高 . 的概率 包含真正的参数被称为 覆盖率 通常由统计学家选择。直观地观察之前 统计员发表的数据： 哪里 是参数空间，包含所有被视为的参数 有道理。统计学家认为该陈述是正确的，但 陈述不是很有益，因为 是一个非常大的集合。观察数据后，她提供了更多信息 声明：这个 声明更具信息性，因为 小于 , 但却有可能出错（这是对 覆盖概率）。在控制这种可能性时， 统计学家面临一个权衡：如果她降低了 错误的话，她的陈述就没有那么多信息了；相反，如果她 增加了犯错的可能性，然后她的陈述变得更加 内容丰富。

用正式的术语来说，集合估算器的覆盖率定义为 如下：哪里 符号 用于表示概率是使用 分配功能 与真实参数关联 . 重要的是要注意，在上述覆盖率定义中 随机数是区间 , 而参数是固定的。

在实践中，很少知道覆盖率，因为它取决于 未知参数 （尽管在某些情况下，对于属于 参数空间）。当覆盖概率未知时，通常 计算 置信系数 , 定义为 如下：在 换句话说，置信系数 等于最小可能的覆盖概率。信心 系数也常称为 信心水平.

置信集的大小

我们已经提到，在构造和选择上需要权衡 集合估计量一方面，我们需要我们的集合估计器 具有较高的覆盖率，也就是说，我们需要 包含真实参数的可能性很高。另一方面，我们 想要的大小 尽可能地小，以使我们的间隔估计更加精确。 我们所说的大小是什么意思 ? 如果参数空间 是一维的 是一个区间估算值，则 只是它的长度。如果空间 是多维的，那么 是它的音量。的 置信集的大小 也称为 置信度的度量 （对于那些了解 测度理论，其名称源于勒贝格测度是 多维空间中的体积泛化）。如果我们用 置信集的大小，那么我们还可以定义 预期 集合估计量的大小 :哪里 符号 用于表示期望值是使用 分配功能 与真实参数关联 . 与覆盖率一样，集合估计量的预期大小 取决于未知参数 . 因此，除非它是 , 一个人需要以某种方式估计它或对所有可能值进行最小化 参数的值，就像我们上面针对覆盖率所做的那样。

评估集合估计量的其他标准

尽管大小可能是评估和选择集合的最简单标准 估计量，还有其他几个标准。我们不在这里讨论它们，但是 我们请读者参考Berger，R.L。和G. Casella（2002），《统计推断》，达克斯伯里高级丛书。

例子

集合估计问题的示例可以在以下讲座中找到：

1. 设定均值的估计 （示例 设定未知分布平均值的估计值）；

2. 设置方差估计 （对未知分布的方差进行集合估计的示例）。

如何引用

请引用为：

Taboga, Marco (2017). "集合估计", 列克特ures on probability theory and mathematical 统计, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/fundamentals-of-statistics/set-estimation.