本讲座介绍了一些示例 组 估算 问题,专注于 设定 意思,即使用样本产生对 未知分布的平均值。
在此示例中,我们做出的假设与我们在 均值的点估计示例 均值估算-正常IID样本. 在阅读此示例之前先阅读该示例将是有益的。
在此示例中,示例
由..制作
从一个独立抽签 正态分布 有
均值未知
和已知方差
.
具体来说,我们观察
实现
,
...,
的
独立随机变量
,
...,
,
全部具有正态分布,均值未知
和已知方差
.
样本是
尺寸
向量
这是实现 随机向量
间隔估计器
是哪里
是严格的正常数。
的 覆盖率 的
区间估计器
是
哪里
是一个 标准正态随机变量.
覆盖概率可以写成
如 哪里
我们有
定义的
在
演讲题目 的点估计
意思,我们已经证明,鉴于样本的假设
如上所述,样本均值
具有均值的正态分布
和方差
.
从随机变量中减去正常随机变量的均值
本身,然后将其除以其方差的平方根,便得到一个
标准正态随机变量。因此,变量
具有标准正态分布。
注意,覆盖概率不取决于未知参数
.
因此, 置信度
系数 间隔估计量
与其覆盖范围一致
可能性:
哪里
是标准的正常随机变量。
的 间隔估计器的大小
是
请注意,大小不取决于样本
.
因此, 预期大小
是
此示例与上一个示例相似。唯一的区别是我们 现在放宽关于分布方差已知的假设。
在此示例中,示例
由..制作
从均值未知的正态分布中独立提取
和未知方差
.
具体来说,我们观察
实现
,
...,
的
独立随机变量
,
...,
,
全部具有正态分布,均值未知
和未知方差
.
的 样品 是个
尺寸
向量
,
这是随机向量的实现
.
构造均值的区间估计量
,
我们使用样本
意思
或者 调整样本
方差我们
考虑两个区间估计
意思:
哪里
是一个严格的正常数和上标
和
指示估算器是基于未调整的还是已调整的
样本方差。
区间估计器的覆盖概率
是
哪里
是一个 标准学生t随机变量 与
自由程度。
区间估计器的覆盖概率
是
哪里
是标准的学生t随机变量,
自由程度。
注意,置信区间的覆盖概率基于
未经调整的样本方差
小于基于的置信区间的覆盖概率
调整后的样本方差
因为
和,
作为一个
后果
注意两者的覆盖率
和
不依赖于未知参数
和
.
因此, 置信度
系数 两个置信区间中的一个与相应的
覆盖范围
概率:
哪里
具有标准的学生t分布
自由程度。
的 置信区间的大小
是
而
置信区间的大小
是
注意,置信区间的大小基于未经调整的样本
方差
小于基于调整后的置信区间的大小
样本方差
因为
和,
作为一个
后果,
因此,基于未调整样本方差的置信区间具有 较小的尺寸和较小的覆盖概率。正如我们在 演讲题目 集合估计, 选择 的集合估算器通常受获得最高估计量的原理的启发 给定大小或最小可能大小的可能覆盖概率 对于给定的覆盖率。遵循这个原则,没有明确的 基于未调整样本方差的估计量与 估计值基于调整后的样本方差,因为前者具有 尺寸较小,但后者具有较高的覆盖概率。
我们需要利用以下事实
具有带有参数的Gamma分布
和
.
为了简化表示法,
组
的
的概率密度函数
是
哪里
是一个
不变:
和
是Gamma函数。
因此,
哪里
我们有
定义的
和
我们已经利用了事实
那
因为
它是带有参数的Gamma随机变量的密度的积分
和
在其支持和概率密度集成到
.
从而,
的 预期大小 的
是
哪里
是Gamma函数。
使用事实
那我们
获得
您可以在下面找到一些练习,其中包含已说明的解决方案。
假设您观察到一个
从一个独立抽签 正态分布 有
均值未知
和已知方差
.
表示
吸引
,
...,
.
假设他们的样本均值
等于
,
那
是的
找出一个置信区间
,
使用的集合估计量
有
覆盖率。
对于给定的样本量
,
间隔
估计量
具有
覆盖范围
可能性
哪里
是标准的正常随机变量,并且
是严格的正常数。因此,我们需要找到
这样
那
但
哪里
最后一个等式源于一个事实,即标准正态分布为
围绕零对称。因此
一定是这样
那
要么
使用
正态分布表或计算机程序来查找值
(请参阅标题为“ 正常
分布-价值观),我们
获得
从而,
的置信区间
是
假设您观察到一个
从均值未知的正态分布中独立提取
和未知方差
.
表示
吸引
,
...,
.
假设他们的样本均值
等于
,
即:
和
他们调整后的样本方差
等于
,
那
是的
找出一个置信区间
,
使用的集合估计量
有
覆盖率。
对于给定的样本量
,
间隔
估计量
具有
覆盖范围
可能性
哪里
是一个 标准学生t随机变量 与
自由度和
是严格的正常数。因此,我们需要找到
这样
那
但
哪里
最后的平等源于以下事实:标准学生的
分布在零附近对称。因此
一定是这样
那
要么:
使用
寻找价值的计算机程序
(for example, 与 the MATLAB command
tinv(0.995,99)
),
我们
获得从而,
的置信区间
是
请引用为:
Taboga, Marco (2017). "设定均值的估计", 列克特ures on 可能性 theory 和 mathematical 统计, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/fundamentals-of-statistics/set-estimation-mean.