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设定均值的估计

通过 博士

本讲座介绍了一些示例 组 估算 问题，专注于 设定 意思，即使用样本产生对 未知分布的平均值。

目录

目录

  1. 正常IID样本-已知方差

    1. 例子

    2. 间隔估计器

    3. 覆盖率

    4. 置信系数

    5. 尺寸

    6. 预期大小

  2. 正常的IID样本-未知方差

    1. 例子

    2. 间隔估计器

    3. 覆盖率

    4. 置信系数

    5. 尺寸

    6. 预期大小

  3. 解决的练习

    1. 练习1

    2. 练习2

正常IID样本-已知方差

在此示例中，我们做出的假设与我们在 均值的点估计示例 均值估算-正常IID样本. 在阅读此示例之前先阅读该示例将是有益的。

例子

在此示例中，示例 $ xi _ {n} $ 由..制作 n 从一个独立抽签 正态分布 有 均值未知 亩 和已知方差 sigma ^ 2. 具体来说，我们观察 n 实现 $ x_ {1} $, ...， $ x_ {n} $ 的 n 独立随机变量 X_1, ...， X_n, 全部具有正态分布，均值未知 亩 和已知方差 sigma ^ 2. 样本是 n尺寸 向量 [eq1] 这是实现 随机向量 [eq2]

间隔估计器

构造一个 区间估计器 均值 亩, 我们使用 样品 意思[eq3]

间隔估计器 是[eq4]哪里 [eq5] 是严格的正常数。

覆盖率

的 覆盖率 的 区间估计器 $ T_ {n} $ 是[eq6]哪里 Z 是一个 标准正态随机变量.

证明

覆盖概率可以写成 如 [eq7]哪里 我们有 定义的[eq8]在 演讲题目 的点估计 意思，我们已经证明，鉴于样本的假设 $ xi _ {n} $ 如上所述，样本均值 Xbar_n 具有均值的正态分布 亩 和方差 $ sigma ^ {2} / n $. 从随机变量中减去正常随机变量的均值 本身，然后将其除以其方差的平方根，便得到一个 标准正态随机变量。因此，变量 Z 具有标准正态分布。

置信系数

注意，覆盖概率不取决于未知参数 亩. 因此， 置信度 系数 间隔估计量 $ T_ {n} $ 与其覆盖范围一致 可能性：[eq9]哪里 Z 是标准的正常随机变量。

尺寸

的 间隔估计器的大小 $ T_ {n} $ 是[eq10]

预期大小

请注意，大小不取决于样本 $ xi _ {n} $. 因此， 预期大小 是[eq11]

正常的IID样本-未知方差

此示例与上一个示例相似。唯一的区别是我们 现在放宽关于分布方差已知的假设。

例子

在此示例中，示例 $ xi _ {n} $ 由..制作 n 从均值未知的正态分布中独立提取 亩 和未知方差 sigma ^ 2. 具体来说，我们观察 n 实现 $ x_ {1} $, ...， $ x_ {n} $ 的 n 独立随机变量 X_1, ...， X_n, 全部具有正态分布，均值未知 亩 和未知方差 sigma ^ 2. 的 样品 是个 n尺寸 向量 [eq12], 这是随机向量的实现 [eq13].

间隔估计器

构造均值的区间估计量 亩, 我们使用样本 意思[eq14]

和 未经调整 样品 方差[eq15]

或者 调整样本 方差[eq16]我们 考虑两个区间估计 意思：[eq17]哪里 [eq5] 是一个严格的正常数和上标 $ u $ 和 a 指示估算器是基于未调整的还是已调整的 样本方差。

覆盖率

区间估计器的覆盖概率 $ T_ {n} ^ {u} $ 是[eq19]哪里 $ Z_ {n-1} $ 是一个 标准学生t随机变量 与 $n-1$ 自由程度。

证明

覆盖概率可以写成 如 [eq20]哪里 我们有 定义的[eq21]现在， 改写 $ Z_ {n-1} $ 如 [eq22]哪里 我们有 定义的[eq23]和 我们使用了这样一个事实，即未经调整的样本方差可以表示为 调整后的样本方差的函数为 如下：[eq24]在 演讲题目 的点估计 方差，我们已经证明，鉴于样本的假设 $ xi _ {n} $ 如上所述，调整后的样本方差 $ s_ {n} ^ {2} $ 有一个 伽玛分布 带参数 $n-1$ 和 sigma ^ 2. 因此，随机变量 $ W $ 具有带有参数的Gamma分布 $n-1$ 和 1. 而且，随机变量 Y 具有标准正态分布（请参阅上一节）。因此， $ Z_ {n-1} $ 是标准正态随机变量与的平方根之间的比率 具有参数的Gamma随机变量 $n-1$ 和 1. 作为结果， $ Z_ {n-1} $ 具有标准的学生t分布 $n-1$ 自由度（请参阅标题为“ 学生们 t分布 以证明这一事实）。

区间估计器的覆盖概率 $ T_ {n} ^ {a} $ 是[eq25]哪里 $ Z_ {n-1} $ 是标准的学生t随机变量， $n-1$ 自由程度。

证明

覆盖率可以写成 [eq26]哪里 我们有 定义的[eq27]现在， 改写 $ Z_ {n-1} $ 如 [eq28]哪里 我们有 定义：[eq23]在 演讲题目 的点估计 方差，我们已经证明，鉴于样本的假设 $ xi _ {n} $ 如上所述，调整后的样本方差 $ s_ {n} ^ {2} $ 具有带有参数的Gamma分布 $n-1$ 和 sigma ^ 2. 因此，随机变量 $ W $ 具有带有参数的Gamma分布 $n-1$ 和 1. 而且，随机变量 Y 具有标准正态分布（请参阅上一节）。因此， $ Z_ {n-1} $ 是标准正态随机变量与的平方根之间的比率 具有参数的Gamma随机变量 $n-1$ 和 1. 作为结果， $ Z_ {n-1} $ 具有标准的学生t分布 $n-1$ 自由度（请参阅标题为“ 学生们 t分布 以证明这一事实）。

注意，置信区间的覆盖概率基于 未经调整的样本方差 $ S_ {n} ^ {2} $ 小于基于的置信区间的覆盖概率 调整后的样本方差 $ s_ {n} ^ {2} $ 因为[eq30]和， 作为一个 后果[eq31]

置信系数

注意两者的覆盖率 $ T_ {n} ^ {u} $ 和 $ T_ {n} ^ {a} $ 不依赖于未知参数 亩 和 sigma ^ 2. 因此， 置信度 系数 两个置信区间中的一个与相应的 覆盖范围 概率：[eq32]哪里 $ Z_ {n-1} $ 具有标准的学生t分布 $n-1$ 自由程度。

尺寸

的 置信区间的大小 $ T_ {n} ^ {u} $ 是[eq33]而 置信区间的大小 $ T_ {n} ^ {a} $ 是[eq34]

注意，置信区间的大小基于未经调整的样本 方差 $ S_ {n} ^ {2} $ 小于基于调整后的置信区间的大小 样本方差 $ s_ {n} ^ {2} $ 因为[eq35]和， 作为一个 后果，[eq36]

因此，基于未调整样本方差的置信区间具有 较小的尺寸和较小的覆盖概率。正如我们在 演讲题目 集合估计， 选择 的集合估算器通常受获得最高估计量的原理的启发 给定大小或最小可能大小的可能覆盖概率 对于给定的覆盖率。遵循这个原则，没有明确的 基于未调整样本方差的估计量与 估计值基于调整后的样本方差，因为前者具有 尺寸较小，但后者具有较高的覆盖概率。

预期大小

的 预期大小 的 $ T_ {n} ^ {u} $ 是[eq37]哪里 [eq38] 是个 伽玛功能.

证明

我们需要利用以下事实 $ S_ {n} ^ {2} $ 具有带有参数的Gamma分布 $n-1$ 和 [eq39]. 为了简化表示法， 组[eq40]的 的概率密度函数 X 是[eq41]哪里 $ c $ 是一个 不变：[eq42]和 [eq38] 是Gamma函数。 因此，[eq44]哪里 我们有 定义的[eq45]和 我们已经利用了事实 那[eq46]因为 它是带有参数的Gamma随机变量的密度的积分 n 和 sigma ^ 2 在其支持和概率密度集成到 1. 从而，[eq47]

的 预期大小 的 $ T_ {n} ^ {a} $ 是[eq48]哪里 [eq38] 是Gamma函数。

证明

使用事实 那[eq50]我们 获得[eq51]

解决的练习

您可以在下面找到一些练习，其中包含已说明的解决方案。

练习1

假设您观察到一个 $100$ 从一个独立抽签 正态分布 有 均值未知 亩 和已知方差 $ sigma ^ {2} = 1 $. 表示 $100$ 吸引 X_1, ...， $ X_ {100} $. 假设他们的样本均值 $ overline {X} _ {100} $ 等于 1, 那 是的[eq52]

找出一个置信区间 亩, 使用的集合估计量 亩 有 $90%$ 覆盖率。

解

对于给定的样本量 n, 间隔 估计量[eq4]具有 覆盖范围 可能性[eq54]哪里 Z 是标准的正常随机变量，并且 [eq5] 是严格的正常数。因此，我们需要找到 $ z $ 这样 那[eq56]但[eq57]哪里 最后一个等式源于一个事实，即标准正态分布为 围绕零对称。因此 $ z $ 一定是这样 那[eq58]要么[eq59]使用 正态分布表或计算机程序来查找值 $ z $ （请参阅标题为“ 正常 分布-价值观），我们 获得[eq60]从而， 的置信区间 亩 是[eq61]

练习2

假设您观察到一个 $100$ 从均值未知的正态分布中独立提取 亩 和未知方差 sigma ^ 2. 表示 $100$ 吸引 X_1, ...， $ X_ {100} $. 假设他们的样本均值 $ overline {X} _ {100} $ 等于 1, 即：[eq62]和 他们调整后的样本方差 $ s_ {100} ^ {2} $ 等于 $4$, 那 是的[eq63]

找出一个置信区间 亩, 使用的集合估计量 亩 有 $99%$ 覆盖率。

解

对于给定的样本量 n, 间隔 估计量[eq64]具有 覆盖范围 可能性[eq65]哪里 $ Z_ {n-1} $ 是一个 标准学生t随机变量 与 $n-1$ 自由度和 [eq5] 是严格的正常数。因此，我们需要找到 $ z $ 这样 那[eq67]但[eq57]哪里 最后的平等源于以下事实：标准学生的 分布在零附近对称。因此 $ z $ 一定是这样 那[eq69]要么：[eq70]使用 寻找价值的计算机程序 $ z $ (for example, 与 the MATLAB command tinv(0.995,99)), 我们 获得[eq71]从而， 的置信区间 亩 是[eq72]

如何引用

请引用为：

Taboga, Marco (2017). "设定均值的估计", 列克特ures on 可能性 theory 和 mathematical 统计, Third edition. Kindle Direct Publishing. Online appendix. //www.junruiqiche.com/fundamentals-of-statistics/set-estimation-mean.

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